陳秀美

摘 ?要：算法是一種經(jīng)過歸納、形成模式的計(jì)算程序，是解決“怎樣計(jì)算”的問題。算理則是說明“為什么這樣算”的數(shù)學(xué)原理，它是算法的數(shù)學(xué)依據(jù)，展示了整個(gè)解題思路，為學(xué)生形成可操作化的計(jì)算指明了方向，是學(xué)生運(yùn)算能力形成與提高的保障。

關(guān)鍵詞：實(shí)際操作;直觀算理;數(shù)形結(jié)合;內(nèi)化算理;經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化

【中圖分類號】G622.0 ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A ? ? ? 【文章編號】1005-8877（2021）05-0179-02

There is a way to build a chain of ideas and trace its origin

——Analysis algorithm

CHEN Xiumei ?（Jinguang primary school，Quanzhou City，F(xiàn)ujian Province，china）

【Abstract】The algorithm is a kind of calculation program which has been induced and formed a pattern，and it is to solve the problem of "how to calculate". Calculation principle is the mathematical principle to explain "why to calculate like this"，it is the mathematical basis of the algorithm，shows the whole idea of solving problems，points out the direction for students to form operable calculation，and is the guarantee for the formation and improvement of students' computing ability.

【Keywords】Practical operation;Intuitive calculation;Combination of number and shape;Internalization calculation;Experience transformation

在一次作為教師資格證面試官的時(shí)候。有個(gè)考生抽到的是分?jǐn)?shù)乘法（1）這課。她整節(jié)課都只是在教學(xué)生應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算方法：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，分母不變，分子相乘。然后進(jìn)行計(jì)算練習(xí)。在考官提問時(shí)，我們提出：“你知道為什么要這樣計(jì)算嗎？”她說：“沒有為什么呀！我們以前的老師就是這樣教我們的?！蔽覀冊偬岢觯骸罢埬阍倏纯唇虒W(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算方法的探索過程，理解分?jǐn)?shù)乘法的意義。而教材前部分出現(xiàn)大幅板塊的目的是什么？”其實(shí)這個(gè)考生忽略了這節(jié)課的重點(diǎn)：分?jǐn)?shù)乘法的算理。她說的也沒錯(cuò)，在以前印象中的學(xué)習(xí)時(shí)確實(shí)也只教算法。但隨著教學(xué)改革，教學(xué)素養(yǎng)的要求有了很大的提高。這位考生沒有去研究新的教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以及研讀教材。而對于現(xiàn)在在教學(xué)中增加的算理學(xué)習(xí)，也讓一部分老教師感到不適應(yīng)，覺得這增加了教學(xué)工作量，只要學(xué)生會計(jì)算就可以了，算理部分的探索往往一帶而過。我想現(xiàn)在的教學(xué)更多的是要培養(yǎng)學(xué)生的技能?！凹肌本褪羌夹g(shù)，會解題。“能”就是能力，會自己探索，研究，而明理。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中的分析算理部分是非常重要的。

算法是一種經(jīng)過歸納、形成模式的計(jì)算程序，是解決“怎樣計(jì)算”的問題。算理則是說明“為什么這樣算”的數(shù)學(xué)原理，它是算法的數(shù)學(xué)依據(jù)，展示了整個(gè)解題思路，為學(xué)生形成可操作化的計(jì)算指明了方向，是學(xué)生運(yùn)算能力形成與提高的保障。那么怎樣引導(dǎo)學(xué)生析算理，而明算法呢？我覺得對于這部分教學(xué)還不是很了解的老師，重點(diǎn)就是研讀教材。在小學(xué)階段的教材中出現(xiàn)算理教學(xué)的方法一般如下：一是實(shí)際操作，直觀理解算理;二是數(shù)形結(jié)合，內(nèi)化理解算理;三是經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化，優(yōu)化理解算理。

1.實(shí)際操作，直觀理解算理

實(shí)際操作一般是利用實(shí)物圖，數(shù)學(xué)學(xué)具（小棒、計(jì)數(shù)器、幾何圖形等），引導(dǎo)學(xué)生通過動手?jǐn)[一擺，理解計(jì)算的過程。例如，在二年級下冊《有余數(shù)的除法》，在這章節(jié)中要結(jié)合搭正方形的操作過程，認(rèn)識余數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷探索余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，理解有余數(shù)除法豎式各部分的意思。因?yàn)閯偨佑|余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，所以對于學(xué)生來說是比較抽象的。因此在教學(xué)過程中要安排大量的實(shí)踐操作讓學(xué)生進(jìn)行探索。通過用一組連續(xù)根數(shù)的小棒擺大正方形的活動，如：14、15、16....20根，引導(dǎo)學(xué)生探索有余數(shù)除法的意義。學(xué)生在操作中會發(fā)現(xiàn)有時(shí)小棒會剛好用完，有時(shí)小棒還會有剩余。這時(shí)老師就引出了余數(shù)這個(gè)概念。為了突破余數(shù)要比除數(shù)小的這個(gè)道理，引導(dǎo)學(xué)生在操作中觀察隨著小棒數(shù)量的增加，剩余的小棒也相應(yīng)的增加，但增加到一定的程度，小棒剛好用完，再繼續(xù)下去，又出現(xiàn)了之前的現(xiàn)象，重復(fù)著的這個(gè)過程可以幫助學(xué)生清楚地觀察余數(shù)從無到有，從有到無的過程。通過搭一搭的過程進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生掌握豎式的寫法以及理解豎式各部分的意思。在此搭一搭的實(shí)踐操作過程為學(xué)生理解余數(shù)提供了形象化的支撐。再如，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教授學(xué)生平行四邊形與長方形及正方形之間的關(guān)系時(shí)，教師可以采用實(shí)踐操作法，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并直觀理解算理。教師要求學(xué)生們用刻度尺與量角器自行測量某一事物的四邊長短以及它們的角，在做完基礎(chǔ)工作后，教師則要學(xué)生們自行總結(jié)比較測量后得出的結(jié)論。學(xué)生通過實(shí)踐操作發(fā)現(xiàn)正方形與長方形實(shí)際上都是平行四邊形的一種，只不過它們較為特殊，另外還有正方形的四邊相等、而長方形與平行四邊形都是對邊相等等等結(jié)論。這時(shí)教師則需要再次向?qū)W生提問：“為什么？”進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生思考，深入分析自己所得結(jié)論的理由。學(xué)生可以從測量結(jié)論入手倒敘分析，也可以講述自己所得結(jié)論的過程以及推測思路，進(jìn)而對數(shù)學(xué)的抽象算理分析有根有據(jù)，這不但給數(shù)學(xué)課堂探究提供了機(jī)會，更是使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活性得到進(jìn)一步的強(qiáng)化。

2.數(shù)形結(jié)合，內(nèi)化理解算理

以形論數(shù)，以數(shù)表形，把抽象的過程直觀的展示出來，內(nèi)化突破了算理中的難點(diǎn)。在教學(xué)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時(shí)，許多學(xué)生已經(jīng)在家長或課外自學(xué)中了解了計(jì)算法則：分母不變，分子和整數(shù)相乘。如果以為學(xué)生已經(jīng)會計(jì)算了，那么這節(jié)課也就沒什么可以教了。但這節(jié)課的難點(diǎn)是理解：為什么分母不變。此時(shí)就要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索。比如： 3/7 ?2× ? ?學(xué)生可以畫線段圖：

畫幾何圖：

引導(dǎo)學(xué)生從圖中看出2個(gè)的 相加，分?jǐn)?shù)單位一樣都是 ，這樣就有2個(gè)3的 。內(nèi)化理解了為什么分母不變的難點(diǎn)。

又如： ÷3 ?首先引導(dǎo)學(xué)生理解是把 平均分成3份。

從圖上可以看出來平均分成3份，也就是 的 ，溝通了

分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法的本質(zhì)的聯(lián)系，幫助學(xué)生內(nèi)化并理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。再如，教師在教授學(xué)生學(xué)習(xí)20以內(nèi)的加減法時(shí)，學(xué)生較快掌握的知識則是湊十法，利用湊十法的算理完成數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)時(shí)，如17-9=8，教師可以引導(dǎo)學(xué)生首先思考10-9=？學(xué)生很快算出來答案10-9=1。接著再用1+7=8，從而得出17-9=8。但是在應(yīng)用此算法的過程中，還是會有極少數(shù)的學(xué)生反應(yīng)較慢，這時(shí)教師就可以準(zhǔn)許學(xué)生在計(jì)算加減法的時(shí)候，可以借助手指來完成，當(dāng)然僅限于20以內(nèi)的加減法，同時(shí)還要學(xué)生們講出其中的算理。依舊是問題17-9=8，學(xué)生可以首先在手指上將17數(shù)出來，然后在從開始數(shù)數(shù)的起點(diǎn)依次去掉9，剩下的手指數(shù)為8，從而得出17-9=8。這種通過數(shù)形結(jié)合的方法來幫助學(xué)生將算理進(jìn)行內(nèi)化，使學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力獲得有效的提升。

3.經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化，優(yōu)化理解算理

“轉(zhuǎn)化”既是數(shù)學(xué)思想又是一種有效的學(xué)習(xí)策略，伴隨著學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，借助學(xué)生原有的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，已認(rèn)知的概念、定律等，通過聯(lián)系舊知，延伸新知，打通舊知與新知的脈絡(luò)理解算理，由一個(gè)算理自然而然生成另一個(gè)算理。例如，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的教材例題：

1個(gè) 占一張紙條的 ，3個(gè) 占整張紙的幾分之幾？

學(xué)生運(yùn)用以往經(jīng)驗(yàn)，可以用加法計(jì)算或乘法計(jì)算。運(yùn)用加法計(jì)算是直接用已學(xué)的分?jǐn)?shù)加法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算。運(yùn)用乘法計(jì)算，先是用乘法意義，把分?jǐn)?shù)乘法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)加法，再用分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算法則計(jì)算出最終得數(shù)。接著引導(dǎo)學(xué)生觀察用乘法計(jì)算的演算過程，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)計(jì)算時(shí)分母不變，整數(shù)和分子相乘。這樣在解析算理的過程中，學(xué)生自然而然地明白了計(jì)算方法，優(yōu)化理解算理的過程，以舊帶新再構(gòu)新算理，得出新的計(jì)算法則。

比如，在多邊形面積的計(jì)算教學(xué)中尤其突出，轉(zhuǎn)化思想貫穿整個(gè)教學(xué)過程。平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或三角形等。這些多邊形的面積計(jì)算推導(dǎo)是一環(huán)扣一環(huán)。在教學(xué)的一開始，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生研究平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。觀察，分析兩個(gè)圖形之間的關(guān)系。

引導(dǎo)學(xué)生觀察得到：平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬。因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。而第二種剪拼法又為梯形的面積計(jì)算推導(dǎo)埋下伏筆。另外三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)也是要多加以引導(dǎo)。在前面平行四邊形面積計(jì)算推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，學(xué)生懂得用轉(zhuǎn)化思想來解決問題，但平行四邊形用的是剪拼的方法，是在一個(gè)圖形上做文章。而三角形的面積推導(dǎo)，要采用填補(bǔ)法，填補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，相當(dāng)于兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形。公式的推導(dǎo)中，底×高÷2，要讓學(xué)生理解÷2的由來。在學(xué)生的腦子中形成深刻的印象：三角形的面積就是同底等高平行四邊形面積的一半。這樣學(xué)生才不會經(jīng)常忘了÷2。同理，在知道了三角形面積和其中的底或高，要求另一條底或高。要先用三角形面積×2÷底（高），也就是要先把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，要用兩個(gè)完全一樣的三角形拼，就要先×2，因?yàn)橥椎雀?，所以接著再÷底（高），即使學(xué)生忘記了公式，但是記得轉(zhuǎn)化的推導(dǎo)過程，也能順利的解決問題。至于梯形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)在綜合經(jīng)歷了平行四邊形和三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)后，學(xué)生也能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想探索出梯形的面積公式。在學(xué)習(xí)讀億以內(nèi)的數(shù)時(shí)，教師應(yīng)該從關(guān)鍵環(huán)節(jié)著手，讓學(xué)生們在已有的經(jīng)驗(yàn)前提下進(jìn)行數(shù)學(xué)探索：首先，教師在黑板上寫出一個(gè)萬以內(nèi)的數(shù)，并讓學(xué)生將它準(zhǔn)確的讀出來，邀請一位學(xué)生說一說讀此數(shù)的方法。其次，教師在黑板上再次寫出一個(gè)含有兩級的數(shù)，讓學(xué)生以小組的方式進(jìn)行討論，探討這些數(shù)同之前的數(shù)有什么不同？在讀法上又有什么區(qū)別？學(xué)生在討論探索中將新舊知識聯(lián)系在一起，并根據(jù)問題分析兩者之間的區(qū)別，從而發(fā)現(xiàn)知識的生長點(diǎn)，采用知識遷徙的方法完成對新知識的理解和記憶。最后，教師在向?qū)W生出示一組數(shù)比，并解散小組，讓學(xué)生們獨(dú)立完成探索，并嘗試將這組數(shù)準(zhǔn)確的讀出來，通過任務(wù)的設(shè)定促使學(xué)生去尋找問題的答案，并通過已掌握的知識對其進(jìn)行分級。在這樣的自主探究中，學(xué)生結(jié)合舊知經(jīng)驗(yàn)完成了讀億以內(nèi)的數(shù)中數(shù)字“0”的讀法，然后自己再將探索出的結(jié)果進(jìn)行有效的總結(jié)，這種通過自主探索，聯(lián)系舊知經(jīng)驗(yàn)的方法得出的算理，會在學(xué)生的數(shù)學(xué)系統(tǒng)學(xué)習(xí)中“難以忘卻”，這使得學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量及有效性得到了保障，同時(shí)也讓學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力及思維縝密性得到了鍛煉和提升。

教學(xué)不但要讓學(xué)生在直觀中明白算理，還要讓學(xué)生掌握抽象的法則，更重要的是讓學(xué)生充分體驗(yàn)由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程。算法的掌握應(yīng)該和算理的理解統(tǒng)一起來，在分析算理的過程中明白計(jì)算法則的由來，使學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。有自主學(xué)習(xí)的能力會思考，會想象，會推理，會解釋，會總結(jié)等，養(yǎng)成勇于探索的精神。在教學(xué)中筆者始終圍繞“構(gòu)建清晰的思路鏈，讓學(xué)生有路追本溯源”這一思想宗旨。讓學(xué)生打破死記硬背公式，懂得沿著一定的思路鏈自行探索，推理，掌握解決問題的策略。

參考文獻(xiàn)

[1]北京師范大學(xué)出版社出版.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，2011

[2]北京師范大學(xué)出版社出版.數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書，2016