潘衛(wèi)斌

【摘要】本文根據(jù)初中階段的數(shù)學(xué)解題思想方法的特征和筆者多年任教初中數(shù)學(xué)的經(jīng)驗以及對初中數(shù)學(xué)思想方法的了解，總結(jié)出幾種常見的數(shù)學(xué)解題思想方法和一些應(yīng)用題型，以便共同研究探討，有助于提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和培養(yǎng)學(xué)生良好的素質(zhì)，以適應(yīng)新世紀(jì)人才的要求。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)方法;應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)教材的整體結(jié)構(gòu)有兩根強有力的支柱，那就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)稱，兩者聯(lián)系密切而又有所區(qū)別，且有層次之分。“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”這兩個術(shù)語常被混用或合用。由于我們既需要用數(shù)學(xué)方法解決問題，有時也需要對這些方法作出評價。而掌握數(shù)學(xué)思想方法是提高學(xué)生科學(xué)素質(zhì)和運用能力的重要途徑，也是實現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的重要保證。因此，我們必須正確認(rèn)識數(shù)學(xué)思想和方法。

數(shù)學(xué)思想，一般是能反映某些重大數(shù)學(xué)成就的思想。而數(shù)學(xué)方法可大可小，小至解決某個或某類具體數(shù)學(xué)問題的具體方法，例如，分解因式的待定系數(shù)法;大至建立某個分支體系的數(shù)學(xué)方法，如，公理化方法等。數(shù)學(xué)家張奠宙教授認(rèn)為：“同一個數(shù)學(xué)思想，當(dāng)用它去解決別的問題時，就稱之為方法，當(dāng)評價它在教學(xué)體系中自身價值和意義時，就稱之為思想?！边@是對“思想”和“方法”相互關(guān)系的一種合理解釋。為了適應(yīng)新世紀(jì)人才的要求，也為了培養(yǎng)學(xué)生良好的素質(zhì)，在平時教學(xué)中，我們應(yīng)注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透。下面，筆者就簡單地談一下自己所了解的一些數(shù)學(xué)思想方法及在平時教學(xué)中對這些方法的應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合的思想方法和應(yīng)用

數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”及其關(guān)系的一門學(xué)科。因此，“數(shù)形結(jié)合”的思想方法是研究數(shù)學(xué)的一個基本思想方法。其本質(zhì)是將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形性質(zhì)結(jié)合起來，通過兩者間的相互轉(zhuǎn)化，從而達到“化繁為簡”“化難為易”的目的。數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要有見“數(shù)”想“形”，見“形”思“數(shù)”，“數(shù)形結(jié)合”的思維習(xí)慣。這樣才有利于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也有利于發(fā)展分析問題、解決問題的能力。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須灌輸這一方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。

如，例1：關(guān)于x的方程 4x?-4mx+m+1=0 的兩個實根為α，β，且0<α<1，1<β<2，求實數(shù)m的取值范圍。

分析：這個方程是一元二次方程，α，β為實根，從“式”思“形”應(yīng)是二次曲線與x軸的交點，其一交點是屬于（0，1），其二交點屬于（1，2），如圖一所示;從形中可得有 f（0）>0， f（1）<0， f（2）>0.

解：設(shè)：f（x）=4x2-4mx+m+1，此拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)就是方程4x2-4mx+m+1=0的根，如（圖一）所示：

（圖一）

反思：本題若只從方程方面考慮，方程有兩個實根，則△>0。但解出m的范圍不能保證α∈（0，1），β∈（0，2）。而本題的解法f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，從連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知存在α∈（0，1），β∈（1，2），使得f （ α ）=f （ β ）=0。由于初中生沒有學(xué)習(xí)過連續(xù)函數(shù)，所以只能從圖形的直觀方面去得到理解。

又如，例2：設(shè)x是實數(shù)，試比較x2與的大小。

分析：x2與是兩個式子，比較起大小可設(shè)兩個函數(shù) y1=x2、y2=，從其圖形考慮，圖象在上方的為大，在下方為小，如（下圖二）所示：

解： 設(shè)：y1=x2， 則它的圖象是一條開口向上的拋物線，頂點坐標(biāo)為原點（0，0）。設(shè)：y2=，則它的圖象是一條折線，且經(jīng)過原點（0，0）。那么在同一坐標(biāo)系中作出y=x2 及 y=的圖象，由： 可知它們有3個交點，即為 A（-1，1）， B（1，1），O（0，0）。

觀察圖象可知：

1.當(dāng)：x=0，x=-1，x=1時，x2=;

2.當(dāng)：-1

3.當(dāng)：x>1 或 x>-1時，x2>。

（圖二）

反思：比較x2與兩個式子的大小，應(yīng)從x的取值情況考慮，由x2與的對稱性可考慮（0，+∞），盡管如此，討論起來還是很麻煩，學(xué)生也不能很好地理解，不如圖形比較直觀。

從以上兩例可以看出，數(shù)形結(jié)合的思想不僅是分析、解決數(shù)學(xué)問題的好方法，更主要的是，這一思想對問題處理的立場和方法，將會使學(xué)生受益無窮。

二、分類討論的思想方法

在解決一些數(shù)學(xué)問題時，由于題中的某些條件存在多種情況，且都會影響到問題的解法和結(jié)論。解題時，需從符合題設(shè)的各種情況對問題進行科學(xué)地、合理地分類，然后逐類分別進行討論，從而使問題得到圓滿的解答，這種數(shù)學(xué)方法叫做“分類討論法”。

分類在數(shù)學(xué)中是經(jīng)常出現(xiàn)的。例如，實數(shù)分為有理數(shù)與無理數(shù)兩類;有理數(shù)又分為整數(shù)和分?jǐn)?shù);整數(shù)又分為正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù);絕對值也是分類定義的，等等。

所以，筆者認(rèn)為“分類討論”也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中一個極其重要的數(shù)學(xué)思想方法，分類思想是數(shù)學(xué)中邏輯劃分的重要思想表現(xiàn)，對培養(yǎng)和發(fā)展思維的條理性、縝密性，提高分析問題、解決問題的能力具有重要意義。因此，筆者在教學(xué)中常常貫徹這一思維方法的傳授和應(yīng)用。

如，例3：已知： ，求k的值。

分析：由于a、b、c、沒有具體數(shù)值，所以求比例值k，就必須想辦法把分子、分母化為有相同的式子，則必然想到使用分式的合比性質(zhì)。又∵ 等比性質(zhì)的條件是 b+d+…+n≠0。

∴ 要按 （b+c）+（c+a）+（a+b）=0和 （b+c）+（c+a）+（a+b）≠0 兩種情況討論。

解：（1）當(dāng)： （b+c）+（c+a）+（a+b）=0時，有 a+b+c=0。