胡茂萍

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

文獻(xiàn)[1]提出了一類混沌系統(tǒng)

x1,x2,x3是狀態(tài)變量,當(dāng)a＝16,c＝24,d＝4,b∈R 和x1(0)＝1,x2(0)＝－1,x3(0)＝－3時(shí),系統(tǒng)(1)是混沌的。當(dāng)b ＜0時(shí),系統(tǒng)(1)是廣義Lorenz 系統(tǒng)族;當(dāng)b＝0時(shí),系統(tǒng)(1)是廣義Lü 系統(tǒng)族;當(dāng)b ＞0時(shí),系統(tǒng)(1)是廣義Chen 系統(tǒng)族。文獻(xiàn)[1]研究了它的動(dòng)力學(xué)行為,但沒考慮系統(tǒng)在干擾因素下的行為,本文探討系統(tǒng)在擾動(dòng)的前提下如何利用脈沖控制技術(shù)來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。

1 基本定義與預(yù)備知識(shí)

脈沖微分系統(tǒng)如下

x ∈Rn,f∶R＋×Rn→Rn連續(xù),Uk∶Rn→Rn是狀態(tài)在tk的改變量,x(tk－)＝x(tk)。{tk}滿足0＜t0＜t1＜t2＜…＜tk＜tk＋1＜…,當(dāng)k →∞時(shí),tk→∞,為了方便敘述,用x 代替x(t)。

定義1[2]設(shè)V∶R＋×Rn→R＋,則V 屬于V0類,如果V 在(tk－1,tk]×Rn(k＝1,2,…)連續(xù),且對(duì)每個(gè)x ∈Rn成立,存在;V 在x 是滿足局部Lipschitz條件。

定義2[2]對(duì)(t,x)∈(tk－1,tk]×Rn,

定義3[2]設(shè)V ∈V0,且D＋V(t,x)≤g(t,V(t,x)),(t ≠tk),V(t,x ＋Uk(x))≤ψk(V(t,x)),(t＝tk)。其中g(shù)∶R＋×R＋→R 連續(xù),ψk∶R＋→R＋非遞減,

系統(tǒng)(3)稱作系統(tǒng)(2)的比較系統(tǒng)。

定義4[2]若函數(shù)α(x)屬于K 類,則α ∈C[R＋,Rk],α(0)＝0,α(x)是嚴(yán)格遞增的。

引理1[2]若下面1)－3)滿足:

1)V∶R＋×Sρ→R＋,ρ ＞0,V ∈V0,D＋V(t,x)≤g(t,V(t,x)),(t≠tk);

2)存在ρ＞0,當(dāng)x ∈Sρ0時(shí),對(duì)任意k 有x＋Uk(x)∈Sρ0和對(duì)x ∈Sρ0,t＝tk有V(t,x＋Uk(x))≤ψk(V(t,x));

3)存在α(˙),β(˙)∈K,在R＋×Sρ上有β(‖x‖)≤V(t,x)≤α(‖x‖),Sρ＝{x∶x ∈Rn,‖x‖ ＜ρ,ρ ＞0,‖˙‖ 為歐氏范數(shù)}。

則由系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性能推出系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性。

引理2[2]設(shè)g(t,ω)＝(t)ω,λ(t)∈C1[R＋,R＋],ψk(ω)＝dkω,dk≥0,如果:

1)存在γ ＞1有λ(tk＋1)＋ln(γdk)≤λ(tk)(k＝0,1,…);

2)λ(t)滿足λ˙≥0,則系統(tǒng)(3)漸近穩(wěn)定。

2 混沌系統(tǒng)的脈沖穩(wěn)定

把方程(1)重寫如下:

其中w(t,x)為干擾項(xiàng),滿足‖w(t,x)‖ ≤L‖x‖(L ＞0),x＝(x1,x2,x3)T,且:

有脈沖控制的系統(tǒng)為

其中{tk}滿足0＜t0＜t1＜t2＜… ＜tk＜tk＋1＜…,當(dāng)k →∞時(shí),tk→∞,△tk＝tk＋1－tk,k＝1,2,3,…,設(shè)計(jì)△x(tk)＝uk(x)＝－ξ△tkx(tk)。

定理1設(shè)q＝λmax(A ＋AT),dk＝(1－ξ△tk)2,|xi|≤M,i＝1,2,3,p＝q＋2M ＜＋1＋L2,如果γ ＞1使得:

1)|1－ξ△tk|＜1;

2)p△tk＋ln(γdk)≤0成立,系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定。

證明取Lyapunov函數(shù)V(t,x)＝xTx,則當(dāng)t≠tk時(shí),

故令g(t,ω)＝ρω,當(dāng)ρ0 ＞0,x ∈Sρ0時(shí),有‖x ＋uk(x)‖＝‖x－ξ△tkx‖＝|1－ξ△tk|‖x‖ ＜‖x‖。故(x＋uk(x))∈Sρ0。

當(dāng)t＝tk時(shí),

令ψk(ω)＝dkω,所以(6)的比較系統(tǒng)為:

由于定理1中p△tk＋ln(γ△dk)≤0,根據(jù)引理1、引理2得出系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定。

3 混沌系統(tǒng)的脈沖同步

主系統(tǒng)由(4)確定,從系統(tǒng)為:

設(shè)計(jì)△e(tk)＝uk(e)＝－ξ△tke(tk),△tk＝tk＋1－tk,k＝1,2,3,… 。

定理2設(shè)q＝λmax(A ＋AT),dk＝(1－ξ△tk)2tk＋1－tk,|xi|≤M,i＝1,2,3,p＝q＋1＋S2＋3M,如果γ ＞1使得:

1)|1－ξ△tk|＜1;

2)p△tk＋ln(γdk)≤0成立,系統(tǒng)(8)與(4)實(shí)現(xiàn)脈沖同步。

證明取Lyapunov函數(shù)V(t,e)＝eTe,當(dāng)t≠tk時(shí),

故令g(t,ω)＝ρω,當(dāng)ρ0 ＞0,當(dāng)e∈Sρ0時(shí),‖e＋uk(e)‖＝‖e－ξ△tke‖＝|1－ξ△tk|‖e‖＜‖e‖。

因此有(e＋uk(e))∈Sρ0。當(dāng)t＝tk時(shí),

故取ψk(ω)＝dkω,系統(tǒng)(10)的比較系統(tǒng)為:

由于定理2中p△tk＋ln(γ△dk)≤0,又根據(jù)引理1、引理2知系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定,故系統(tǒng)(8)與系統(tǒng)(4)實(shí)現(xiàn)脈沖同步。

4 數(shù)值例子

系統(tǒng)(1)中當(dāng)b＝16時(shí)。

例1q＝32,M＝20,此時(shí)取L＝1,γ＝2,ξ＝35,△t1＝△t2＝…＝△tk＝…＝0.02,設(shè)計(jì)uk(x)＝－0.92x,那么|1－ξ△tk|＝0.3＜1;p△tk＋ln(γdk)≤0則由定理1得,系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定。

例2q＝32,M＝20,選取S＝1,γ＝1.1,ξ＝40,△t1＝△t2＝…＝△tk＝…＝0.02,則uk(e)＝－0.92e,那么|1－ξ△tk|＝0.2＜1;p△tk＋ln(γdk)≤0則由定理2得,系統(tǒng)(10)漸近穩(wěn)定,從圖1中可得系統(tǒng)(8)和系統(tǒng)(4)能快速達(dá)到脈沖同步。

圖1 誤差系統(tǒng)(10)的狀態(tài)曲線

5 結(jié)論

考慮有干擾的一類混沌系統(tǒng)在脈沖控制下的穩(wěn)定與同步問題,得到了兩個(gè)定理,并通過仿真實(shí)驗(yàn)說明定理有效性。