王佳佳

一、“數(shù)的整除性”的重要性

“數(shù)的整除性”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識(shí)，說它重要是因?yàn)檫@部分知識(shí)所涉及的基本數(shù)學(xué)概念不僅多，而且相對(duì)集中，如果不能明確、清晰地掌握這些基本數(shù)學(xué)概念的區(qū)別和聯(lián)系，就會(huì)引起混淆，而混淆也必然給以后的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)帶來嚴(yán)重的后遺癥。

二、整除的概念

（一）含義

如果一個(gè)整數(shù)a除以一個(gè)自然數(shù)b，商是整數(shù)而且沒有余數(shù)（或者說余數(shù)為零），就叫做a能被b整除，或者b整除a，記作a/b。這時(shí)a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)。

由整數(shù)概念可知，整除必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：（1）被除數(shù)是整數(shù)，除數(shù)是整數(shù);（2）商是整數(shù);（3）沒有余數(shù)。這三個(gè)條件只要有一個(gè)不滿足，就不能叫整除。

（二）整除與除盡的區(qū)別與聯(lián)系

整除和除盡是兩個(gè)既有區(qū)別又有聯(lián)系的概念，也是兩個(gè)易于混淆的概念。

“除盡”是指在除法中只要除到某一位時(shí)沒有余數(shù)，不管被除數(shù)，除數(shù)和商是整數(shù)還是小數(shù)，都可以說是“除盡”?！罢笔侵冈诔ㄖ兄挥斜怀龜?shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)的情況下，才可以說是“整除”。

“整除”是整數(shù)范圍內(nèi)的除法，而“除盡”則不限于整數(shù)范圍，只要求余數(shù)為零?！罢迸c“除盡”的區(qū)別和聯(lián)系在于“整除”也可以稱作“除盡”，但是“除盡”不一定是“整除”?！俺M”中包括了“整除”，“整除”只是“除盡”的一種特殊情況。

三、“數(shù)的整除性”性質(zhì)及其應(yīng)用

1.如果兩個(gè)整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的和也能被c整除。

反之，如果整數(shù)a、b中，有一個(gè)數(shù)能被c整除，而其中一個(gè)數(shù)不能被c整除，那么a與b和就一定不能被c整除。

2.如果兩個(gè)整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的差也能被c整除。

反之，如果整數(shù)a、b中，有一個(gè)數(shù)能被c整除，另一個(gè)數(shù)不能被c整除，那么a與b的差就一定不能被c整除。

3.如果整數(shù)a能被自然數(shù)c整除，那么a的倍數(shù)（整數(shù)倍）也能被c整除。

4.如果a同時(shí)被b與c整除，并且b與c互質(zhì)，那么a一定能被積bc整除，反過來也成立。

5.如果a、b、c這三個(gè)數(shù)中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（這是整除的傳遞性）。

反之，如果a、b、c這三個(gè)數(shù)中，a與b或b與c之間只要出現(xiàn)一個(gè)不能整除的情況，a就一定不能被c整除。

四、“數(shù)的整除性”特征及其應(yīng)用

1.個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)都能被2整除;反過來，個(gè)位數(shù)字是1、3、5、7、9的數(shù)都不能被2整除。

2.個(gè)位數(shù)字是0或5的數(shù)都能被5整除;反過來，個(gè)位數(shù)字既不是0也不是5的數(shù)都不能被5整除。

3.末兩位數(shù)能被4或25整除的，這個(gè)數(shù)必能被4或25整除;反過來，末兩位數(shù)不能被4或25整除的，這個(gè)數(shù)必不能被4或25整除。

4.末三位數(shù)能被8或125整除的，這個(gè)數(shù)必能被8或125整除;反過來，末三位數(shù)不能被8或125整除的，這個(gè)數(shù)必不能被8或125整除。

5.各位數(shù)字之和能被3或9整除的數(shù)，本身也能被3或9整除;反過來，各位數(shù)字之和不能被3或9整除的數(shù)，本身也不能被3或9整除。

6.能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字所表示數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大減?。┠鼙?（11或13）整除。

7.能被11整除的數(shù)的特征二：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除。

8.能被11整除的數(shù)的特征三（割尾減尾法）：這個(gè)數(shù)除去個(gè)位數(shù)字之外，其余數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)與個(gè)位數(shù)之差被11整除。

9.“如果一個(gè)數(shù)能被互質(zhì)的兩個(gè)自然數(shù)整除，那么他一定能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除”

五、“數(shù)的整除性”的應(yīng)用

例一：從數(shù)字1、2、3、4、5中任意挑選四個(gè)數(shù)字組成能被5整除而各個(gè)數(shù)位上數(shù)字不同的四位數(shù)，共有多少個(gè)？

【分析與解答】因?yàn)榻M成的數(shù)能被5整除，所以挑選時(shí)5必須包括在內(nèi)，其他四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)，這樣共有四種不同的挑選方法：1、2、3和5，1、2、4和5，1、3、4和5，以及2、3、4和5.每種挑選方法5肯定在個(gè)位上，其余三個(gè)數(shù)字位置可以交換，能組成六個(gè)能被5整除的四位數(shù)，例如：1、2、3、5四個(gè)數(shù)字可組成1235、1325、2135、2315、3125和3215.因此四種選法可組成6×4=24個(gè)能被5整除的四位數(shù)。（答：共有24個(gè)。）

例二：三年級(jí)共有75名學(xué)生參加春游，交的總錢數(shù)為一個(gè)五位數(shù)“2□7□5”元，求每位學(xué)生最多可能交多少元？

【分析與解答】先求出滿足條件的最大五位數(shù)。75=25×3，則這個(gè)五位數(shù)是25和3的倍數(shù)。因?yàn)槭?5的倍數(shù)，所以十位為7或2，設(shè)千位為ⅹ，如十位為7，則使2+ⅹ+7+7+5=21+ⅹ為3的倍數(shù)的ⅹ最大為9，得此五位數(shù)為29775.如十位為2，則使2+ⅹ+7+2+5=16+ⅹ為3的倍數(shù)的ⅹ最大為8，得此五位數(shù)為28725.所以，滿足題意的最大五位數(shù)為29775（答：每位學(xué)生最多可能交29775÷75=397）

例三：有一個(gè)能同時(shí)被2、3、5整除的數(shù)，已知這個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加在一起是12，那么，這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字是多少？

【分析與解答】能被5整除，個(gè)位只能是5、0;又能被2整除，則個(gè)位只能是0;又因其他位數(shù)字的和為12，所以肯定能被3整除。（答：這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字是0.）

例四：一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，是11的倍數(shù)，且它的各位數(shù)字和為17，這樣的數(shù)最大是多少？

【分析與解答】若是兩位數(shù)，必為“ⅹⅹ”型，2ⅹ=17，則ⅹ=8.5（舍去）;如為三位數(shù)“abc”，則a+c-b=11，a+b+c=17，得b=3，a+c=14，“a最大為9，c就為5，所以935為最大數(shù)?！?/p>

結(jié)論：

數(shù)的整除性應(yīng)用是比較困難的一個(gè)考查點(diǎn)，現(xiàn)在它不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，還是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的重點(diǎn)，所以想要更好地應(yīng)用在小學(xué)數(shù)學(xué)中，就應(yīng)該讓學(xué)生理解和掌握“數(shù)的整除性”在小學(xué)中常用的一些性質(zhì)和特征。

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