林迪 林志輝

【摘 要】《三角形的三邊關(guān)系》是圖形與幾何領(lǐng)域的經(jīng)典課例，現(xiàn)行人教版教材是眾多版本 中為數(shù)不多引入公理的教材，本課嘗試以活潑的情境引導(dǎo)學(xué)生初步了解公理，進(jìn)而滲透三角形 三邊關(guān)系的推導(dǎo)，并將公理推導(dǎo)融合于后續(xù)操作、探索、驗(yàn)證等教學(xué)活動(dòng)之中，以公理為基礎(chǔ)， 通過推理得出結(jié)論，使學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)知更加深刻。

【關(guān)鍵詞】三角形 三邊關(guān)系 幾何推理

【緣起】

人教版四年級(jí)下冊(cè)的《三角形的三邊關(guān)系》作為圖 形與幾何領(lǐng)域的經(jīng)典課例，本課該如何突破？如何從三 邊關(guān)系的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角形的內(nèi)涵？

筆者研讀教材發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)行人教版教材增加了 “兩點(diǎn) 間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫作兩點(diǎn)間的 距離”這段表述。它是眾多版本中為數(shù)不多引入公理的 教材，這與八年級(jí)教材中利用“兩點(diǎn)間線段最短”得到性 質(zhì)“三角形任何兩邊的和大于第三邊”是一脈相承的。 教材的編寫意圖是為學(xué)生在小學(xué)階段埋下幾何推理的種 子，滲透幾何證明思想。

通過前測(cè)，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對(duì)于三角形三邊關(guān) 系有一定的認(rèn)知。但是判斷“4厘米，5厘米，9厘米能否 圍成三角形？ ”出錯(cuò)較多，學(xué)生較難想象圖形。筆者嘗試 基于公理“兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，這條線段的長 度叫作兩點(diǎn)間的距離”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步的幾何推理， 結(jié)合實(shí)際操作、想象、直觀演示等將理性推理與直觀感知 相融合，以問題驅(qū)動(dòng)的方式認(rèn)識(shí)三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)一 步豐厚三角形的認(rèn)識(shí)。筆者確定了如下教學(xué)目標(biāo)：

（1）??? 知道三角形的三邊關(guān)系，能正確判斷怎樣的三 條線段能圍成三角形。

（2）??? 經(jīng)歷三角形三邊關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程，積累活 動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和推理能力O

（3 ）感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與生活間的聯(lián)系，收獲 成功的體驗(yàn)，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【實(shí)錄】

_、情境激趣，引入公理

師：小狗要盡快吃到骨頭，它會(huì)怎么走？為什么？

生：連接AB，走線段AB，因?yàn)檫@條線路最短。

師：連接AB兩點(diǎn)的連線可以有很多條，但線段AB 是所有連線中最短的，線段AB的長度就是AB兩點(diǎn)間 的距離。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)公理對(duì)處于具體運(yùn)算階段的四年級(jí) 學(xué)生而言是非常抽象的，創(chuàng)設(shè)“小狗啃骨頭”的生動(dòng)情境 能幫助學(xué)生迅速地將數(shù)學(xué)公理與問題情境聯(lián)系起來，將 數(shù)學(xué)公理生活化，同化納入自己的知識(shí)體系中。

二、變化情境，運(yùn)用公理

師：在三角形ABC中，小狗想盡快吃到骨頭該怎么 走？為什么？

生：走線段AB，因?yàn)閮牲c(diǎn)間距離最短，AC+BOAB。 教師利用課件變化小狗和骨頭的位置，繼續(xù)提問： 在三角形里，小狗要盡快吃到骨頭該怎么走？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：教材引入“兩點(diǎn)間距離最短”的公理，而 三角形兩邊之和大于第三邊作為該公理在三角形內(nèi)的推 廣，將兩者在此環(huán)節(jié)用生活情境進(jìn)行融通，使學(xué)生能有效 理解公理，同時(shí)為三角形的三邊關(guān)系推理奠定了基礎(chǔ)。 從長遠(yuǎn)來說，也是為后續(xù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀瓮评淼於ɑA(chǔ)。

三、前測(cè)猜想，操作驗(yàn)證

（-）判斷4厘米、5厘米、10厘米的小棒是否能 圍成三角形

1.????? 直觀判斷

判斷下面每組中的三條線段能否圍成三角形

（1） 4厘米、9厘米、10厘米????????? （2） 4厘米、5厘米、10厘米

'亦??? ：??????? 30

8

I??????? 直

肯圍成???? 恥圍

（3） 4厘米、5厘米、9厘米?? （4） 5厘米、9厘米、10厘米

能圍成 不能圍成? 能圍成???? 不能圍成

師：4厘米，5厘米，10厘米三條線段能不能圍成三 角形？

生：圍不成，因?yàn)?+5 <10o

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生不是一張白紙，學(xué)生是帶著對(duì)三角 形的三邊關(guān)系的直觀理解進(jìn)入課堂的，因此直接從學(xué)生 的判斷情況入手，從“能不能”轉(zhuǎn)化到“為什么”，引導(dǎo)學(xué) 生從直觀的判斷轉(zhuǎn)化到有理有據(jù)的判斷，貼合學(xué)生的學(xué) 情進(jìn)行教學(xué)。

2.????? 操作判斷

師：到底“4厘米，5厘米，10厘米”能不能圍成三角 形，用小棒驗(yàn)證說明。

生1：圍不成，因?yàn)橛?0厘米做底，4厘米，5厘米的 兩條線段無法碰到一起。

生2： 4厘米和5厘米的小棒最靠近的時(shí)候中間還 缺了一段，沒法碰到一起。

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)部分已經(jīng)知曉三角形三邊關(guān)系的學(xué)生， 這時(shí)的操作就不是探究結(jié)論的操作，而是驗(yàn)證性操作。 學(xué)生通過操作驗(yàn)證自己的結(jié)論，將抽象的結(jié)論與具體的 直觀的操作相結(jié)合，豐厚對(duì)結(jié)論的認(rèn)知。而之前無法進(jìn) 行判斷的學(xué)生，通過動(dòng)手操作，在頭腦中建立起了兩邊之 和小于第三邊無法圍成三角形的直觀表象。

3.演示判斷

師：想象，以10厘米為底，4厘米和5厘米兩條線段 分別繞兩個(gè)端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，越來越靠近，會(huì)不會(huì)有交點(diǎn)？

4厘米????? ＼??????? /??????? 5厘米

：10厘米

生：兩條線段距離最近時(shí)還有1厘米的距離。

4.公理判斷

師：現(xiàn)在你能說明為什么此時(shí)不能圍成三角形嗎？

生：如果能圍成三角形，那么兩邊的和小于第三邊， 那就不是兩點(diǎn)間線段最短了，所以圍不成。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生嘗試用公理解釋原因，讓學(xué)生在具 體問題的解決情境中嘗試用公理進(jìn)行幾何的邏輯證明。

（-）判斷4厘米、5厘米、9厘米的小棒是否能圍 成三角形

1.????? 直觀判斷

生：這三條線段不能圍成三角形，因?yàn)?+5=9。

2.????? 演示驗(yàn)證

師：想象，以9厘米為底，4厘米和5厘米的線段分 別繞兩個(gè)端點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，兩條線段是否會(huì)有交點(diǎn)？交點(diǎn) 在哪？

4厘米????? V?????? 弓厘米

A 9厘米

生：交點(diǎn)在9厘米的線段上，兩條線段和底重合了。

設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)兩邊之和等于第三邊的時(shí)候，就不再 進(jìn)行動(dòng)手操作，而是直接通過幾何畫板進(jìn)行演示驗(yàn)證。 因?yàn)閷?shí)物粗細(xì)的限制，往往會(huì)給學(xué)生造成不必要的干擾， 通過想象和幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生更直觀地理解 兩邊之和等于第三邊時(shí)會(huì)重合或者平行，剛好不能圍成 三角形。

（三）回顧課前學(xué)習(xí)單重新判斷兩組線段是否能圍 成三角形

師：現(xiàn)在你覺得“5厘米，9厘米，10厘米”和“4厘米， 9厘米，10厘米”是否能圍成三角形？

（四）利用公理，解釋三角形的三邊關(guān)系

師：三角形的三邊有什么關(guān)系？

生1 ：三角形中兩邊之和要大于第三邊。兩邊之和 等于或小于第三邊的時(shí)候就不能圍成三角形。

生2 ：“兩點(diǎn)之間所有連線中線段最短”就是“兩邊 之和大于第三邊”。

四、鞏固提升，拓展練習(xí)

（一）? 基礎(chǔ)鞏固，快速判斷

師：快速判斷這三條線段是否能圍成三角形？說一 說為什么？

（1）??? 3厘米，5厘米，7厘米。

（2）??? 5厘米，5厘米，10厘米。

（3）??? 4厘米，14厘米，7厘米。

生：通過三角形兩邊之和大于第三邊進(jìn)行判斷，第 一題三條線段可以圍成三角形，其他兩組不可以。

師：4+14>7，為什么不能圍成三角形？

生：4+7<14，要任意兩邊之和大于第三邊才能圍成 三角形。

師：第三組線段，如果要換掉14厘米，換成幾厘米 可以圍成。

生：將14厘米換成1?10厘米都可以。

師：想象，將14厘米換成1厘米的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)什 么樣的情況？

線段長=團(tuán)厘米?????? 線段長=日厘米

I

線段長=回厘米

設(shè)計(jì)意圖：“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，“任 意”對(duì)四年級(jí)的學(xué)生而言理解起來是非常抽象的，因此 利用換掉其中的一條邊的習(xí)題設(shè)計(jì)，在沖突中讓學(xué)生自 然感受到“任意”的具體含義，讓抽象的概念與具體的實(shí) 例相結(jié)合，教育自然發(fā)生。

（二）? 練習(xí)提升，發(fā)散思維

師：一條長20厘米的紙條，剪兩刀分成三條，第一 刀剪在什么地方，使得第二刀不論剪哪，都不能圍成三 角形？

生1 ：第一刀剪在8厘米處，8厘米、1厘米、11厘米 就不能圍成1個(gè)三角形。

生2：我不同意，第二刀可以剪成6厘米，8厘米、6 厘米、6厘米，是能圍成三角形的。

生3 ：第一刀剪在10厘米處，因?yàn)槭Ｏ聝蓷l邊加起 來都只有10厘米，兩邊之和等于第三邊，不論怎么剪都 不能圍成三角形。

師：只能剪在10厘米處嗎？

生1 ：第一刀剪在0.1厘米處。

生2 ：不同意，剩下的兩邊之和19.9，大于0.1，在剩 下的中間剪，可以圍成三角形。

設(shè)計(jì)意圖：通過基礎(chǔ)練習(xí)，學(xué)生鞏固了對(duì)三邊關(guān)系 的理解，并通過換一根，讓學(xué)生具體感知三角形中“任 意”兩邊之和要大于第三邊中“任意”的含義，并通過拓 展提升，發(fā)散學(xué)生的思維，使其進(jìn)一步理解三角形的三邊 關(guān)系。

【反思】

一、???????? 公理為基，推理融合

本課嘗試以鮮活的情境認(rèn)知公理，進(jìn)而滲透三角形 三邊關(guān)系的推導(dǎo)，并將公理推導(dǎo)融合于后續(xù)操作、探索、 驗(yàn)證等感性活動(dòng)中，達(dá)到公理為基、推理融合，使三角形 三邊關(guān)系的認(rèn)知走向深刻。

二、???????? 生本課堂，兩個(gè)關(guān)注

本課充分體現(xiàn)了以生為本的教學(xué)理念，既關(guān)注學(xué)生 起點(diǎn)，又關(guān)注不同學(xué)生的發(fā)展。將前測(cè)數(shù)據(jù)作為課堂討 論的核心，讓學(xué)生產(chǎn)生思維的碰撞，又通過大問題、大環(huán) 節(jié)，給予學(xué)生大空間。如最后一題，“20厘米剪2刀，第 一刀剪哪里一定圍不成三角形”的設(shè)計(jì)就是讓不同層次 的學(xué)生都能伸手跳一跳，兼顧了不同學(xué)生的需要。

三、???????? 感性為基，技術(shù)助力

實(shí)物操作有一定的局限性，引入幾何畫板、利用想象 打破了局限。在本設(shè)計(jì)中，學(xué)生基于不斷想象，借助幾何 畫板的動(dòng)態(tài)效果演示，直觀感受三條線段圍成的各種情 況。同時(shí)通過調(diào)整兩條線段與第三條線段的角度，顯示 兩條線段的運(yùn)動(dòng)軌跡，達(dá)到隨生調(diào)整的狀態(tài)。