林海波 林燕

摘? 要：數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)類本科專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)必修課。根據(jù)數(shù)學(xué)分析課程的特點和教學(xué)要求，我們對該課程教學(xué)改革進行了探索，較好地實現(xiàn)了“傳統(tǒng)教學(xué)與現(xiàn)代教育技術(shù)初步整合，考核方式多樣化、全程化，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，全面提高教學(xué)質(zhì)量”的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析;創(chuàng)新能力;教學(xué)質(zhì)量

中圖分類號：G642? ? ? ?文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2021）02-0145-04

Abstract： Mathematical Analysis course is an important basic course of mathematics undergraduate major. According to the characteristics and teaching requirements of the course of Mathematical Analysis， we have explored the teaching reform of the course， and better realized the goal of "the initial integration of traditional teaching and modern educational technology， the diversification and full process of examination methods， the cultivation of students' innovative ability and the overall improvement of teaching quality".

Keywords： Mathematical Analysis; innovative ability; teaching quality

一、概述

2018年5月2日，習(xí)近平總書記在北京大學(xué)師生座談會上強調(diào)：“教育興則國家興，教育強則國家強。高等教育是一個國家發(fā)展水平和發(fā)展?jié)摿Φ闹匾獦?biāo)志。今天，黨和國家事業(yè)發(fā)展對高等教育的需要，對科學(xué)知識和優(yōu)秀人才的需要，比以往任何時候都更為迫切?！痹谕甑娜珖逃髸?，習(xí)總書記在講話中把“培養(yǎng)什么人”列為教育的首要問題。隨后，《教育部關(guān)于加快建設(shè)高水平本科教育 全面提高人才培養(yǎng)能力的意見》指出：本科生是高素質(zhì)專門人才培養(yǎng)的最大群體，本科階段是學(xué)生世界觀、人生觀、價值觀形成的關(guān)鍵階段，本科教育是提高高等教育質(zhì)量的最重要基礎(chǔ)。辦好我國高校，辦出世界一流大學(xué)，人才培養(yǎng)是本，本科教育是根。建設(shè)高等教育強國必須堅持“以本為本”，加快建設(shè)高水平本科教育，培養(yǎng)大批有理想、有本領(lǐng)、有擔(dān)當(dāng)?shù)母咚刭|(zhì)專門人才，為全面建成小康社會、基本實現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化、建成社會主義現(xiàn)代化強國提供強大的人才支撐和智力支持。

眾所周知，數(shù)學(xué)分析課程是數(shù)學(xué)類本科專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)必修課，也是本科階段學(xué)時最長、學(xué)分最重的一門課程，在培養(yǎng)具有良好的思想品德、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力的專業(yè)人才方面，該課程所發(fā)揮的重要作用是任何其他專業(yè)課程無法比擬的。同時，數(shù)學(xué)分析是新生入學(xué)后最先接觸的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，也是幾乎所有后繼數(shù)學(xué)課程的前提與基礎(chǔ)，是學(xué)生開啟高等數(shù)學(xué)之門的鑰匙。因此可以說，數(shù)學(xué)分析課程的得失，將直接關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和整個專業(yè)教育的成敗。

另一方面，對包括數(shù)學(xué)分析在內(nèi)的各類課程的教學(xué)改革的研究從未停止過。在教學(xué)內(nèi)容方面，文獻[1]對從1995年至2005年數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)內(nèi)容（包括教材）改革方面的一些重大問題上出現(xiàn)的不同意見和觀點，加以綜述與分析;文獻[2]認為在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想方法，配合數(shù)學(xué)模型內(nèi)容，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力和理論知識的掌握，同時可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生的自身素質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)方式方面，文獻[3]針對數(shù)學(xué)分析習(xí)題課上主要采用講授式教學(xué)方式，即多數(shù)時間是老師在講習(xí)題，解題思路基本上是老師代替學(xué)生獨立思考，造成有的學(xué)生課后作業(yè)根本就不愿意獨立思考完成，而是等著老師在習(xí)題課上講這一情況，提出了小組合作學(xué)習(xí)的方式;文獻[4]在數(shù)學(xué)分析的概念、定理和習(xí)題的教學(xué)中，進行了基于研究性學(xué)習(xí)的教學(xué)實踐。在教學(xué)形式方面，文獻[5]概述了傳統(tǒng)板書的諸多益處，指出數(shù)學(xué)教師應(yīng)立足學(xué)科本質(zhì)，關(guān)注教育需要，在傳統(tǒng)板書和現(xiàn)代教育技術(shù)的使用間找到適度的平衡。在課程考核評價方面，文獻[6，7，8，9]探討了各種考核方式的利弊，比較了中西方考試方式，并提出了多種考核形式。

隨著新時代的到來，數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革應(yīng)該朝著哪個方向發(fā)展是值得我們研究的問題。

二、數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)改革探索

《國家教育事業(yè)發(fā)展“十三五”規(guī)劃》提出在深化本科教育教學(xué)改革時應(yīng)推行以學(xué)生為中心的啟發(fā)式、合作式、參與式和研討式學(xué)習(xí)方式，加強個性化培養(yǎng)，并改進教學(xué)評價機制和學(xué)生考核機制。結(jié)合已有研究成果，我們在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中，堅持“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，從多維度對課程進行了教學(xué)改革與建設(shè)：在教學(xué)內(nèi)容中向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，融入數(shù)學(xué)建模思想，同時開展反例研究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式和應(yīng)用能力;在教學(xué)形式上，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)與現(xiàn)代教育技術(shù)初步整合;在考核方式上，采取“復(fù)合式-全程性-多元化”的考核模式;在教學(xué)方式上，通過課堂練習(xí)、小組討論課、撰寫問題研究論文，鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽和數(shù)學(xué)學(xué)科競賽等方式，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。通過以上多維度的教學(xué)改革與建設(shè)，較好地實現(xiàn)了“傳統(tǒng)教學(xué)與現(xiàn)代教育技術(shù)初步整合，考核方式多樣化、全程化，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，全面提高教學(xué)質(zhì)量”的目標(biāo)。具體措施如下：

（一）拓展教學(xué)內(nèi)容，加強教學(xué)的有效性

我們以國家級優(yōu)秀教材[10]為教材，加強對主要概念、定理、公式、法則的實質(zhì)的理解及應(yīng)用，通過各種概念的形成過程、定理的推導(dǎo)過程、方法的思考過程、問題的被發(fā)現(xiàn)過程、思路的探索過程、規(guī)律的被揭示過程等等，逐步向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

例如，極限的思想方法是數(shù)學(xué)分析中最基本的研究方法，它是從有限過程中研究無限過程的對立統(tǒng)一的思維方法，貫穿于數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的始終，是后續(xù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念的基礎(chǔ)。對極限概念的教學(xué)，應(yīng)該縱向開展，層層遞進。首先在極限定義的學(xué)習(xí)中，深入剖析？著-？啄語言的本質(zhì)含義，其中？啄對？著的依賴性決定了尋找？啄的途徑和方法。然后再通過后續(xù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念的教學(xué)，層層挖掘它們與極限概念的密切聯(lián)系，通過反思教學(xué)以此加深對極限思想的理解，形成知識點的聯(lián)系網(wǎng)，同時把后續(xù)知識點的學(xué)習(xí)與極限思想方法的應(yīng)用有機結(jié)合起來。這樣形成一個動態(tài)的循環(huán)學(xué)習(xí)模式，使學(xué)生對知識點的學(xué)習(xí)不僅僅停留在概念本身上，可以進一步加深對知識點的理解，夯實基礎(chǔ)，梳理知識點的前期背景和后續(xù)發(fā)展，形成閉環(huán)，從而減少知識點理解的盲區(qū)，更有利于微觀上探究知識點之間的相互關(guān)系和宏觀上把握課程的整體結(jié)構(gòu)。

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，積極融入數(shù)學(xué)建模的思想方法。在教學(xué)中注意創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)和實際生活聯(lián)系的情境，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)源于生活和實際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題自主探索，并轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型來解決問題。文獻[5]介紹了各知識點中涉及的建模實例，值得參考。

此外，我們結(jié)合教材，開展反例研究。對于數(shù)學(xué)分析中的定理、命題，運用恰當(dāng)?shù)姆蠢龔膯栴}的反面出發(fā)，往往能夠抓住概念或規(guī)則的本質(zhì)，進而加深對知識的理解。數(shù)學(xué)中的很多問題，需要了解不滿足條件的那些對象。在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生思考命題及其否定命題，探討概念及其否定形式，可以進一步加深對知識點的理解。反例思想是數(shù)學(xué)分析中的重要思想，在概念、性質(zhì)的理解，問題的研究與論證中都具有不可替代的獨特作用。恰當(dāng)?shù)剡\用反例，對于正確理解數(shù)學(xué)對象，鞏固和掌握定理、公式、法則等，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，規(guī)范數(shù)學(xué)語言的表達，預(yù)防和糾正錯誤，將起著十分重要的作用。因此，我們結(jié)合教材，對于數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)反例加以總結(jié)和研究，對其中的經(jīng)典反例附以證明，不僅全面而且有理有據(jù)，有利于學(xué)生對這一學(xué)科的深入學(xué)習(xí)。

例如，函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性都是函數(shù)局部的性質(zhì)，但教材上的例子中的函數(shù)性質(zhì)一般都比較好，很多學(xué)生會誤以為函數(shù)在某點的鄰域內(nèi)是連續(xù)或可導(dǎo)的。我們在教學(xué)中給出下面的例子：設(shè)f（x）=x2，x為有理數(shù)，0，x為無理數(shù)，則有

從而，f（x）在x=0點處連續(xù)且可導(dǎo)，另一方面易知f（x）在任意點x（x≠0）處都不連續(xù)，且都不可導(dǎo)。以上例子說明存在僅在一點連續(xù)或可導(dǎo)的函數(shù)，使學(xué)生對函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性是函數(shù)的局部性質(zhì)這一特點有更深的理解。

（二）采用“傳統(tǒng)+現(xiàn)代”教學(xué)模式，提高教學(xué)效率

在教學(xué)形式上，采用“傳統(tǒng)黑板教學(xué)+多媒體教學(xué)”的教學(xué)模式。就數(shù)學(xué)教學(xué)中的傳統(tǒng)板書而論，其德育功能是使學(xué)生濡染工匠精神，美育功能內(nèi)隱于數(shù)學(xué)之美、個性之美和勞動之美，智育功能是幫助學(xué)生構(gòu)建認知結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷知識的“再創(chuàng)造”，積累基本活動經(jīng)驗，參與高效互動和獲得思維緩沖。[4]在數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程中，凡涉及到證明方法，解題思路等內(nèi)容仍然沿用傳統(tǒng)教學(xué)方法。此外，針對數(shù)學(xué)分析課程本身的特點，許多概念陳述和形象認知的問題用大量的板書費時費力也不夠生動形象，這時多媒體課件可以更好地發(fā)揮作用，在比較短的時間段內(nèi)解決問題，節(jié)省課程課時，擴大課堂信息量，增加教學(xué)的生動性，豐富教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效率。

例如，在講授Taylor公式在近似計算中的應(yīng)用中，通過動畫（圖1）展示逼近過程，讓學(xué)生體會Taylor公式所蘊含的局部逼近的數(shù)學(xué)思想。

整個數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)中，傳統(tǒng)黑板教學(xué)講授約占總課時的90%，多媒體課件講授約占總課時的10%，課堂教學(xué)效果良好。

（三）構(gòu)建多樣化、全程化的考試方式，保障教學(xué)質(zhì)量

科學(xué)的考核評價方法，不僅能對教學(xué)起到反饋、調(diào)節(jié)、評價和促進的作用，而且對培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性，促進學(xué)生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神的養(yǎng)成具有重要意義。

我們采取“復(fù)合式-全程性-多元化”的考核模式，期末總成績由作業(yè)（10%）、多次隨堂開卷小測驗（10%）、小組習(xí)題講解評分（10%）、期中考試（20%）和期末考試（50%）綜合而成，并且若學(xué)生在數(shù)學(xué)類競賽獲獎會有附加分，具體分數(shù)根據(jù)獲獎級別且向全體同學(xué)公示，最多可加到總成績滿分。在考試形式上，以傳統(tǒng)的閉卷考試為基礎(chǔ)，根據(jù)課程教學(xué)內(nèi)容采取開放的、靈活的多種考試考核形式：對知識性內(nèi)容的考試仍采取傳統(tǒng)的閉卷筆試考試形式;對學(xué)生調(diào)查、歸納、整理、分析等能力的考查采取分組講解習(xí)題、論文考核、參與各種數(shù)學(xué)類競賽的形式等等。多種形式的考核能夠增強學(xué)生自學(xué)、思考和綜合能力的培養(yǎng)，促進學(xué)生實踐動手能力的提高。在考試時間安排上，做到全程化，注意平時考查學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度、回答問題與討論、作業(yè)和實踐操作技能情況等，即平時考查、階段小測驗、期中和期末考試相結(jié)合。這樣使教師及時了解學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，獲得反饋信息，從而指導(dǎo)教學(xué)，同時也更好地調(diào)動學(xué)生平時學(xué)習(xí)的主動性和積極性。采用傳統(tǒng)單一閉卷模式考試的班級的不及格率經(jīng)常高于10%，而采用多樣化考試模式的班級的則降低到5%以下。此外，學(xué)生參與競賽的積極性極大提高，并在競賽中取得了不錯的成績。

（四）改革教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)分析課程緊，教學(xué)任務(wù)重，任課教師往往不得不采用“滿堂灌”的教學(xué)方式。我們在課前給學(xué)生布置了復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)任務(wù)，在課上前5分鐘主要通過提問方式帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)前一節(jié)課內(nèi)容。此外，通過少講例題，增加學(xué)生的課堂練習(xí)時間。練習(xí)的題目都是精心挑選，既有簡單應(yīng)用，又有拔高題。在練習(xí)期間，允許學(xué)生自由討論，并對有些學(xué)生進行個別輔導(dǎo)。

由于數(shù)學(xué)分析這門課程是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，難度較大，而且包含的知識點比較多，因而對知識點掌握的程度要求較高。單純的課堂教學(xué)、課后作業(yè)難以達到教學(xué)要求并實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。我們采取學(xué)生分組講解習(xí)題，討論題等來輔助教學(xué)。把學(xué)生分成若干個小組，每組組長由學(xué)習(xí)較好的學(xué)生擔(dān)任，講解范圍一部分由教師預(yù)先指定，另一部則由學(xué)生自己收集整理，要求學(xué)生提前準(zhǔn)備好講稿。講解過程中，學(xué)生和老師可以隨時提問，同時老師給予指導(dǎo)和幫助。每次講解完后，由全體同學(xué)現(xiàn)場打分（評分表見表1），老師進行點評，總結(jié)哪些地方做得好，哪些地方有待改進。

小組討論課的形式對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進行了重構(gòu)。學(xué)生在課前進行“信息傳遞”，在課堂上通過互動來完成“吸收內(nèi)化”的過程。教師可以從學(xué)生準(zhǔn)備的講稿中了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，并在課堂上給予及時有效的輔導(dǎo)。同時同學(xué)之間的相互交流也能有助于促進學(xué)生知識的吸收內(nèi)化。通過習(xí)題講解，既鍛煉了學(xué)生分析問題能力，對知識的總結(jié)歸納能力、演講能力等綜合素質(zhì)，又極大地提高了學(xué)生的參與意識和團隊精神，變被動接受式的學(xué)習(xí)模式為主動發(fā)現(xiàn)式的學(xué)習(xí)模式，可以說學(xué)生從中得到的益處是難以估量的。

在課外，我們積極引導(dǎo)學(xué)生參加各種數(shù)學(xué)建模活動與學(xué)科競賽，以此提高學(xué)生的應(yīng)用能力與實踐能力。為了與競賽難度銜接，設(shè)計梯度性增長的課后練習(xí)和作業(yè)，并鼓勵一題多解和巧解，幫助學(xué)生打開思路。增加課后答疑、上機實踐和集中指導(dǎo)，針對課堂吃不飽的學(xué)生，提供課外閱讀材料和提高型習(xí)題資料，并及時予以指導(dǎo)和幫助。在院系層面，結(jié)合學(xué)生社團，組織開展數(shù)學(xué)競賽和建?；顒?，幫助學(xué)生熟悉競賽環(huán)節(jié)，檢視自己的學(xué)習(xí)水平，提高團隊合作能力，同時給予正面鼓勵。

近兩年來，學(xué)生在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中獲國家一等獎2項，國家二等獎3項，在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中獲國家二等獎3項，國家三等獎8項。這些獲獎的學(xué)生大部分同時也是各級大學(xué)生創(chuàng)新項目的項目主持人，并且有多人發(fā)表了SCI或EI收錄科研論文，表現(xiàn)出較強的創(chuàng)新性。

三、結(jié)論

總之，數(shù)學(xué)分析這門課程不僅要教會學(xué)生循序漸進地領(lǐng)會已抽象出來的普遍結(jié)論、掌握扎實的專業(yè)基礎(chǔ)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生抽象的邏輯思維能力、使其切實掌握運用數(shù)學(xué)工具分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的思想和方法，同時培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力。學(xué)生對我們所進行的教學(xué)嘗試和改革，也給予了正面的評價和肯定。最近一年教學(xué)評價評分排全校前5%。學(xué)生在教學(xué)評價中認為“本門課程的任課教師十分認真負責(zé)，課堂內(nèi)容充實豐富，課堂秩序嚴(yán)謹活潑，老師的教學(xué)過程設(shè)計精心，老師的講課風(fēng)格幽默獨特”“這門課注意學(xué)習(xí)的整個過程，對我來說，很多知識點經(jīng)過課堂講授、作業(yè)和小測驗練習(xí)、習(xí)題講解等過程可以比較熟練的掌握和運用，也使我對高等數(shù)學(xué)的很多知識更好地理解。”

我們也充分認識到，數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)的改革是一項艱巨的系統(tǒng)工程，一個不斷探索、不斷改進的過程，需要我們堅持不懈的努力。

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