何建營 周瑞芳

摘要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計是理工科類專業(yè)必修科目之一。概率的定義是系統(tǒng)化知識體系——概率統(tǒng)計的基石，學(xué)習(xí)者對此概念的理解程度，決定了他以后在應(yīng)用時的高度。同時，也會對數(shù)學(xué)其他概念理解和深入學(xué)習(xí)產(chǎn)生促進(jìn)作用。本篇主要討論概率論中關(guān)于“概率”概念統(tǒng)計定義的教學(xué)。通過實例與數(shù)學(xué)軟件模擬結(jié)合，畫圖對比演示概率的統(tǒng)計學(xué)概念的本質(zhì)含義，深入淺出地剖析概念中的問題、難點及解決辦法。

關(guān)鍵詞：概率論，統(tǒng)計學(xué)定義，極限，依概率收斂

引言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是大學(xué)理工類專業(yè)必修基礎(chǔ)課之一，在后期的專業(yè)學(xué)習(xí)、研究生課程學(xué)習(xí)及專業(yè)領(lǐng)域等研究中，有著廣泛的應(yīng)用，它的理論與方法在諸如物理、化學(xué)、工程、生物、管理等眾多傳統(tǒng)學(xué)科中發(fā)揮著重要作用，同時又在一些新興學(xué)科有著重要作用，如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能、大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計是目前最為活躍的數(shù)學(xué)學(xué)科之一，在理論與實踐教學(xué)中，也有著更豐富的素材和背景，是學(xué)生們較為感興趣的一門數(shù)學(xué)課程。

現(xiàn)狀：

概率論與數(shù)理統(tǒng)計畢竟是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，有著數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性，但同時，也有著自身的特點。概率論最大的特點就是研究對象的不確定性，是對事件發(fā)生的可能性的討論，從某種意義上說，是一對多的關(guān)系的研究，這一點上，與高中學(xué)習(xí)的函數(shù)這一概念有所區(qū)別，是數(shù)學(xué)中與映射關(guān)系對應(yīng)的另一種數(shù)學(xué)關(guān)系。雖然高中學(xué)生們已經(jīng)接觸過概率統(tǒng)計相關(guān)知識，鑒于高等數(shù)學(xué)的研究手段，大學(xué)階段，需要同學(xué)們先行修讀高等數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)分析的相關(guān)基礎(chǔ)課程，滿足學(xué)習(xí)的必備知識。

不過在學(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)課程以后，同學(xué)們在進(jìn)行概率課學(xué)習(xí)的過程中，對有些概念的理解容易混淆，或者是理解的似是而非。在概率統(tǒng)計這門課中，包含了很多同時也很抽象的知識點和定理。例如概率的公理化定義，依概率收斂，測度，中心極限定理，假設(shè)檢驗等等，這些概念以及定理在概率論學(xué)習(xí)中不容易理解，更加不容易理解精確和深刻。有些定義如隨機(jī)變量，多維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的分布和條件分布，數(shù)字特征，中心矩，原點矩等等，學(xué)生雖然能夠記住，但是掌握得并不好，在后期的應(yīng)用上更加滿足不了所需所學(xué)。以至于在有些研究的后期階段用到概率有關(guān)知識時，經(jīng)常鬧出笑話或者犯嚴(yán)重的概念錯誤。

大學(xué)數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)就有培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，能夠舉一反三，真正學(xué)以致用。高等數(shù)學(xué)培養(yǎng)了學(xué)生從有些到無限的思維模式，培養(yǎng)了劃分、近似替代、求和、無限逼近極限的思維;那么概率論與數(shù)理統(tǒng)計培養(yǎng)的就是學(xué)生從確定性到隨機(jī)性不確定性轉(zhuǎn)變的思想。但是這種思維轉(zhuǎn)變需要由形象具體到抽象有一個過程轉(zhuǎn)變，需要對學(xué)生加以引導(dǎo)。

下面就概率統(tǒng)計教學(xué)中的案例給出探討，從而達(dá)到學(xué)生學(xué)習(xí)該定義理解的深入：

修讀或者講授過高等數(shù)學(xué)的人都十分清楚極限的定義，一種是對極限的描述性定義，

從上圖中，容易發(fā)現(xiàn)，在從某有限項開始以后，數(shù)列的值開始趨于穩(wěn)定，也就是說，擺動地或者超出某個范圍的可能為零，換句話說，都落在了某個穩(wěn)定值的附近。

對于概率的統(tǒng)計定義，很多同學(xué)就會想當(dāng)然認(rèn)為，概率不就是頻率的極限嗎？當(dāng)，認(rèn)為頻率。我們細(xì)想，真的是這樣的嗎？這其中是有著本質(zhì)區(qū)別的。區(qū)別就是，頻率并非收嚴(yán)格收斂與，而是依概率收斂與。這里邊其實是有著區(qū)別的，但是在介紹依概率收斂的定義之前，同學(xué)們首先學(xué)習(xí)的是概率的統(tǒng)計定義，接著是公理化定義。于是乎，就想當(dāng)然地認(rèn)為，頻率的極限就是概率了。誠然，大數(shù)定律告訴我們這樣一個事實：隨著實驗次數(shù)的增加，頻率會越來越穩(wěn)定接近于某個常數(shù)。這一陳述沒有問題，問題出在了“越來越”三個字上，這一模糊的描述其實就蘊(yùn)含了依概率收斂的意思，我們一拋硬幣實驗為例：顯然這是一個n重貝努力實驗類型，服從二項分布，隨著實驗次數(shù)的增加，最終我們發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)正面向上的頻率多數(shù)是接近1/2的，但我們就能說極限是1/2嗎？錯！顯然，我們實驗的次數(shù)對于極限無窮來說，還差很遠(yuǎn)，事實上，完全有這種可能，實驗了很多次，恰好都是出現(xiàn)反面向上，或者只僅僅出現(xiàn)了1次，2次…這種可能雖然很低，但我們不能就此說沒有可能，只能說可能性幾乎為0，（彩票特等獎中獎率不就如此嗎）所以說，這里得從統(tǒng)計學(xué)出發(fā)的概率定義，并沒有用極限，實際上，是一種依概率收斂的定義。我們通過計算機(jī)多次模擬作圖證明，概率的定義與極限定義的不同之處：

從中可以發(fā)現(xiàn)，概率的收斂是有別于數(shù)列收斂的。所有說，概率并不能簡單的以頻率極限來定義。

當(dāng)然，我們也能從中找到解釋這一現(xiàn)象的原因：理論上講，對應(yīng)拋硬幣實驗，隨著實驗次數(shù)的增多，應(yīng)該說出現(xiàn)正面向上的次數(shù)與總的次數(shù)之比，即頻率，應(yīng)該接近0.5，關(guān)于這一點，大數(shù)定律可以保證。但是這是接近，只是說在多次重復(fù)過程中的統(tǒng)計結(jié)果的平均值，而不是多有的值。我們試想一下，完全存在不管做了多少次重復(fù)實驗，一直都是“正面”超上的結(jié)果，雖然說這種可能微乎其微，但不能據(jù)此否定這種可能性，或者出現(xiàn)1次，2次，3次……總之比較少的有限次數(shù)，只要不是接近一半的次數(shù)，這些都是有可能的，這跟買彩票中一等獎的情況很相似，可能性都很小，幾乎為零，但卻是存在的。以生活中的問題為例，例如小明同學(xué)想購買一種彩票，假如說中“頭獎”的可能性為10-10，雖然很低，幾乎可以認(rèn)為是零。但是，我們不能就此說他一定不會中“頭獎”。因為有可能在他買第一次時，就可能中獎。這種可能性的度量方式，其實就是基于概率的統(tǒng)計學(xué)定義給出的。

那么問題出來了，既然概率不是頻率的極限，該如何定義概率呢？很多教材這樣給出了概率的文字描述定義，說隨著實驗次數(shù)的增加，頻率會越來越穩(wěn)定與某一穩(wěn)定的數(shù)，這一數(shù)值，即為對應(yīng)的事情發(fā)生的概率（嚴(yán)格講是統(tǒng)計學(xué)意義下的概率）。這一描述，很相似于高數(shù)中數(shù)列極限的描述性定義，但有區(qū)別，我們仔細(xì)對比一下：高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限定義會講，從某項開始以后，“所有的”數(shù)列的項會越來越接近某一數(shù)。而概率論呢，卻從不會說從某項以后開始，而是說越來越接近。也就是說不是所有的，那么顯然就有可能有溢出來的一部分情況了，只是說這種可能性較小罷了。

定義?在相同的條件下，進(jìn)行了n 次試驗， 在這 n 次試驗中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) 稱為事件 A 發(fā)生的頻數(shù)。?比值 稱為事件A 發(fā)生的頻率，并記成 。

顯然，頻率具有以下性質(zhì)：

概率的統(tǒng)計定義：在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗，當(dāng)試驗次數(shù)n充分大時，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)于某個常數(shù)附近，我們稱為事件發(fā)生的概率。

顯然，由頻率得到概率統(tǒng)計定義是有缺陷的，統(tǒng)計學(xué)概率取值依賴于具體實驗，我們不可能對每個事件都做大量的試驗，從而得到頻率的穩(wěn)定值。用這種定義很難計算事件的概率。

由于理論研究的需要，受頻率性質(zhì)的啟發(fā)，于是1933年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Kolmogrov提出了概率的公理化結(jié) 構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義

概率的公理化定義：設(shè)E為隨機(jī)試驗，為其樣本空間，對于E的任一個?事件，都有一實數(shù)與之對應(yīng)，稱為事件A的概率，如果集函數(shù)滿足：（1）非負(fù)性：對任意事件A，P（A）≥0;（2）規(guī)范性：P（Ω）=1;（3）可列可加性：設(shè)A1?，A2 ， ……是兩個互不相容的事件，則有：

顯然這一概念更加抽象和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。借助于實驗次數(shù)的局限，在有限次的樣本空間下，規(guī)定了等可能性的古典概型的頻率統(tǒng)計，也就基本等同于我們平時說的統(tǒng)計學(xué)概率了。即

下面就此我們給出一個例子：

例：某接待站在某一周曾接待過 12次來訪，已知所有這 12次接待都是在周一和周三進(jìn)行的。問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？

假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定，個來訪者在一周的任一天中去接待是等可能的，那么一周內(nèi)接待12次的來訪共有712種。而12次接待來訪者都在周一，周三的概率為：=212/712=0.0000003

人們在長期的實踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實際推斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認(rèn)為其接待時間是有規(guī)定的。

總結(jié)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計的許多概念比較抽象。由于研究的隨機(jī)現(xiàn)象具有不確定，與學(xué)生之前學(xué)習(xí)的研究確定性現(xiàn)象的學(xué)科如幾何、代數(shù)、微積分等有極大的不同，在教、學(xué)過程中給學(xué)習(xí)者和講授者都帶來很大難度。應(yīng)該本著仔細(xì)斟酌和聯(lián)系實踐的科學(xué)精神，認(rèn)真領(lǐng)會該學(xué)科的奧妙，不足之處敬請指正。

中原工學(xué)院 理學(xué)院?何建營?周瑞芳