王麗麗，路 爽，牛冬平

“常微分方程”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)以及統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，其理論體系嚴(yán)謹(jǐn)，抽象程度高，在本科教學(xué)中起著承上啟下的作用.從授課時(shí)間上看，“常微分方程”是第四學(xué)期開(kāi)設(shè)的學(xué)科基礎(chǔ)課，授課對(duì)象是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生.其應(yīng)用廣泛、實(shí)踐性強(qiáng)，是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要觸角.在信息化時(shí)代，學(xué)生的生活和學(xué)習(xí)方式在不斷改變，采用傳統(tǒng)理論教學(xué)與實(shí)踐教學(xué)相結(jié)合的方式已經(jīng)不能滿(mǎn)足學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，因此構(gòu)建適合“常微分方程”課程特點(diǎn)的混合式教學(xué)模式十分重要.

2017年由教育部正式印發(fā)的《普通高等學(xué)校師范類(lèi)專(zhuān)業(yè)認(rèn)證實(shí)施辦法（暫行）》中指出，要建立統(tǒng)一的師范類(lèi)專(zhuān)業(yè)認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)體系，不斷培養(yǎng)和提升師范類(lèi)專(zhuān)業(yè)人才質(zhì)量.這就要求師范類(lèi)課程教學(xué)中應(yīng)聚焦學(xué)生的知識(shí)、素養(yǎng)和能力培養(yǎng).當(dāng)前“常微分方程”課程改革正如火如荼地開(kāi)展，周學(xué)勇等［1]對(duì)“常微分方程”課程雙語(yǔ)教學(xué)模式進(jìn)行了闡述，雙語(yǔ)教學(xué)模式在時(shí)代與形勢(shì)的發(fā)展下逐漸成為“常微分方程”課程的一大特色.那么如何使“常微分方程”課程教學(xué)適應(yīng)時(shí)代的變化，滿(mǎn)足社會(huì)發(fā)展的需求？這一問(wèn)題成為當(dāng)前教育工作者密切關(guān)注和思考的重點(diǎn).其中國(guó)忠金和孫丹［2]提出了在師范專(zhuān)業(yè)認(rèn)證視角下關(guān)于常微分方程課程教學(xué)改革的策略；孫佳佳等［3]探討了基于雨課堂進(jìn)行混合式教學(xué)模式改革的方案.黃震和徐濤［4]以MOOC平臺(tái)為基礎(chǔ)提出了翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式.本文將MOOC與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合構(gòu)建新的平臺(tái)，研究“常微分方程”課程教學(xué)改革下的線(xiàn)上線(xiàn)下混合式教學(xué)模式.

1 “常微分方程”的課程改革措施

從本校教育情況出發(fā)結(jié)合課程教學(xué)需要，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的探索與研究，選取了東北師范大學(xué)微分方程教研室編寫(xiě)的《常微分方程》［5]作為教材，這門(mén)課程的內(nèi)容包括：初等積分法、解的唯一性和延拓定理、常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組和高階線(xiàn)性微分方程.

1.1 教學(xué)內(nèi)容改革

將數(shù)學(xué)建模適當(dāng)引入到理論的應(yīng)用中，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，例如：在教學(xué)中增加天體力學(xué)的二體問(wèn)題、生態(tài)學(xué)中病毒傳播模型、糖尿病檢測(cè)問(wèn)題以及生物種群模型等.另外，針對(duì)學(xué)生個(gè)體差異的特點(diǎn)，利用線(xiàn)上平臺(tái)補(bǔ)充課程學(xué)習(xí)資料，布置開(kāi)放性課題，鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，注重學(xué)生個(gè)體發(fā)展.對(duì)于課程理論中相似的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化，做到詳略得當(dāng)，這樣可以節(jié)省課時(shí)，提高教學(xué)效率.以東北師范大學(xué)微分方程教研室編著的《常微分方程》為例，課程教學(xué)內(nèi)容章節(jié)理論第三章一階線(xiàn)性微分方程組和第四章n階線(xiàn)性微分方程理論相似，通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)比學(xué)習(xí)，既縮短了教學(xué)課時(shí)，又增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的獨(dú)立性.對(duì)于教材中的較難環(huán)節(jié)，例如第五章定性和穩(wěn)定性理論、第六章一階偏微分方程初步這些內(nèi)容可以作為選修內(nèi)容處理，以滿(mǎn)足不同層次學(xué)生的需要.

1.2 教材及電子資源建設(shè)

將東北師范大學(xué)微分方程教研室編寫(xiě)的常微分方程與PAUL等［6]編的《Differential Equa?tions》英文原版教材作為主講教材，把宋迎清等［7]編的《微分方程（Differential Equations）》，王高雄等［8]編的《常微分方程》作為主要教學(xué)參考用書(shū).此外著力建設(shè)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，將知識(shí)點(diǎn)碎片化，制作微課并配備課前章節(jié)測(cè)試及課后習(xí)題庫(kù)、試題庫(kù)，利用新興的智慧教學(xué)工具，例如學(xué)習(xí)通、雨課堂、MOOC等輔助教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程及自學(xué)效果有痕跡可尋.

1.3 教學(xué)方法的多樣性

采用雙語(yǔ)教學(xué)，以英語(yǔ)為主，漢語(yǔ)為輔.對(duì)于英語(yǔ)水平參差不齊的班級(jí)將采用分組教學(xué)，針對(duì)學(xué)生的特點(diǎn)因材施教；采用師生互動(dòng)式教學(xué)，將學(xué)生分成小組，組織好“學(xué)生講好一堂課”的活動(dòng)，讓學(xué)生在備課中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，思考問(wèn)題，解決問(wèn)題，重視學(xué)生自學(xué)以及教師課下的答疑和講解，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性；引入多媒體輔助教學(xué)，采用現(xiàn)代教學(xué)方式，充分利用網(wǎng)絡(luò)課堂和工具.結(jié)合數(shù)學(xué)建模，采用以問(wèn)題為導(dǎo)向，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)常微分方程數(shù)值解法，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，在深刻理解的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生延伸和拓展.

2 “常微分方程”課程改革下混合式教學(xué)模式的構(gòu)建與實(shí)踐

2.1 課前學(xué)習(xí)分析

課前教師應(yīng)做好準(zhǔn)備工作，分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況與知識(shí)背景并制訂本節(jié)課的教學(xué)計(jì)劃.

首先教師布置預(yù)習(xí)任務(wù)，在課前準(zhǔn)備預(yù)習(xí)材料并發(fā)布到平臺(tái)上，包括本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，重難點(diǎn)，以及學(xué)生課前的自學(xué)內(nèi)容和檢測(cè)習(xí)題等（圖1）.學(xué)生按照教師要求，完成預(yù)習(xí)任務(wù)，在PPT或者課本上標(biāo)注好疑難點(diǎn).教師可以通過(guò)后臺(tái)記錄檢查學(xué)生觀看視頻課件的學(xué)習(xí)進(jìn)度，檢查學(xué)生預(yù)習(xí)任務(wù)的完成情況，并根據(jù)學(xué)生在討論區(qū)留下的問(wèn)題、檢測(cè)習(xí)題中的錯(cuò)題分布等掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.然后基于學(xué)生的預(yù)習(xí)情況制訂本節(jié)課的教學(xué)計(jì)劃，包括教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和環(huán)節(jié)設(shè)置等.最后制作本節(jié)課所需的多媒體課件、習(xí)題庫(kù)、MOOC視頻等資源，重點(diǎn)針對(duì)學(xué)生的疑難點(diǎn)進(jìn)行講解，提高課堂效率.

圖1 常微分方程網(wǎng)絡(luò)課程建設(shè)

2.2 課中學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

課程學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)把傳統(tǒng)教學(xué)模式下教師與學(xué)生人性化交流的優(yōu)勢(shì)發(fā)揮到最大，教師的啟發(fā)指導(dǎo)和講解仍然是課堂上的關(guān)鍵.同時(shí)也要利用多媒體技術(shù)將課堂中學(xué)生難以理解的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)課件更好地展示，幫助學(xué)生更好地理解，利用MOOC后臺(tái)監(jiān)測(cè)，對(duì)以往學(xué)生考勤、課上討論、課堂測(cè)驗(yàn)等問(wèn)題用更加方便快捷的方式完善.

教師開(kāi)啟MOOC授課，選擇課程和班級(jí)，組織學(xué)生通過(guò)手勢(shì)、位置或二維碼簽到等形式完成課堂考勤，教師能看到課堂應(yīng)到人數(shù)和實(shí)到人數(shù)，也能看到具體名單，為教師提供學(xué)生平時(shí)成績(jī)的參考依據(jù).教師根據(jù)課前制訂的教學(xué)計(jì)劃開(kāi)展教學(xué)，對(duì)于內(nèi)容較難章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，教師可以采用講授法組織課堂教學(xué).例如在講授解的存在唯一性定理的推導(dǎo)過(guò)程時(shí)，由于這部分知識(shí)相對(duì)較難，學(xué)生的自學(xué)效果不好，需要教師在課堂上著重講解，采用線(xiàn)下面授的方式更有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)；對(duì)于部分比較容易的教學(xué)內(nèi)容，教師可以將學(xué)生分成小組，由小組的組員分配備課講課的任務(wù)，然后每組派出一名學(xué)生代表作為本次內(nèi)容的授課教師，老師在此過(guò)程中只需要做好知識(shí)的拓展與深化，所有環(huán)節(jié)結(jié)束后由教師和其他小組成員進(jìn)行小組評(píng)分，小組討論總結(jié)所學(xué)內(nèi)容，這樣可以調(diào)動(dòng)課堂活躍性.例如：在講授n階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程解法時(shí)，由于學(xué)生已經(jīng)掌握了齊次方程通解的求法，那么需要掌握的知識(shí)目標(biāo)就歸結(jié)到如何求n階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程的特解上，而非齊次方程特解的待定系數(shù)解法較為簡(jiǎn)單，并且僅考慮兩種類(lèi)型的非齊次項(xiàng)，學(xué)生通過(guò)自學(xué)教材就能學(xué)會(huì)n階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程的解法及其應(yīng)用.所以采取分組教學(xué)，更有助于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶.在課堂上，教師使用提問(wèn)、搶答等功能隨機(jī)選擇學(xué)生回答問(wèn)題，也可以用課堂隨機(jī)測(cè)驗(yàn)的方式向?qū)W生手機(jī)端發(fā)送習(xí)題，檢驗(yàn)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效果（圖2）.章節(jié)結(jié)束后還可以布置綜合案例，讓學(xué)生課下完成，提高學(xué)生獨(dú)立思考解決問(wèn)題的能力.

圖2 常微分方程課堂活動(dòng)

事實(shí)證明，這種教學(xué)模式下的課堂教學(xué)效果得到了顯著提高，課堂氣氛活躍，學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的求知欲高漲.在備課過(guò)程中，學(xué)生們彰顯了高度的責(zé)任心，這一點(diǎn)集中體現(xiàn)在學(xué)生實(shí)施課堂教學(xué)過(guò)程中，面對(duì)同學(xué)的課堂提問(wèn)，每一個(gè)負(fù)責(zé)陳述的小組代表都會(huì)對(duì)答如流，并且講解得很清楚.由此可見(jiàn)無(wú)論是證明過(guò)程，還是解題過(guò)程，學(xué)生們對(duì)每一個(gè)步驟都做好了充分的準(zhǔn)備.作為師范類(lèi)大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，他們不僅要在學(xué)科知識(shí)上深度學(xué)習(xí)，而且要在教學(xué)方法上有一定研究.學(xué)生會(huì)積極思考分組討論，每個(gè)小組都集思廣益，甚至還進(jìn)行組間合作交流意見(jiàn)，力求呈現(xiàn)最好的講課效果.與傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式下的課堂顯著不同的是：以前對(duì)課堂不感興趣的學(xué)生，都會(huì)主動(dòng)參與到課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，他們中有的人對(duì)知識(shí)掌握得不夠好，會(huì)有組內(nèi)的同學(xué)為他答疑解惑；有的人性格內(nèi)向不善言辭，會(huì)在同學(xué)的鼓勵(lì)下勇敢承擔(dān)教師的角色.在這種教學(xué)模式下，教師發(fā)掘到了學(xué)生身上的潛力，真正體現(xiàn)了以“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的新型教學(xué)理念.

2.3 課后學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師的課后反思往往是依據(jù)本節(jié)課學(xué)生的課堂表現(xiàn)給出主觀的結(jié)論，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)效果的“好與壞”也只能依據(jù)學(xué)生成績(jī)的高低作出評(píng)判，這樣的教學(xué)評(píng)價(jià)不夠全面，教師在課后只憑借記憶對(duì)學(xué)生課堂上的表現(xiàn)作出評(píng)價(jià)是不完善的、甚至可能是錯(cuò)誤的.而在混合式教學(xué)模式下，教師可以通過(guò)MOOC了解到本次課程所有的數(shù)據(jù)信息，根據(jù)學(xué)生線(xiàn)上學(xué)習(xí)和線(xiàn)下表現(xiàn)，構(gòu)建起一套全方位、多層次、動(dòng)態(tài)開(kāi)放的評(píng)價(jià)體系.

一節(jié)課結(jié)束后，教師可以通過(guò)MOOC平臺(tái)上記錄的學(xué)生出勤率，微課觀看情況，課堂測(cè)驗(yàn)成績(jī)分布，討論過(guò)程中學(xué)生的活躍度以及線(xiàn)下課堂的表現(xiàn)等準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，評(píng)價(jià)教師的教學(xué)效果，積累經(jīng)驗(yàn)以便在后續(xù)的教學(xué)活動(dòng)中改進(jìn)教學(xué)方法，更新教學(xué)資源，提升教學(xué)效果.并且由于MOOC平臺(tái)上記錄的學(xué)生數(shù)據(jù)不受時(shí)間限制，可以隨時(shí)調(diào)取，方便教師期末考核學(xué)生成績(jī).

3 MOOC模式下“常微分方程”課程與傳統(tǒng)教學(xué)模式的比較

3.1 學(xué)生參與學(xué)習(xí)程度不同

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師授課主要以教材或習(xí)題集為主，教師掌握課堂的主動(dòng)權(quán)，“教師教?學(xué)生學(xué)”幾乎是傳統(tǒng)教學(xué)模式的全部.在這種模式下，教學(xué)內(nèi)容局限于課本，教與學(xué)的過(guò)程都過(guò)于機(jī)械，課堂氣氛不活躍，教師與學(xué)生的關(guān)系更像是“輸出者與接收者的關(guān)系”，不利于知識(shí)的拓展和學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，也不利于掌握學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與應(yīng)用情況.這種傳統(tǒng)授課方式實(shí)際上既不利于學(xué)生潛能的充分發(fā)揮，也不利于學(xué)生整體素質(zhì)的全面發(fā)展.而在MOOC環(huán)境下，教師只作為學(xué)習(xí)資源的提供者和學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，學(xué)生可以根據(jù)自己的時(shí)間制訂學(xué)習(xí)計(jì)劃，也可以按照自己的興趣愛(ài)好選擇喜歡的課程.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，遇到疑問(wèn)可以及時(shí)通過(guò)平臺(tái)與老師交流，也可以與其他學(xué)習(xí)者進(jìn)行討論，教師可以集中針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題在有限的課堂上進(jìn)行專(zhuān)攻講解，有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，更有效地提升了教學(xué)效果.

3.2 教師教學(xué)設(shè)計(jì)有區(qū)別

傳統(tǒng)的“常微分方程”教學(xué)，教師按照教學(xué)計(jì)劃在課前備課，寫(xiě)教案，準(zhǔn)備PPT，依據(jù)學(xué)情分析和教學(xué)背景組織教學(xué)，課后再根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)和學(xué)習(xí)情況，準(zhǔn)備下一次教學(xué).而在MOOC環(huán)境下，課前教師要提前準(zhǔn)備推送給學(xué)生學(xué)習(xí)的資料，需要投入更多的時(shí)間和精力在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)、教學(xué)材料的處理、尤其是電子學(xué)習(xí)資料的準(zhǔn)備上，應(yīng)用電子課件展示等角軌線(xiàn)、正交軌線(xiàn)、線(xiàn)速場(chǎng)等概念更直觀更方便.在課后進(jìn)行教學(xué)反思時(shí)，教師可以通過(guò)后臺(tái)記錄，在大數(shù)據(jù)指導(dǎo)下精準(zhǔn)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況.

3.3 教學(xué)過(guò)程中師生互動(dòng)程度不同

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，教師教學(xué)任務(wù)重，經(jīng)常會(huì)面臨學(xué)生多、課時(shí)少的問(wèn)題，在這種課堂下學(xué)生合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的時(shí)間和學(xué)生與教師的交流討論的時(shí)間就很有限，在有限的師生互動(dòng)中最為常見(jiàn)的就是課后答疑，多數(shù)情況下教師和學(xué)生只是針對(duì)某一個(gè)難題或難點(diǎn)進(jìn)行交流，本質(zhì)上還是教師在講授，學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí).而在MOOC環(huán)境下，學(xué)生可以在線(xiàn)上及時(shí)與教師和同學(xué)交流互動(dòng)，教師在學(xué)生討論時(shí)會(huì)參與引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生一起解決問(wèn)題，在這種模式下師生之間就會(huì)產(chǎn)生積極的互動(dòng)，課堂氛圍也會(huì)更加活躍.

4 結(jié)語(yǔ)

混合式教學(xué)模式早在2003年就由北京師范大學(xué)何克抗教授提出，近年來(lái)隨著新媒體的蓬勃發(fā)展，學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活方式都發(fā)生了重大的轉(zhuǎn)變，混合式教學(xué)模式的普及與完善成為了高校課堂的重要一步.在此背景下，站在教學(xué)一線(xiàn)的教師們更應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，充分利用在線(xiàn)平臺(tái)依據(jù)課程特點(diǎn)開(kāi)展更加深入的教學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).混合式教學(xué)模式的實(shí)踐，不僅是課程改革下常微分方程的發(fā)展與補(bǔ)充，也是高校培養(yǎng)應(yīng)用型人才，推動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué)的進(jìn)步.