張麗霞

(上饒師范學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院,江西 上饒 334001)

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程,具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性[1]1。為了體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的整體性,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)統(tǒng)籌了義務(wù)教育階段課程內(nèi)容,依據(jù)學(xué)生發(fā)展的生理和心理特征,將中小學(xué)劃分為三個(gè)學(xué)段。為使教學(xué)得到更好的效果,《課標(biāo)》指出,為了適應(yīng)時(shí)代對人才發(fā)展的需要,在數(shù)學(xué)課程中,應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀等素養(yǎng)[1]5。為了響應(yīng)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,諸多學(xué)者深入實(shí)踐探究,如孔凡哲、史寧中教授探索數(shù)學(xué)幾何直觀的含義[2],華應(yīng)龍進(jìn)行的三角形三邊關(guān)系教學(xué)研究[3]以及汪志華對《三角形內(nèi)角和》的教學(xué)設(shè)計(jì)[4]等。本文將以三角形的認(rèn)識為例,探討認(rèn)識圖形的一般過程。

1 教材審視

《課標(biāo)》將數(shù)學(xué)知識分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四部分內(nèi)容。其中“圖形與幾何”的內(nèi)容在小學(xué)階段占據(jù)著較大比重,是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。然而,在實(shí)際教學(xué)中“圖形與幾何”的內(nèi)容往往容易被忽視。比如,在圖形的認(rèn)識教學(xué)中,教師易忽視圖形的概念和圖形抽象的教學(xué)過程。因此,本研究將以三角形的認(rèn)識為例,探究圖形認(rèn)識的一般過程。

通過對小學(xué)數(shù)學(xué)知識的整理,筆者梳理出了人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中三角形知識的分布情況,并列出了小學(xué)數(shù)學(xué)中三角形知識所對應(yīng)的幾何思維水平,如表1所示。

1.1 從課程標(biāo)準(zhǔn)角度分析

通過表1可以看到,三角形的知識首次出現(xiàn)于小學(xué)二年級上冊第三單元,內(nèi)容是“角的初步認(rèn)識”,其中包括了直角、銳角和鈍角的認(rèn)識,認(rèn)識“頂點(diǎn)”和“邊”。在這里有一個(gè)不可忽視的問題是,學(xué)生在學(xué)習(xí)“角的初步認(rèn)識”之前已經(jīng)對圖形有了初步的認(rèn)識,且在二年級第一單元學(xué)習(xí)了“長度單位”,并能夠測量線段的長度,這為角的認(rèn)識以及學(xué)習(xí)邊的畫法奠定了基礎(chǔ)。《課標(biāo)》第三部分“課程內(nèi)容”闡述了“圖形與幾何”的教學(xué)要求,要求第一學(xué)段的學(xué)生能“結(jié)合生活情境認(rèn)識角,了解直角、銳角和鈍角”,且要求“能估測一些物體長度,并進(jìn)行測量”?！敖堑某醪秸J(rèn)識”一節(jié)的編排正遵循了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

表1 小學(xué)數(shù)學(xué)三角形知識分布及范希爾幾何思維水平(人教版)

通過表1還可以看到,四年級的教材安排了三角形的相關(guān)知識。四年級(上)第三單元學(xué)習(xí)“角的度量”,而后在四年級(下)第五單元學(xué)習(xí)“三角形”的知識,主要有三角形的特性、分類以及三角形內(nèi)角和的知識。角是由射線構(gòu)成的,因此在“角的度量”一章中先學(xué)習(xí)了線段、直線與射線,緊接著學(xué)習(xí)角的度量,更涉及角的分類,這也為四年級下冊三角形的分類學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)?！墩n標(biāo)》提出第二學(xué)段的學(xué)習(xí)要“了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系”和“認(rèn)識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形”,這些與教材中“角的度量”和“三角形”的知識相契合。四年級下冊“三角形的特性”主要學(xué)習(xí)三角形的高和底,而四年級第五單元“平行四邊形和梯形”的學(xué)習(xí)為三角形的特性奠定了基礎(chǔ)。由此可以得出,圖形的學(xué)習(xí)不是獨(dú)立的,如“角的度量”是對過去學(xué)習(xí)知識的綜合運(yùn)用,同時(shí)為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

1.2 從范希爾幾何思維水平角度分析

范希爾幾何思維水平是幾何知識的重要理論,范希爾幾何思維水平共有五個(gè)層次的水平,分別是視覺、分析、非形式化的演繹、形式化的演繹以及嚴(yán)密性。當(dāng)然,學(xué)者對范希爾理論持有不同的態(tài)度,一種觀點(diǎn)認(rèn)為學(xué)生的思維發(fā)展不能從一個(gè)水平跳躍到下一個(gè)水平,應(yīng)該是小步子漸進(jìn)的;另一觀點(diǎn)認(rèn)為這一理論從整體上描述了幾何思維的發(fā)展過程。綜上,筆者認(rèn)為范希爾理論的各個(gè)水平之間沒有明確的界限,是幾何圖形學(xué)習(xí)過程的一般化描述,可以看作是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一般過程。

小學(xué)生的幾何思維水平是從水平0到水平3的發(fā)展過程。學(xué)生的幾何思維水平在第一學(xué)段更多地集中在水平0;第二學(xué)段主要集中在水平1到水平2(如表1所示)。第一學(xué)段的學(xué)生思維多處于形象思維階段,以整體感知為主。如在一年級“認(rèn)識圖形”一章中,學(xué)生第一次接觸平面圖形(根據(jù)形狀進(jìn)行簡單的分類、認(rèn)識三角形),以及在二年級上冊“角的初步認(rèn)識”一章中學(xué)習(xí)角的構(gòu)成,這都是通過視覺來認(rèn)識三角形。在四年級下冊具體學(xué)習(xí)了“三角形”的知識,其中“三角形的特性”和“三角形內(nèi)角和”等知識是非視覺辨認(rèn)可得到的知識,需要學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐才可得出結(jié)論,因此“三角形的特性”和“三角形內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)更多的處于分析和非形式化的演繹層次。同樣五年級的學(xué)生要計(jì)算三角形的面積,以尋求“多邊形的面積”解決之法,這一過程需要學(xué)生經(jīng)歷演繹推理,因此學(xué)生的思維水平是逐漸上升的,處于形式的演繹層次。

雖然學(xué)生的思維水平?jīng)]有明確的劃分界限,但其思維水平呈上升趨勢,這體現(xiàn)了教材編寫的特點(diǎn)[5],更是與課程標(biāo)準(zhǔn)相吻合。

2 圖形的認(rèn)識過程

圖形的認(rèn)識并非傳統(tǒng)的辨別、識別,而是應(yīng)當(dāng)從形式、要素以及要素之間的關(guān)系進(jìn)行闡述。形式即視覺可見的,小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何圖形分為平面圖形和立體圖形兩大類;要素即構(gòu)成圖形的主要元素。在幾何圖形中,基本元素有點(diǎn)、線、面、體、角,幾何圖形的認(rèn)識需要理解這些基本元素之間的關(guān)系。因此圖形認(rèn)識的一般過程是“整體—局部—整體”的過程,體現(xiàn)了從整體到局部,從直觀到抽象的特點(diǎn)[6]。當(dāng)前我國大部分地區(qū)的小學(xué)為六年制?！墩n標(biāo)》根據(jù)學(xué)生發(fā)展的生理和心理特征,將小學(xué)六年的學(xué)習(xí)時(shí)間劃分為兩個(gè)學(xué)段:第一學(xué)段(1－3年級)、第二學(xué)段(4－6年級)。為了更好地探究圖形的認(rèn)識過程,本研究將小學(xué)的年級跨度做了更詳細(xì)的劃分。低年級為小學(xué)一、二年級,中年級為小學(xué)三、四年級,高年級為小學(xué)五、六年級。結(jié)合圖形的認(rèn)識過程,低年級學(xué)生主要的學(xué)習(xí)任務(wù)是從整體上認(rèn)識圖形;中年級學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)是認(rèn)識圖形的“局部”特征;高年級便是圖形的應(yīng)用過程,即重視數(shù)與形的結(jié)合,用數(shù)刻畫形。

2.1 低年級通過實(shí)物認(rèn)識圖形的整體

《課標(biāo)》要求學(xué)生要了解一些簡單幾何體和常見的平面圖形。借助范希爾的幾何思維水平得知,低年級的學(xué)生思維多處于視覺階段,即整體感知階段,表現(xiàn)為兒童能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形,并能進(jìn)行描述;當(dāng)然,低年級的學(xué)生對圖形的構(gòu)成要素有了基本的認(rèn)識,能進(jìn)行簡單的圖形分類。但從總體來看,低年級學(xué)生對圖形的認(rèn)識主要是通過具體實(shí)物來習(xí)得的。

圖1、圖2是人教版一年級下冊“認(rèn)識圖形”的內(nèi)容,通過圖1我們可以看到學(xué)生借助實(shí)際物體畫平面圖形;圖2是“認(rèn)識圖形”的鞏固練習(xí)環(huán)節(jié),要求圈出可以畫出左邊圖形的物體,這個(gè)過程體現(xiàn)出一年級學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際物體抽象到圖形的過程,并且能通過物體的輪廓辨認(rèn)圖形。因此低年級認(rèn)識圖形的過程是通過實(shí)物進(jìn)行的。

圖1 認(rèn)識圖形

圖2 認(rèn)識圖形(練習(xí))

2.2 中年級從局部認(rèn)識圖形

從《課標(biāo)》角度看,1－3年級是第一學(xué)段,4－6年級是第二學(xué)段,因而中年級處于第一學(xué)段到第二學(xué)段的過渡期;從范希爾幾何思維水平看,中年級學(xué)生的幾何思維水平處于分析層次和非形式化的演繹階段,因此中年級學(xué)生在圖形的認(rèn)識過程中更多的處于“局部”認(rèn)識階段。著名的發(fā)展心理學(xué)家皮亞杰(Jean Piaget)把認(rèn)知發(fā)展分為了四個(gè)階段,其中6－12歲處于具體運(yùn)算階段,兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)由前運(yùn)算階段的表象圖式轉(zhuǎn)化為運(yùn)算圖式,心理操作著眼于抽象概念,因此中年級是由形象思維到抽象思維的過渡階段。思維過渡過程中勢必要加強(qiáng)概念的教學(xué)以及實(shí)物抽象的過程。

2.2.1 揭示概念本質(zhì)

概念教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的途徑。概念教學(xué)要經(jīng)歷如下環(huán)節(jié):(1)概念屬性的分析、比較、綜合;(2)概括知識本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性;(3)下定義;(4)概念的辨析;(5)用概念判斷具體事例;(6)建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。四年級下冊“三角形”充分體現(xiàn)了概念教學(xué)的重要性。接下來將借助“三角形的高”具體闡釋圖形中概念教學(xué)的重要意義。

例1“三角形的高”。人教版四年級下冊第五單元“三角形的特性”部分涵蓋了三角形的定義、三角形的高和底等知識(如圖3)?！皬娜切蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)到它的對邊做一條垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高”。想要畫出三角形的“高”,就需要明確“對邊”和“垂線”的概念。我們知道,三角形是由3條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連),故三角形的對邊是指三角形的某個(gè)頂點(diǎn)(或某個(gè)角)所對的邊,即三角形中的某條線段。垂線是指兩條直線相交成直角,其中的一條直線叫作另一條直線的垂線。由此可知,實(shí)際意義上的高是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對邊所在的直線作垂線。若找到“對邊”后仍無法畫出垂線段,應(yīng)當(dāng)適當(dāng)延長頂點(diǎn)所對的邊,由此便可以解決學(xué)生畫高的困難(見圖4)。

圖3 三角形的高

圖4 三角形的高(練習(xí))

2.2.2 實(shí)物的抽象

《課標(biāo)》提出學(xué)生要初步形成數(shù)感和空間觀念,感受符號和幾何直觀的作用,因此中年級的學(xué)生要經(jīng)歷實(shí)物的抽象過程。在研究中,我們把抽象理解為認(rèn)識某一特性的思維活動(dòng),抽象的起點(diǎn)是經(jīng)驗(yàn)事實(shí),抽象的過程可以概括為“分離—提純—簡略”;從范希爾幾何思維水平的角度看,抽象的過程就是進(jìn)行形式的演繹過程。在此過程中,學(xué)生能建立圖形性質(zhì)之間的聯(lián)系,能探求圖形的內(nèi)在屬性,并做簡單的演繹推理。例如,學(xué)生在了解三角形的各個(gè)要素后要學(xué)習(xí)“三角形穩(wěn)定性”,同時(shí)要求學(xué)生掌握三邊之間的關(guān)系。其中,三角形的三邊關(guān)系推導(dǎo)方式體現(xiàn)在七年級下冊,在這里不做過多贅述。

例2“三角形穩(wěn)定性”。三角形的穩(wěn)定性是三角形的特性之一。三角形的穩(wěn)定性是數(shù)學(xué)知識生活化的體現(xiàn),相反地,將實(shí)際生活數(shù)學(xué)化的過程也是進(jìn)行抽象的過程。

四年級下冊“三角形的特性”涉及了三角形的穩(wěn)定性。通過對矩形和三角形進(jìn)行拉伸,對比發(fā)現(xiàn)三角形更不容易變形(圖5)?；诖私Y(jié)論,生活中也運(yùn)用了這一特征。如屋頂、籃球架、埃菲爾鐵塔都運(yùn)用了三角形穩(wěn)定性這一特征,這就是數(shù)學(xué)知識抽象的過程。

圖5 三角形的穩(wěn)定性

2.3 高年級要重視圖形的應(yīng)用

《課標(biāo)》指出,數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的符號意識、空間觀念、幾何直觀,同時(shí)要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識。應(yīng)用意識主要包含兩方面內(nèi)容:一方面是用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題,另一方面是現(xiàn)實(shí)生活中的問題可以通過抽象,形成數(shù)學(xué)問題加以解決。從皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段來看,高年級學(xué)生的思維處于抽象邏輯水平,即范希爾幾何思維水平的第3層次——形式的演繹階段。這一階段,要求學(xué)生能深入了解圖形的特征,更全面地認(rèn)識圖形。因此圖形的認(rèn)識要經(jīng)歷“整體—局部—整體”的過程,其中圖形的應(yīng)用是最后環(huán)節(jié)。

例3三角形面積的應(yīng)用。人教版五年級上冊教材和六年級上冊教材中分別安排了“平行四邊形的面積”(圖6)、“圓的面積”(圖7)的內(nèi)容。圖6是平行四邊形面積的推導(dǎo)過程。將平行四邊形切割成一個(gè)三角形和梯形,通過平移得到矩形,進(jìn)而推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。圖7是圓的面積推導(dǎo)過程,將一個(gè)圓分成若干等份,拼成一個(gè)近似的平行四邊形。二者的共性是將復(fù)雜圖形切割成三角形,重新組成新的簡單圖形。通過這兩個(gè)例子可以看出,平面幾何領(lǐng)域中三角形的應(yīng)用較為廣泛。

圖6 平行四邊形的面積

圖7 圓的面積

3 教學(xué)建議

基于以上研究可以得出,圖形的認(rèn)識包含三個(gè)過程,分別是從整體上認(rèn)識圖形、圖形局部特征的認(rèn)識以及圖形的應(yīng)用環(huán)節(jié)。其中關(guān)鍵是對圖形局部特征的認(rèn)識,包含了揭示概念本質(zhì)和抽象的環(huán)節(jié)。這個(gè)結(jié)論不僅適用于小學(xué)數(shù)學(xué)知識,對于中學(xué)數(shù)學(xué)同樣適用。例如,相似三角形以及全等三角形的內(nèi)容都是通過局部認(rèn)識整體。故依據(jù)本研究所得結(jié)論,提出以下幾點(diǎn)教學(xué)建議:

3.1 巧用圖形特點(diǎn),經(jīng)歷具體到抽象的轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)學(xué)科本身是經(jīng)由具體實(shí)際到抽象概括發(fā)展而來的。抽象主要包含數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系、圖形與圖形的關(guān)系。現(xiàn)實(shí)世界里的圖形是三維的,幾何學(xué)中研究的對象是抽象的產(chǎn)物。抽象為人們學(xué)習(xí)和交流、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題提供了很大便利,也幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地認(rèn)識具有實(shí)際意義的圖形。因此圖形的教學(xué)要巧用圖形特征,實(shí)現(xiàn)具象到抽象概念的轉(zhuǎn)化。培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力,可以從以下幾方面著手:首先要夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識。要學(xué)生經(jīng)歷具象到抽象的轉(zhuǎn)化過程,勢必要以學(xué)生原有知識為基礎(chǔ)。小學(xué)數(shù)學(xué)知識分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分的內(nèi)容,這些知識分布于不同的章節(jié),學(xué)生只有掌握各知識點(diǎn),才有可能建構(gòu)合理的知識體系。知識的缺失勢必會(huì)阻礙學(xué)生具象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)化。其次,給予學(xué)生充足的探索時(shí)間,讓學(xué)生經(jīng)歷抽象化的過程。抽象意味著抽取共同的、本質(zhì)的特征,即保留事物的基本要素和基本特征的過程。教學(xué)過程中,教師可以呈現(xiàn)實(shí)物,引導(dǎo)學(xué)生從具體圖形中抽象出幾何圖形,經(jīng)歷圖形的抽象過程。最后,充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)手段培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。隨著人工智能的發(fā)展,越來越多的人看到了現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢。信息技術(shù)的教學(xué)不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還可以形象地展示出物體與抽象的圖形之間的聯(lián)系,進(jìn)而提高學(xué)生的抽象能力。

3.2 理解概念本質(zhì),提高解題能力

概念能夠客觀地反映事物的內(nèi)在聯(lián)系,把握概念的本質(zhì),有助于學(xué)生對新知識的理解,能夠幫助學(xué)生理解復(fù)雜知識的內(nèi)涵,從而使知識更容易被接受。因此在實(shí)際教學(xué)中,務(wù)必要重視概念的教學(xué)。首先是引入數(shù)學(xué)概念。由于概念是抽象的,因此在認(rèn)識概念的過程中,教師應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生參與探究概念的活動(dòng),讓學(xué)生在探究的過程中了解概念的形成過程,以加深對相關(guān)概念的感知,掌握其本質(zhì)特征。其次是概念的理解階段。經(jīng)歷了概念的引入環(huán)節(jié),學(xué)生對數(shù)學(xué)概念有了初步的認(rèn)識,此時(shí)教師可以組織學(xué)生用自己的語言表述出數(shù)學(xué)概念。在交流過程中,教師起到調(diào)節(jié)與控制的作用,引導(dǎo)學(xué)生揭示出概念的本質(zhì)。學(xué)生們也會(huì)從他人的表述中發(fā)現(xiàn)自己在表述概念時(shí)存在的不足。最后是概念的鞏固與運(yùn)用階段。人的記憶過程包括識記、保持和再現(xiàn)的環(huán)節(jié),遺忘是與保持相反的心理過程。為了減緩遺忘的速度,勢必要對所學(xué)知識進(jìn)行有效的復(fù)習(xí)鞏固。知識的鞏固環(huán)節(jié)必然少不了練習(xí),有效的練習(xí)可以幫助學(xué)生重新認(rèn)識概念的本質(zhì)特征,尤其是正例和反例的使用,可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的記憶,同時(shí)也可以在練習(xí)中鍛煉數(shù)學(xué)思想方法,提高其解決問題的能力。

3.3 強(qiáng)化圖形特點(diǎn),滲透數(shù)形結(jié)合思想

生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息,小學(xué)階段更要滲透數(shù)形結(jié)合思想,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題。數(shù)形結(jié)合的思想可以使抽象的問題直觀化,有助于揭示問題本質(zhì)。因此在教學(xué)過程中要滲透數(shù)形結(jié)合思想,建立現(xiàn)實(shí)問題與抽象圖形的聯(lián)系[7]。滲透數(shù)形結(jié)合思想,首先要提升教師滲透數(shù)形結(jié)合思想的意識。數(shù)形結(jié)合思想始終貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)不僅可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題,更能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,為今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。其次,教師在教學(xué)過程中,要有意識地培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)解形的意識。所謂以數(shù)解形就是將復(fù)雜的圖形問題規(guī)范化的過程。以數(shù)解形可以準(zhǔn)確地描述出圖形中各個(gè)量的關(guān)系,使模糊的數(shù)學(xué)問題更加清晰,有助于揭示出圖形中所蘊(yùn)含的本質(zhì)內(nèi)涵,進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展。