Wqs Ahmed , Muhmmd Mozzm , Biswjit Srkr *, Sif Ur Rehmn

a Department of Operations and Supply Chain, NUST Business School, National University of Sciences and Technology, Islamabad 44000, Pakista

b Department of Industrial Engineering, Yonsei University, Seoul 03722, Republic of Korea

c Department of Management Science, Lahore Garrison University, Lahore 54660, Pakistan

1. 引言

在一條全球性的供應(yīng)鏈中，控制從供應(yīng)商到最終客戶的物料流是一個嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。與從本地市場采購的公司相比，從全球市場采購的公司面臨著更大的不確定性。采購提前期越長，其可靠性越低，并且會以管道存貨的形式占用更多資金。瓶頸是顯而易見的，也是每個供應(yīng)鏈的固有部分。與庫存管理相關(guān)的瓶頸之一是從供應(yīng)商那里收到殘次品。根據(jù)供應(yīng)鏈委員會（Supply Chain Council）的說法，完美訂單指的是在正確的日期和時間內(nèi)將正確的產(chǎn)品送達(dá)正確的地點，且產(chǎn)品無缺陷、無損壞、數(shù)量正確、文檔無誤。當(dāng)然，供應(yīng)商不可能提供質(zhì)量100%完美的產(chǎn)品，一定存在可能的誤差范圍。進(jìn)行盤點時，買方必須檢查整個批次的質(zhì)量，挑出殘次品。對于進(jìn)口產(chǎn)品，把殘次品退還給千里之外的供應(yīng)商是不可行的。殘次品將被送至內(nèi)部維修點或當(dāng)?shù)厥袌鲞M(jìn)行維修，并在返修后進(jìn)行部分延期交貨。

供應(yīng)鏈利益相關(guān)者協(xié)調(diào)并整合其業(yè)務(wù)流程，以盡可能低的成本實現(xiàn)卓越的客戶價值。傳統(tǒng)庫存模型的付款是在供應(yīng)商發(fā)貨或客戶收貨后立即進(jìn)行的。實際上，買方以延期（即在買方賣出產(chǎn)品后）付款的方式向供應(yīng)商預(yù)付了貿(mào)易信貸。貿(mào)易信貸指的是允許在購買和結(jié)算之間存在一段時間的付款延遲，具體由買方和供應(yīng)商共同商定。付款條件受雙方之間的產(chǎn)品服務(wù)協(xié)議約束，不會中斷物料流。貿(mào)易信貸是一種能使供應(yīng)鏈合作伙伴雙贏的策略。通常，貿(mào)易信貸由供應(yīng)鏈層次結(jié)構(gòu)中較高級別的伙伴（如供應(yīng)商）提供給較低級別的伙伴（如買方）[1]。通過分別使用銷售價格和購買成本進(jìn)行計算可知[2]，買方的機(jī)會收益（賺取的利息）更好，而供應(yīng)商的機(jī)會成本（付的利息）更差。除了由于延遲付款而帶來的機(jī)會收益外，買方繼續(xù)出售商品，獲得客戶的付款，但不償還給供應(yīng)商[3]。另一方面，供應(yīng)商將貿(mào)易信貸視為一種競爭策略，以最大程度地提高銷售額并減少現(xiàn)有庫存。對于供應(yīng)商而言，機(jī)會成本與財務(wù)收益之間需要權(quán)衡。庫存管理就是要在相互矛盾的目標(biāo)之間做出權(quán)衡。貿(mào)易信貸是一種非常成功的策略，通過這種策略，企業(yè)可以最大限度地提高銷售額，進(jìn)而獲得利潤。機(jī)會成本和機(jī)會收益被合并到利潤計算模型中。

庫存模型是圍繞各種假設(shè)而建立的，并沒有考慮這些假設(shè)的實際意義。Ahmed和Sarkar [4]指出，供應(yīng)鏈的基礎(chǔ)之一是管理從初始來源到最終客戶的質(zhì)量完美的商品。模型的假設(shè)之一是，一個批次內(nèi)收到的所有產(chǎn)品都具有完美的質(zhì)量。如今，企業(yè)希望能夠保證供應(yīng)、質(zhì)量和安全性[5]。下一代制造業(yè)有望在生產(chǎn)中增加彈性，實現(xiàn)大規(guī)模定制，提高質(zhì)量和生產(chǎn)率[6]。Khanna等[7]提出了一種針對殘次品的最優(yōu)補(bǔ)貨庫存策略。由于系統(tǒng)缺陷，所有零件均經(jīng)過了100%的檢查過程。據(jù)Tiwari等[8]的研究，綠色生產(chǎn)系統(tǒng)和返工過程通常是不完美的。此外，買方收到產(chǎn)品后立即向供應(yīng)商付款。研究人員批評了這種不切實際的假設(shè)，敦促庫存模型應(yīng)以實際參數(shù)為基礎(chǔ)[3]。本文提出的模型放寬了這些假設(shè)，以找到現(xiàn)實生活中問題的最佳解決方案。該模型擴(kuò)展了以下內(nèi)容：不合格產(chǎn)品的識別和修理、返工后的部分產(chǎn)品延期交貨，以及多種貿(mào)易信貸政策。一種基于代數(shù)方法的算法被開發(fā)出來以實現(xiàn)利潤最大化[3]。該方法提供了一個閉環(huán)的最佳解決方案。代數(shù)方法以最佳和最簡單的方式解釋了庫存理論，同時最大程度地降低了出錯的可能性。

本文旨在衡量將殘次品返工并部分延期交付到物料流和利潤系統(tǒng)中的影響，此外，也評估了多種貿(mào)易信貸對利潤的影響。本研究為家用電器供應(yīng)鏈（如日用電器）的管理人員提供了實用的見識。通常，這類公司會根據(jù)預(yù)期需求從海外供應(yīng)商處獲得庫存，而任何超額需求都將被延期交付。但是，退回或更換損壞的產(chǎn)品并不劃算。文章隨后的內(nèi)容組織如下：第二部分為文獻(xiàn)綜述；第三部分描述了所提出的數(shù)學(xué)模型的問題定義和假設(shè)；第四部分闡述了數(shù)學(xué)模型；第五部分用數(shù)值示例和結(jié)果驗證模型；第六部分詳細(xì)介紹了該模型的敏感性分析；第七部分提供了管理方面的見解；第八部分討論了未來模型的擴(kuò)展，作為結(jié)語。

2. 文獻(xiàn)綜述

現(xiàn)代庫存模型是基于Harris [9]給出的經(jīng)典經(jīng)濟(jì)訂貨量（EOQ）模型?；谀承┘僭O(shè)，該模型可用于確定最佳訂單的大小。庫存管理領(lǐng)域的一些研究人員批評這些假設(shè)是不切實際的[3,10]。Goyal [11]通過引入一個允許延遲向供應(yīng)商付款的庫存模型，放寬了即時付款的假設(shè)。Porteus [12]認(rèn)為批量生產(chǎn)過程可能會“失控”（out of control），從而導(dǎo)致出現(xiàn)殘次品。Rosenblatt和Lee [13]發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量和批次大小之間存在顯著關(guān)系；他們認(rèn)為縮減批次可以降低出現(xiàn)殘次品的可能性。Salameh和Jaber [14]認(rèn)為，殘次品仍然具有價值，因此必須在返工后被重新使用。他們通過從批次中隨機(jī)抽取殘次品，擴(kuò)展了殘次品的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)量（EPQ）模型。通過在篩選總批次過程中研究殘次品和缺貨狀況，Roy等[15]擴(kuò)充了有關(guān)庫存模型的文獻(xiàn)資料。缺貨可能由殘次品引起，因此，一部分需求由部分延期交貨滿足。

隨著時間的演變，關(guān)于生產(chǎn)和庫存模型的研究文獻(xiàn)也越來越多。研究人員通過放寬庫存模型假設(shè)和整合庫存管理的多個維度來擴(kuò)大討論范圍，從而使庫存模型更加實用。Eroglu和Ozdemir [16]引入了一種擴(kuò)展的庫存模型，他們假設(shè)所檢查的每個批次都有殘次品，以延期交付的形式應(yīng)對缺貨。后來，Sarkar等[17]提出了一個單階段的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)模型，該模型認(rèn)為殘次品的不合格率是隨機(jī)的。該模型引入了一種流程，用于對殘次品進(jìn)行返工或維修，并進(jìn)行延期交付。Sarkar和Saren [18]引入了一種模型，該模型假設(shè)了一種篩選策略、篩選錯誤的數(shù)量以及非篩選產(chǎn)品的擔(dān)保成本。他們發(fā)現(xiàn)，在100%檢驗的情況下，篩選成本會顯著增加庫存成本。Jaber等[19]也擴(kuò)展了庫存模型，用價格較高的本地應(yīng)急采購品來替換殘次品。Lashgari等[20]引入了一種庫存模型，該模型在以下三種情況下向下游買方進(jìn)行部分延遲付款，向上游供貨商進(jìn)行部分預(yù)付款：不缺貨、完全延期交付和部分延期交付。通過對殘次品使用經(jīng)典優(yōu)化技術(shù)， Sarkar等[21]提出了一種綜合模型，該模型假設(shè)了兩個階段的檢查、可變的運輸成本和固定的返工成本。Ahmed和Sarkar [22]指出，以商業(yè)規(guī)模使用可再生產(chǎn)品，對于設(shè)計合理的供應(yīng)鏈來說是必不可少的。因此，必須改進(jìn)和規(guī)劃經(jīng)濟(jì)的供應(yīng)鏈。Kim和Sarkar [23]開發(fā)了一種多階段去除器生產(chǎn)系統(tǒng)，通過在制造過程中去除所有殘次品來提高質(zhì)量。他們在單階段制造過程中使用Porteus [12]的對數(shù)表達(dá)式來改進(jìn)質(zhì)量。

關(guān)于不完美的生產(chǎn)和庫存模型的最新研究已經(jīng)整合了庫存決策的多個方面，如環(huán)境問題、預(yù)防性維護(hù)和不確定的需求。智能制造可能通過機(jī)會性過程計劃以及復(fù)雜供應(yīng)鏈的調(diào)度和控制進(jìn)行無缺陷生產(chǎn)[24]。當(dāng)然，有效的信息共享可以提高生產(chǎn)質(zhì)量、產(chǎn)品可靠性、資源效率以及報廢產(chǎn)品的可回收性[25]。但是，即使在當(dāng)下，生產(chǎn)系統(tǒng)也無法提供100%完美的產(chǎn)品。Tiwari等[26]提出了一個單供應(yīng)商/單買方系統(tǒng)的庫存模型，該模型在運輸、倉儲和存儲過程中存在殘次品和碳排放。Taheri-Tolgari等[27]研究了生產(chǎn)系統(tǒng)中的殘次品和預(yù)防性維護(hù)，以便在不確定的條件下建立篩選策略和最佳庫存水平。Tayyab等[28]在多階段生產(chǎn)模型中研究了殘次品和產(chǎn)品需求不確定的影響，并且使用模糊理論和重心方法分別處理需求不確定性和消除目標(biāo)函數(shù)的模糊性。Wook Kang等[29]提出了包含篩選、殘次品、返工和計劃延期交付的單階段制造模型。這一分析方法用于找到最佳的批量大小和預(yù)估延期交貨情況。Dey等[30]開發(fā)了一種用于兩級生產(chǎn)系統(tǒng)的模型，以通過投資來降低缺陷率和安裝成本。

供應(yīng)鏈合作伙伴在其業(yè)務(wù)運營中進(jìn)行協(xié)作，以獲取或維持全球市場上的競爭優(yōu)勢。貿(mào)易信貸政策已成為國際上的最佳做法，也是維持伙伴關(guān)系的雙贏策略。許多研究人員放寬了對即時付款的假設(shè)，并估計其對庫存管理、銷售和利潤的最終影響，從而擴(kuò)展了庫存模型。例如，Soni和Shah [31]針對部分需求不變、部分依賴庫存的零售商，以及提高多期貿(mào)易信貸的供應(yīng)商制定了最優(yōu)訂購策略。Sarkar等[32]討論了多層次貿(mào)易信貸的可持續(xù)性問題，并提出了一次準(zhǔn)備多次交付的政策。他們的模型改善了三級供應(yīng)鏈在經(jīng)濟(jì)和環(huán)境上的績效。Yang和Tseng [33]提出了一種模型，即在可控制的交貨期內(nèi)，在允許貿(mào)易信貸和延期交付的情況下，實現(xiàn)多級供應(yīng)鏈利潤的最大化。近來，通過研究衡量質(zhì)量缺陷、延期交貨、返工、貿(mào)易信貸和多貿(mào)易信貸等多種實踐的影響，將與庫存模型相關(guān)的文獻(xiàn)推向了新的高度。例如，Taleizadeh等[34]通過研究殘次品、上游和下游貿(mào)易信貸以及延期交付需求的影響，改進(jìn)了庫存模型。Tiwari等[35]確定了在不同的允許延遲付款的情況下，庫存模型中可能發(fā)生的潛在情況。Mohanty等[1]提出了一種集成殘次品和貿(mào)易信貸的買方-供應(yīng)商庫存系統(tǒng)，以降低準(zhǔn)備成本和緩解缺貨情況。Taleizadeh等[36]開發(fā)了一種制造多種產(chǎn)品的單機(jī)系統(tǒng)，并假設(shè)存在殘次品，允許貿(mào)易信貸。該模型可以為每種產(chǎn)品的周期長度、生產(chǎn)數(shù)量和延期交貨數(shù)量求得全局最優(yōu)解，從而使總成本最小化。Tiwari等[8]和Lashgari等[37]為非立即變質(zhì)品制定了一種包含多期預(yù)付款和延遲付款時間表的訂貨策略。Zia和Taleizadeh [38]通過將延期交付與結(jié)合訂單量的混合支付策略集成來刺激銷量，進(jìn)一步豐富了EOQ模型。Lashgari等[39]開發(fā)了一種易腐產(chǎn)品的庫存控制模型，研究了在有限時間內(nèi)與訂單數(shù)量相關(guān)的貿(mào)易信貸的影響。表1總結(jié)了不同研究人員的研究成果，并將它們與本文提出的模型進(jìn)行了比較[1,11-21,23,26-31,33,34,36-43]。

表1 庫存模型的類型和綜述

Taleizadeh等[43]開發(fā)的庫存模型包含殘次品和部分延期交貨商品。在收到延期交貨的商品時他們考慮了三種情況：第一種，剛好在庫存水平等于零時收到；第二種，收到時交貨數(shù)量等于殘次品數(shù)量；第三，在仍然存在缺貨時收到。Taleizadeh等[44]考慮了第四種情況，進(jìn)一步擴(kuò)展了庫存模型，即當(dāng)庫存水平過高時收到延期交付的產(chǎn)品。Sarkar等[3]和Ahmad等[45]分別研究了由Taleizadeh等[44]在多信貸期限下提出的第二種和第四種情況。Taleizadeh等[46]開發(fā)的EOQ模型包含概率補(bǔ)貨間隔和允許延遲付款的部分延期交貨。Taleizadeh等[43]介紹了在部分延期交付情況下三種不同的殘次品補(bǔ)貨方案，并研究了它們對成本最小化的影響。沒有一個系統(tǒng)是完美的，因此一個批次中將有一部分產(chǎn)品是殘次品。當(dāng)供應(yīng)商的位置距離買方較遠(yuǎn)時，如在全球供應(yīng)鏈中，此問題將變得更加嚴(yán)重。本研究的目的是衡量在多期付款延遲情況下第三種情況對利潤的影響。

3. 問題描述和假設(shè)

這一部分闡述了本研究中的問題和假設(shè)。

3.1. 問題定義

在全球供應(yīng)鏈中，買方管理者從位于數(shù)千英里之外的供應(yīng)商處采購產(chǎn)品，想要得到100%完美的產(chǎn)品幾乎是不可能的。產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中也可能具有內(nèi)置缺陷。同樣，在全球運輸過程中因處理不當(dāng)也可能會造成損壞。在產(chǎn)品盤點過程中，買方會篩選出一定比例的不合格品。因為將有質(zhì)量缺陷的產(chǎn)品退還給位于數(shù)千英里之外的海外供應(yīng)商進(jìn)行維修，既不可行也不劃算，所以假定這些產(chǎn)品可以在當(dāng)?shù)鼐S修。維修后的產(chǎn)品將通過部分延期交貨的形式返回到初始庫存中。在這里值得注意的是，原始庫存的儲存成本要少于返工產(chǎn)品。維修成本主要包括兩個主要成本，即可變成本和固定成本?？勺兂杀景總€殘次品的單位運輸成本、原材料成本、工人費用以及返工產(chǎn)品在維修點的存放成本。固定成本包括本地商店的準(zhǔn)備成本和運輸成本。返工產(chǎn)品增加到初始庫存中的時間會對庫存產(chǎn)生重大影響，從而影響客戶服務(wù)水平。在本研究中，假設(shè)返工產(chǎn)品會在庫存短缺時重新進(jìn)入買方庫存，并且返工產(chǎn)品的數(shù)量等于缺貨量。此外，假定供應(yīng)商已允許買方執(zhí)行多期付款延遲政策。換句話說，買方將在多個時期內(nèi)收獲不同水平的機(jī)會受益。需要設(shè)計一種有效的庫存管理模型，該模型可以通過整合多期延遲付款和部分延期交貨，用周期時間中樂觀庫存水平的比例（F）和周期時間（T）來優(yōu)化批次大?。≦），從而最大程度地提高利潤。殘次品返工的庫存系統(tǒng)流程如圖1所示。

3.2. 假設(shè)

我們基于以下假設(shè)構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型：

（1）只涉及一種產(chǎn)品。

（2）收到的產(chǎn)品可能包含殘次品。

（3）系統(tǒng)允許短缺，即只交付了部分產(chǎn)品。

（4）買方從全球供應(yīng)商那里收到產(chǎn)品，將殘次品寄回給供應(yīng)商的成本高于在當(dāng)?shù)鼐S修點修理的成本。

（5）篩選率和需求率是已知且恒定的。

（6）需求滿足和篩選過程并行進(jìn)行，但是篩選速度比需求速度更快（x＞D）。

（7）殘次品有輕微缺陷，可以在當(dāng)?shù)剡M(jìn)行維修。

（8）殘次品率是已知的。

（9）買方采購成本Cu與買方出售價格P之間的相關(guān)性由P≥Cu給出。

（10）返工產(chǎn)品的持有成本高于完美產(chǎn)品的原始持有成本（hr＞h）。

（11）一旦缺貨數(shù)量等于殘次品數(shù)量，立即返還返工產(chǎn)品。

圖1. 殘次品返工的庫存系統(tǒng)流程。

圖2. 殘次品庫存情況以及返工產(chǎn)品返回庫存。IMAX：最大庫存水平。

4. 數(shù)學(xué)建模

本節(jié)將開發(fā)和解釋一個總利潤的同化庫存模型，包括部分延期交貨、殘次品的維修和多次付款延遲，如圖2所示。在時間的F部分，庫存水平為正，等于F1+F2。其中F1= (1-β)F且F2=βF，β表示殘次品的比例。系統(tǒng)的正庫存水平為FT，其中T表示周期時間。Fi(i= 1,2)在[0, 1]。如果F等于0，那么所有需求將會失去，而如果F恰好等于1，則不會發(fā)生短缺。本研究中狀態(tài)庫存水平為FTD。初始批次在ts=FTD/x時以速率x接受篩選。篩選速度大于需求速度（x＞D）。在篩選期ts之后，從庫存中取出質(zhì)量為βFTD的殘次品并運輸至維修點。在間隔tR之后，返工的產(chǎn)品被返回買方的倉庫。tR是運輸和返工時間的累積時間。當(dāng)?shù)鼐S修點的返工活動遵循控制協(xié)調(diào)。維修點的固定成本是sr+2A，其中sr是維修點的準(zhǔn)備費用；A是運輸?shù)墓潭ǔ杀?。殘次品的可變成本由clm+ 2ct+hstR給出，其中clm是雇傭和材料成本；ct是運輸成本；hs是維修點的持有成本；tR是總維修時間，包括運輸、返還和修理。維修期限為tR=tT+FTD/R。當(dāng)?shù)鼐S修點的總成本為sr+ 2A+βFTD(clm+ 2ct+hstR)。如果hr是返工產(chǎn)品的持有成本，而h是初始的單位持有成本，則h＜hr。隨著殘次品的返工，庫存系統(tǒng)中出現(xiàn)短缺。假定當(dāng)短缺水平等于返工產(chǎn)品的數(shù)量時，返工產(chǎn)品回到庫存系統(tǒng)。最終，庫存水平變?yōu)?。在提出的案例中，當(dāng)短缺數(shù)量等于殘次品數(shù)量時，每個周期的訂貨量為Q=F1TD+γF2TD+γ(1-F)TD=F1TD+γ(1-F1)TD，其中γ是延期交付的需求比例。

4.1. 訂購成本

在單個周期T中，買方支出的單筆定購成本，用OC表示，其中O是固定訂購成本。具體可表示為：

4.2. 篩選成本

整個批次的篩選成本SrC可表示為：

式中，單位檢驗成本為Cs；F是具有正周期的庫存長度；D是需求率。

4.3. 持有成本

完美商品的持有成本和返修產(chǎn)品的持有成本的總和就是總持有成本HC，可表示為：

4.4. 維修成本

如果每單位維修費用的邊際成本為m，則每單位的維修成本cR可表示為：

當(dāng)短缺數(shù)量等于殘次品數(shù)量時，就會返還返修產(chǎn)品，因此，庫存變成βFTD個單位。隨著周期的結(jié)束，系統(tǒng)的短缺水平變成(1-F)TD。對于給定的周期，訂購的數(shù)量可表示為Q=FTD+γ(1-F)TD。

4.5. 短缺成本

短缺成本SC可表示為：

式中，π是延期交貨成本；l是銷售損失成本；γ表示延期交貨需求的百分比。

4.6. 商譽(yù)懲罰成本

商譽(yù)懲罰成本GWC可表示為：

式中，w是交付給顧客的殘次品百分比；v是退還產(chǎn)品的成本；g是商譽(yù)損失帶來的懲罰性成本。

4.7. 收取和賺取的利息

在允許延遲付款的策略中，如果付款期限長于交貨期限，那么買方會獲得額外的利息收入。如果付款期限小于交貨期限，那么買方獲得的利息收入較少，需要支付更多的機(jī)會成本，而供應(yīng)商只需支付更少的機(jī)會成本以獲得利息收入。因此，供應(yīng)商的模型有兩個后續(xù)案例，分別由允許的付款時間和交貨時間的長度確定。這兩種預(yù)期情況的成本差異如下：

情況1：如果交貨時間T等于或小于允許的付款時間M，則僅賺取利息收入，因為在這種情況下收取的利息為零。這種情況如圖3所示，具體可以表示為：

式中，P是銷售價格；Ie是賺取的利息。

情況2：如果交貨時間T大于初始允許的付款時間M，并且等于或小于隨后允許的付款時間N，則將收取利息并賺取利息。這種情況如圖4所示，可以寫成：

圖3. T ≤M時的利息示意圖。

式中，Ic表示收取的利息。

情況3：還有一種特殊情況，如果買方未能在初始允許的時間內(nèi)支付所需的款項，則會被收取額外的利息。在這種情況下，交貨時間T大于隨后的可允許付款時間N。這種情況如圖5所示，并可表示為：

圖4. M＜T≤N時的利息示意圖。

圖5. T＞N＞M時的利息示意圖。

利潤總額函數(shù)：利潤總額=銷售價格-（訂購成本+產(chǎn)品成本+篩選成本+持有成本+維修成本+短缺成本+商譽(yù)懲罰成本+賺取的利息+收取的利息）

在上述多期付款延遲的情況下，我們討論了三種情況，這三種情況的總利潤方程式為：

情況1：總利潤公式將是公式（1）～（6）和公式（7）的組合，其中交貨時間T等于或小于允許的付款時間M，從而導(dǎo)致賺取利息和收取零利息，即T≤M時，總利潤TP1為：

式中，u是殘次品的退款成本。

情況2：總利潤公式將是公式（1）～（6）和公式（8）～（9）的組合，其中交貨時間T大于初始允許付款時間M，等于或小于隨后的允許付款時間N，導(dǎo)致收取和賺取利息，即M＜T≤N時，總利潤TP2為：

情況3：總利潤公式將是公式（1）～（6）和公式（10）～（11）的組合，其中如果買方未能在最初允許的時間內(nèi)支付所需的款項，則會被收取額外利息，即T＞N＞M時，總利潤TP3為：

4.8. 具有最佳T值和F值的情況1

根據(jù)公式（12），情況1的利潤公式可以表示為：

因此有F1+γ(1-F1) = 1 - 1 +F1+γ(1-F1) = 1 - (1-F1)(1-γ)，則利潤函數(shù)可以被表示為：

代入Cz=P+l-Cu，總利潤函數(shù)可表示為：

另外，公式可以被精簡為：

式中，D(P-Cu) -CzD(1 -γ) -PIeDM是常數(shù)項。如果總成本最小，那么總利潤最大。如果考慮F1= (1-β)F，則Y(T,F)可以寫成：

精簡后的Y(T,F)公式可以寫成：

J1～J5的值請參見附錄A中的第1節(jié)。

公式（20）可以重寫成：

式中，λ(F) =J2-J4F+J5F2=J2- 2J2F+J5F2且α(F) =J3F。

當(dāng)以下條件成立時，成本公式相對于T取最小值（詳情參見[15]）。

如果在以下成本函數(shù)中替換T*，則總成本最低。

T的最優(yōu)值可能取決于F。采用非微分方法得出F的最優(yōu)值。已開發(fā)的公式結(jié)構(gòu)僅處理包含決策變量的函數(shù)部分，并可表示為：

替換公式（24）中的J4、J3和J5，可知

由公式（22）得

將最優(yōu)的F值代入公式（26）得

最后，將J4、J3和J5代入公式（24）得

4.9. 具有最佳T值和F值的情況2

根據(jù)公式（13），情況2的利潤公式可以表示為：

F*和T*采用最佳值（見附錄A第2節(jié)）：

4.10. 具有最佳T值和F值的情況3

根據(jù)公式（14），加上訂單數(shù)量+1和-1的情況，情況3的利潤公式可以表示為：

F*和T*采用最佳值（見附錄A第3節(jié)）：

5. 數(shù)值實驗

本節(jié)描述數(shù)值實驗。表2和表3展示了實驗數(shù)據(jù)和每種情況下最優(yōu)解中每個利潤變量和決策變量。數(shù)據(jù)來源于Taleizadeh等[36]的研究，并加入了Sarkar等[3]的銷售損失、退貨成本和延期付款等其他參數(shù)。圖6展示了各種情況下的最佳解決方案。

表2 實驗所用數(shù)值

表3 不同情況下的最優(yōu)成本

該解決方案表明，當(dāng)周期時間等于一年的0.050，樂觀庫存水平為0.68%，且訂購的產(chǎn)品數(shù)量為2550時，情況1的最佳狀態(tài)出現(xiàn)，此時總利潤為1 204 220美元。在這種情況下，周期時間等于或小于第一允許的付款期限。對于情況2，當(dāng)周期為一年的0.082時，達(dá)到最佳狀態(tài)，該期間的樂觀庫存水平為0.73%，產(chǎn)品訂購數(shù)量為4150，總利潤為1 201 270美元。在這種情況下，周期時間大于第一允許的付款期限，并且小于或等于第二允許的付款期限。對于情況3，當(dāng)周期時間為一年的0.124時，可達(dá)到最佳狀態(tài)，該期間的樂觀庫存水平為0.75%，訂購的產(chǎn)品數(shù)量為6250，總利潤為1 194 630 美元。在這種情況下，周期時間大于第一和第二允許的付款期限。顯然，情況3提供的利潤最大，情況1提供的利潤最少。

這些結(jié)果證明，如果供應(yīng)商給買方的允許期限等于或大于周期時間，則利潤較小；而如果小于周期時間，則利潤較大。買方從銷售商品和賺取利息中獲利，并從中受益。周期時間的最佳結(jié)果是使用某些參數(shù)獲得的，但是，樂觀庫存水平F可能會發(fā)生變化，并且必須維持在[0, 1]。如果F等于零，則將失去所有需求。相反，如果F等于1，則不會發(fā)生短缺。如圖7所示，在所有情況下，延期交付需求的增加都會增加總利潤。此外，值得注意的是，在所有情況下，增加單位持有成本都會降低總利潤，如圖8所示。如果單位持有成本過高，則無法滿足最優(yōu)解決方案的允許期限。下面進(jìn)一步分析展示了多個波動因素對總利潤的影響。

圖6. 不同情況下的最大利潤。

圖7. 不同情況下延期交付需求的變化對利潤的影響。

圖8. 不同情況下持有成本的變化對利潤的影響。

6. 敏感性分析

圖7至圖9和表4展示了案例中關(guān)鍵參數(shù)變化對總利潤影響的敏感性分析。這些參數(shù)包括：持有成本h、運輸成本ct、維修所需的人工和材料成本clm、殘次品退還的百分比w、每年每美元賺取的利息Ie、第一期收取的利息Ic1、第二期收取的利息Ic2、延期交付成本π、延期交付需求γ、第一允許延遲期限M和第二允許延遲期限N。結(jié)果表明，持有成本h值的變化會導(dǎo)致每種情況下的TP產(chǎn)生較小的逆變化，以顯示平衡狀態(tài)。結(jié)果還表明，總利潤對h的正負(fù)變化同樣敏感。類似地，殘次品往返于修理點的固定運輸成本ct、維修所需的材料和人工成本clm以及殘次品返還的百分比w，在三種情況下都對總利潤產(chǎn)生微小但反向的變化。每年每美元賺取的利息Ie的變化導(dǎo)致三種情況下TP出現(xiàn)微小但正向的變化。結(jié)果表明，TP在平衡狀態(tài)下與Ie顯著正相關(guān)。收取的利息Ic1的變化對情況1無效，類似地，Ic2對情況1和情況2無效，因為在這些情況中不收取任何利息。變化模式中存在平衡狀態(tài)。每種情況下，延期交付成本π的變化都會導(dǎo)致TP出現(xiàn)微小但反向的變化。每種情況下，延期交付需求γ的變化都會導(dǎo)致TP顯著變化。第一允許延遲期限M值的變化僅導(dǎo)致情況1和情況2中的TP出現(xiàn)邊際變化。因此，該參數(shù)沒有顯示出平衡狀態(tài)。第二允許延遲期限N的變化僅導(dǎo)致情況2和情況3中的TP變化。

表4 關(guān)鍵參數(shù)的敏感性分析

圖9. 不同情況下賺取利息的變化對利潤的影響。

7. 管理見解

本研究為殘次品庫存、當(dāng)?shù)厣痰曛袣埓纹返木S修以及多貿(mào)易信貸期限框架下的行業(yè)經(jīng)理提供了重要的見識。在周期時間大于供應(yīng)商給予買方的多個延遲付款時間的情況下，可以使總利潤最大化。公司經(jīng)理必須決定樂觀庫存水平比例和周期時間。因此，參數(shù)之間的權(quán)衡對于獲得持久的業(yè)務(wù)回報是必要的。這項研究還通過變動參數(shù)對總利潤進(jìn)行了深入分析，這些參數(shù)包括延期交付的部分需求、維修點的材料成本、支付的利息、賺取的利息、單位持有成本以及殘次品的運輸成本。

此外，如果賣方并非來自當(dāng)?shù)?，這項研究也為企業(yè)處理不滿意的產(chǎn)品提供了一條途徑。這些殘次品仍然很有價值并且可以被修復(fù)。為了獲得最大利潤，管理人員必須優(yōu)先考慮可接受的延遲付款期限政策、周期時間和部分延期交付需求。管理人員必須通過衡量允許的延遲付款期限來提高銷量，從而減少庫存。通過系統(tǒng)地考慮主要參數(shù)的相互作用來控制它們可帶來最大的收益。這項研究的結(jié)果為行業(yè)經(jīng)理獲得最佳方案提供了指導(dǎo)。

8. 結(jié)論

通過將部分延遲訂購和多期延遲付款與庫存結(jié)構(gòu)整合，本研究引入了新的庫存模型以適應(yīng)殘次品的維修。全球供應(yīng)商的制造系統(tǒng)并不完美，并且會產(chǎn)生殘次品。而且，維修好的批次也可能包含殘次品?？紤]到制造商的距離較遠(yuǎn)，買方必須使用逆向物流來替換殘次品，但是這種方式既費時又需要花費較高的成本。事實上，這些殘次品仍然很有價值，只需要在當(dāng)?shù)氐木S修點進(jìn)行維修即可。與將產(chǎn)品寄回給全球供應(yīng)商相比，本文所提出的解決方案還將對環(huán)境產(chǎn)生積極影響。在這種情況下，通過允許在本地維修點修復(fù)最終產(chǎn)品的缺陷，本項研究提出的框架擴(kuò)展了包含殘次品的庫存模型的現(xiàn)有知識體系，從而最大程度地減少了銷售損失，緩解了部分延期交付情況。返工后，已修復(fù)的產(chǎn)品將重新集成到初始庫存系統(tǒng)中。當(dāng)缺貨需求等于從當(dāng)?shù)鼐S修點收到的殘次品數(shù)量時，返還已修復(fù)的產(chǎn)品。研究中提出的模型還將庫存系統(tǒng)與貿(mào)易信貸的最佳實踐（在多期延遲付款方面）集成。這種最佳做法將為買方提供短期財務(wù)援助，并通過增加銷售量使供應(yīng)商受益，最終獲得多個周期時間和多期延遲付款設(shè)置的最佳結(jié)果。采用非微分方法開發(fā)庫存模型，目的是獲得封閉式的結(jié)果，該方法已在先前的研究中得到有效的使用和驗證。此外，在數(shù)值實驗的幫助下，建立并驗證了所提出的模型，同時還對關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析以支持管理決策。

本研究通過創(chuàng)建具有多期付款的策略并將其用于標(biāo)記推測結(jié)果，以利用整個利潤函數(shù)的基本屬性。為了獲取最大利潤，沒有考慮公司之間相互了解的情況。該研究還可能影響公司的短期現(xiàn)金流。從業(yè)人員可以通過在所需結(jié)算金額與可用資源之間取得適當(dāng)?shù)钠胶鈦碓黾庸镜臓I業(yè)額。如果無缺陷產(chǎn)品的主要持有成本大于第二允許延遲期限，那么獲得最佳解決方案是不可能的。該模型通過調(diào)整多貿(mào)易信貸期限部分延期交貨情況下的正庫存時間和周期時間的比例，來提高全球供應(yīng)商的可持續(xù)庫存管理績效。未來的研究可以通過測試雙產(chǎn)品和雙買方案例來擴(kuò)展這些發(fā)現(xiàn)。在此模型中，提供新的無缺陷產(chǎn)品來代替返工產(chǎn)品也是未來研究的另一個方向。

Compliance with ethics guidelines

Waqas Ahmed, Muhammad Moazzam, Biswajit Sarkar, and Saif Ur Rehman declare that they have no conflict of interest or financial conflicts to disclose.

Nomenclature

Appendix A. Supplementary data

Supplementary data to this article can be found online at https://doi.org/10.1016/j.eng.2020.07.022.