江蘇省南京市西善花苑小學(xué) 胡 俊

一、緒論

隨著基礎(chǔ)教育改革的深化，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)受到了廣泛的關(guān)注。概念教學(xué)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，如何提升其教學(xué)效果顯得尤為重要。概念教學(xué)都經(jīng)歷了由原型到模型再到概念的抽象過程，原型的觀察是概念教學(xué)的起點，是否優(yōu)化的原型選取直接影響學(xué)生的研究觀察與模型建立，從而影響概念的抽象過程。同時，小學(xué)階段數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生主要源于生活的需求，大多數(shù)數(shù)學(xué)概念均可在生活中找到它們的現(xiàn)實原型。因此，對小學(xué)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實原型的優(yōu)化選取的研究具有重大意義。

通過查找、閱讀、分析、比較相關(guān)文獻，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)研究都是從理論綜合的角度出發(fā)，沒有對概念進行細化的分類，很難有針對性地對不同類型的數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實原型的選取提供合理的方案。因此，筆者基于現(xiàn)有研究成果，結(jié)合具體實踐，對不同類型的數(shù)學(xué)概念提出不同的優(yōu)化選取策略。

二、數(shù)學(xué)概念

（一）數(shù)學(xué)概念的含義

數(shù)學(xué)概念是人類對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的思維形式，是架構(gòu)數(shù)學(xué)世界的基石。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵指數(shù)學(xué)概念所反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念的外延指數(shù)學(xué)概念所反映數(shù)學(xué)對象的全部。

（二）數(shù)學(xué)概念的分類

1.按照內(nèi)容分類

數(shù)學(xué)概念可以按照數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容進行分類（見圖1）。

圖1

2.按照能否被定義分類

數(shù)學(xué)概念可以按照能否被定義進行分類，可以分為原始概念和定義概念。原始概念指直接作為研究內(nèi)容本身被提出，無法再加以定義的概念（如直線、射線和角等）。定義概念指通過給概念下定義揭示其本質(zhì)屬性，使其與其他概念區(qū)分開來而獲得的概念（如只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)就是質(zhì)數(shù)）。

3.按照溯源分類

數(shù)學(xué)概念可以按照它的來源進行分類，可以分為直接抽象概念和邏輯建構(gòu)概念。直接抽象概念源自對客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象，它們往往能從現(xiàn)實世界中找到它們的原型或近似原型（如直線、射線、角、正方形、長方形等）。而邏輯建構(gòu)概念是對已有數(shù)學(xué)概念的邏輯建構(gòu)（如用字母表示數(shù)、方程等）。

4.按照表現(xiàn)形式分類

數(shù)學(xué)概念可以按照它的表現(xiàn)形式進行分類，可以分為定義式概念和描述式概念。定義式概念指通過精練完整的語言揭示出事物的本質(zhì)屬性（如含有未知數(shù)的等式是方程）。描述式概念指通過言語對研究對象的本質(zhì)屬性進行描述概括所得到的概念（如像+20、+8844.4這樣的數(shù)都是正數(shù)）。

5.分類的目的與啟示

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念大都以原始概念、直接抽象概念、描述式概念為主，這些概念往往在現(xiàn)實生活中都能比較輕松地找到大量的現(xiàn)實原型，然而對于現(xiàn)實原型的選取還取決于數(shù)學(xué)概念按照內(nèi)容的分類。統(tǒng)計與概率的現(xiàn)實原型大都以邏輯建構(gòu)概念為主，現(xiàn)實原型不容易找到，因此對于小學(xué)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實原型的優(yōu)化選取可以分為數(shù)概念和形概念兩部分進行選取的考量。

（三）數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷程

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)從認(rèn)知結(jié)構(gòu)角度來看，就是新知與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。首先，學(xué)生借助已有知識經(jīng)驗、直接經(jīng)驗與一定的學(xué)習(xí)情境，通過對現(xiàn)實原型的觀察、研究，在“說”的過程中，產(chǎn)生認(rèn)知需求或認(rèn)知沖突，從而獲得對現(xiàn)實原型所蘊含的本質(zhì)屬性的充分體驗，初步在腦海中抽象出現(xiàn)實原型的數(shù)學(xué)模型。接著，由任務(wù)驅(qū)動，通過自主、探究、合作等學(xué)習(xí)方式，對腦海中原有圖式進行加工、重組（或同化或順應(yīng)），建構(gòu)出新的圖式，從形象概念抽象出數(shù)學(xué)符號概念。最后，回歸本質(zhì)相同的具體情境，在操作應(yīng)用中，補充和完善我們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升我們的思維能力和認(rèn)知水平，從而達到對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握（見圖2）。

三、現(xiàn)實原型

（一）現(xiàn)實原型的含義

現(xiàn)實原型指在現(xiàn)實生活中能反映數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的具體情境或具體實物。按照上文的思路，數(shù)學(xué)概念按來源分類可分為直接抽象概念和邏輯建構(gòu)概念。直接抽象概念源于現(xiàn)實生活的需要，在現(xiàn)實生活中，能直接找到許多相似的具體情境，即數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實原型。而邏輯建構(gòu)概念源自數(shù)學(xué)知識體系本身的需求，在現(xiàn)實情境中幾乎無法找尋它的影子，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，絕大多數(shù)概念均屬于前者，均可以在現(xiàn)實情境中追根溯源。

（二）現(xiàn)實原型的分類

基于前文對數(shù)學(xué)概念的分類和小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)實意義，按照數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容和研究對象，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實原型可被分為數(shù)概念的現(xiàn)實原型和形概念的現(xiàn)實原型。數(shù)概念的現(xiàn)實原型大多以具體操作或具體情境為表征（如“10的認(rèn)識”中通過手指數(shù)、計數(shù)器撥、小棒捆等具體操作為表征；蘇教版數(shù)學(xué)“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”中通過給敬老院送菜椒的具體情境圖為表征等）。形概念的現(xiàn)實原型大多以現(xiàn)實生活中的具體事物為載體進行表征（如“認(rèn)識射線”激光燈的光束等）。

（三）現(xiàn)實原型與數(shù)學(xué)概念的關(guān)系

1.數(shù)學(xué)發(fā)展

在歷史的長河中，伴隨著人類科學(xué)文明的發(fā)展歷程，數(shù)學(xué)發(fā)展是從具體到抽象，從現(xiàn)實原型到數(shù)學(xué)概念的單向發(fā)展關(guān)系（見圖3）。

圖3

2.個體認(rèn)知發(fā)展

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷程（即學(xué)生個體的認(rèn)知發(fā)展歷程）中，現(xiàn)實原型和數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)一個封閉的回路狀態(tài)。學(xué)生在具體情境中對現(xiàn)實原型進行充分體驗，抽象出形象概念，在元認(rèn)知、學(xué)習(xí)方式的參與下，從形象概念抽象出數(shù)學(xué)符號概念，最終回歸到具體情境中的問題解決（見圖4）。

圖4

四、現(xiàn)實原型的優(yōu)化選取

（一）現(xiàn)實原型的優(yōu)化選取方法

1.尋找原型

通過追根溯源的方式，由教學(xué)數(shù)學(xué)概念倒推其現(xiàn)實原型，逆向還原數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷程，在由果索因的過程中，找尋合適的現(xiàn)實原型。

2.確定原型

從知識本身、學(xué)生實際和原型的客觀條件等方面，綜合考量現(xiàn)實原型的合理性，以達到現(xiàn)實原型的選取優(yōu)化。

3.優(yōu)化原型

通過對教學(xué)方法、學(xué)生情況和客觀條件等方面的考量，對所選現(xiàn)實原型的不足之處加以補充優(yōu)化，從而使現(xiàn)實原型的選取達到最優(yōu)化。

4.校對原型

重塑從現(xiàn)實原型到數(shù)學(xué)模型再到數(shù)學(xué)概念的過程，在順向的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)歷程中對所選現(xiàn)實原型進行再考量。

（二）以“認(rèn)識射線”為例

1.尋找射線原型

從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)，為我們的追根溯源做好準(zhǔn)備。教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、畫圖和交流等活動，認(rèn)識射線，掌握射線的特征；建立“無限長”的概念。

從數(shù)學(xué)概念想起：什么是射線？書本中采用的是描述式概念，即“像這些光線就可以把它們看作是射線”那么這些光線有什么特點呢？“從一點出發(fā)、直直的、無限長。”這就是射線這一抽象概念的形象模型。結(jié)合這一特征，在具體情境中尋找符合這些特征的實例?？烧业健案鞣N燈光的光束”“動畫片《龍宮奪寶》中孫悟空不斷變大的金箍棒”等現(xiàn)實原型。

2.確定射線原型

“認(rèn)識射線”這一知識屬于圖形與幾何領(lǐng)域基本圖形的概念教學(xué)。在概念的分類上屬于采用描述的表現(xiàn)形式的原始性概念。從學(xué)生角度來看，“金箍棒”更具有趣味性，也更貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗和興趣愛好，而“燈的光束”則更加真實，同時能在操作活動中培養(yǎng)學(xué)生的多種能力。從原型的客觀條件來說，“燈光的光束”受軌跡呈現(xiàn)形式、自然界中各種物質(zhì)的影響，給課堂的觀察研究帶來不確定性。從課堂效率來說，“金箍棒”可能效率更高，而“燈光的光束”相對比較耗時。綜上所述，這兩種現(xiàn)實原型各有利弊均可選取，確定選取哪一種，取決于教師的教學(xué)理念和學(xué)生的需求。

3.優(yōu)化射線原型

在此環(huán)節(jié)，筆者將從“燈光的光束”和“金箍棒”兩條線路進行闡述。

選取“燈光的光束”為現(xiàn)實原型需要考量：（1）觀察對象：取材容易，便于觀察；（2）呈現(xiàn)軌跡：清晰可見；（3）射線表征：延展性；（4）介質(zhì)影響：是否筆直。

結(jié)合考量，提出解決方案：（1）觀察對象：激光筆（電光筆）；（2）呈現(xiàn)軌跡：在較暗的環(huán)境中或者采用霧化的方法，在空氣中噴灑水汽；（3）射線表征：為了突顯光線是不斷向前延伸的，可以先用激光筆照射在室內(nèi)門（墻）上，讓學(xué)生觀察光的運動軌跡，再讓光照射出教室，照射在校園里，讓學(xué)生觀察光的運動軌跡，最后再將光照射向天空，讓學(xué)生想象光的運動軌跡。（4）介質(zhì)影響：由于光在運動過程中會受到自然界中各種物質(zhì)的影響，并不是筆直的，而我們在研究過程中對這種影響是忽略不計的，因此教學(xué)過程中要強調(diào)“沒有遮擋物”。

選取“金箍棒”為現(xiàn)實原型只需要考量如何將射線最重要的表征“一端可以無限延長”表現(xiàn)出來。提出解決方案：讓“金箍棒”動起來，不斷伸長，引發(fā)思考：“金箍棒沖破海面，沖出云層……還能不能再伸長了？讓我們閉上眼睛，想象一下，這根金箍棒還在不斷地延長，不斷地延長……可能延長到哪里了？”

4.校對射線原型

將塑造好的射線的現(xiàn)實原型整合到教學(xué)設(shè)計中，對射線這一概念順向教學(xué)歷程的梳理，校對現(xiàn)實原型選取的合理性，通過校對，兩種優(yōu)化后的現(xiàn)實原型均符合要求。

本研究從小學(xué)數(shù)學(xué)概念的含義和類型著手，闡述了數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷程，揭示了現(xiàn)實原型與數(shù)學(xué)概念的關(guān)系，并為小學(xué)數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實原型的優(yōu)化選取提出了解決方案，對小學(xué)概念教學(xué)的理論研究和教學(xué)實踐有指導(dǎo)意義。

仍存有遺憾，如：小學(xué)數(shù)學(xué)概念的梳理整合；現(xiàn)實原型的分類準(zhǔn)則的細化；現(xiàn)實原型的意義和價值；以數(shù)概念的角度為例詮釋現(xiàn)實原型的優(yōu)化選取方法等。這些問題將是筆者下一階段研究的方向。