廣東省珠海市廣東實驗中學金灣學校(519040) 陳清華

珠海市教研室的黃玉平老師首次提出“同課同構(gòu)”課堂教學研討活動模式, 旨在促進教師之間的合作、交流、協(xié)同、研討與整合,打造高效數(shù)學課堂.筆者一直踐行“構(gòu)建具有‘趣味性、探究性、開放性’的動態(tài)化‘生動’課堂”理念,在執(zhí)教高三復習課“導數(shù)的應用”時, 筆者(記作: 教師A) 用GeoGebra 軟件為平臺開展動態(tài)數(shù)學實驗活動, 以提升學生“直觀想象”核心素養(yǎng)為目標,引導學生組建學習小組,經(jīng)歷“初步感知→動手操作→合作學習→師生評價→建構(gòu)模型→反思感悟→反饋測練”的教學過程,提升學生的數(shù)形結(jié)合能力,發(fā)展學生的幾何直觀和空間想象能力,增強學生運用幾何直觀和空間想象思考問題的能力,真正做到“授人以魚不如授人以漁”.

歷年高考數(shù)學全國I 卷第21 題總是導數(shù)的綜合應用題,常被稱作“導數(shù)壓軸題”,往往是令學生“談虎色變”的題目.筆者與同事一起設計和踐行一堂了基于GeoGebra 軟件動態(tài)探究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、零點問題的微課,本節(jié)課與同事(記作: 教師B)合作完成,具體的任務分工為教師A 主要負責引導學生進行數(shù)學實驗操作和監(jiān)控教學效果,教師B 主要引導學生思考和解決問題,促進教學生成、形成解題思路并適當板書.以下是課堂實錄:

1 課堂實錄

1.1 試題呈現(xiàn)

題目: (2016年? 全國Ⅰ卷文科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(x ?2)ex+a(x ?1)2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性.

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

教師A:請同學們思考第(1)問.

1.2 動態(tài)實驗

教師B: 同學們, 我們研究函數(shù)的單調(diào)性時, 首先確定函數(shù)的定義域為(?∞,+∞), 然后求導f′(x) =(x ?1)(ex+2a),用來研究函數(shù)的“性態(tài)”.

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作1

實驗操作1: (1)打開GeoGebra 軟件,在GeoGebra 的指令欄輸入函數(shù)解析式“f: (x ?2)e∧x+a(x ?1)∧2”(注意:參數(shù)a與(x ?1)用空格隔開,防止軟件對參數(shù)a識別有誤)繪制出函數(shù)f(x)的圖象,會自動彈出對話框“創(chuàng)建a的滑動條”,設置參數(shù)a的范圍為[?5,5]

(2)在GeoGebra 的指令欄輸入f′或Derivative(f)可得導數(shù)f′(x)的圖象

學生活動1: 學生在教師A 引導下使用平板電腦,仿照教師示范使用GeoGebra 軟件,讓學生自行調(diào)節(jié)變量a的值,引導學生觀察,初步感知參數(shù)a的變化對函數(shù)及其導數(shù)圖象的影響,獲取含參數(shù)問題需要分類討論的基本經(jīng)驗.

教師B:引導學生思考問題1.

問題1: 同學們,根據(jù)你的實際操作,結(jié)合導數(shù)f′(x) =(x ?1)(ex+2a),試討論一下: 對參數(shù)a的分類討論的標準如何確定?

生1: 我們小組討論后發(fā)現(xiàn): 當a= 0 時, 函數(shù)f(x) 及其導數(shù)f′(x) 的圖象如圖1 所示, 結(jié)合f′(x) =(x ?1)(ex+2a)可以發(fā)現(xiàn)對參數(shù)a的討論應該分為a≥0和a<0 兩類.

教師B:很好! 含參數(shù)的問題通常需要分類討論,最關(guān)鍵的是分類討論的標準的確定!

生2: (i)當a≥0 時,我們很容易發(fā)現(xiàn): ex+2a>0

教師B:很好,下面我們來一起探究當a≥0 時的情況.

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作2

實驗操作2: 改變參數(shù)a的取值范圍,可得函數(shù)f(x)及其導數(shù)f′(x)的圖象如圖2 所示

圖2

教師B: 我們結(jié)合圖象和導數(shù)的解析式可以發(fā)現(xiàn): 當x ∈(?∞,1)時,f′(x)<0;當x ∈(1,+∞)時,f′(x)>0,所以f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

生3: (ii) 當a <0 時, 由f′(x) = 0, 解得x= 1 或x=ln(?2a).

我們小組討論后,考慮到1 和ln(?2a)的大小關(guān)系有以下三種:

①當a=時, 此時ln(?2a) = 1, 則f′(x) =(x ?1)(ex ?e)對于x ∈(?∞,+∞)恒大于0

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作3.

實驗操作3: 繼續(xù)改變參數(shù)a的取值范圍, 可得函數(shù)f(x) 及其導數(shù)f′(x) 的圖象如圖3 所示, 所以f(x) 在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增

圖3

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作4.

實驗操作4: 拖動滑動條改變a的值,可得函數(shù)f(x)及其導數(shù)f′(x)的圖象如圖4 所示:

圖4

教師B:當x ∈(?∞,ln(?2a))∪(1,+∞)時,f′(x)>0; 當x ∈(ln(?2a),1) 時,f′(x)<0, 所 以f(x) 在(?∞,ln(?2a))和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(ln(?2a),1)上單調(diào)遞減.

③當a<時,則ln(?2a)>1,

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作5.

實驗操作5: 拖動滑動條改變a的值,可得函數(shù)f(x)及其導數(shù)f′(x)的圖象如圖5 所示:

圖5

教師B:故當x ∈(?∞,1)∪(ln(?2a),+∞)時,f′(x)>0;當x ∈(1,ln(?2a))時,f′(x)<0,所以f(x)在(?∞,1)和(ln(?2a),+∞)上單調(diào)遞增,在(1,ln(?2a))上單調(diào)遞減.

教師B:同學們,我們繼續(xù)探究第(2)問.

(2)(i)當a>0 時,則由(1)知,f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作6.

實驗操作6: 拖動滑動條改變a的值如圖6 所示,觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)有兩個零點

圖6

教師B:又因為f(1) =?e<0,f(2) =a >0,f(x)單調(diào)遞增且連續(xù)不斷,所以f(x)在(1,2)上存在一個零點.

教師B:引導學生思考問題2.

問題2: 同學們,從圖形直觀上看: 在區(qū)間(?∞,1)內(nèi)必定含有一個零點,這時關(guān)鍵是在區(qū)間(?∞,1)內(nèi)找到一個包含另一個零點的區(qū)間(b,1),已知f(1) =?e<0,如何確定另一個端點b呢?

學生活動2: 學生分小組進行交流討論!

生4: 因為函數(shù)f(x) = (x ?2)ex+a(x ?1)2中含有指數(shù)ex, 且f(x) 在(?∞,1) 上單調(diào)遞減, 可以考慮試著代入(k≥2,k ∈Z) 進行估值計算, 我考慮到: 取b滿足b <0 且則>0,剛好符合! 因為f(1) =?e <0,f(b)>0,f(x)單調(diào)遞減且連續(xù)不斷,根據(jù)零點的存在性定理可知,f(x)在(b,1)上存在一個零點.所以f(x)有兩個零點.

教師B:說的真好! 這種估值的方法常常用著這類零點不可求的情形中,因為指數(shù)和對數(shù)運算互為逆運算,見到指數(shù)形式常常取對數(shù)代入驗算,這樣就可起到“山重水復疑無路,柳暗花明又一村”的作用.

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作7.

實驗操作7: 拖動滑動條使得a=0,觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)有幾個零點?

(ii)當a= 0 時,則f(x) = (x ?2)ex,所以f(x)只有一個零點(如圖1 所示).

(iii)當a<0 時,

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作8.

實驗操作8: 拖動滑動條使得a≥觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)有幾個零點?

教師A: ①若a≥則由(1)知,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.又當x≤1 時,f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點(如圖3、4 所示);

教師A:引導學生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進行實驗操作9.

綜上,a的取值范圍為(0,+∞).

1.3 建立模型

教師B:經(jīng)歷上面的探究實驗過程,我們對這類含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、零點問題具有怎樣的解題模型或解答流程?

學生活動3: 學生分小組進行交流討論!

生5: 我認為解決這類問題的一般流程如圖7 所示.

圖7

教師B:你能嘗試用思維導圖的形式呈現(xiàn)出來嗎?

學生活動4: 學生分小組進行交流討論, 運用思維導圖軟件MindMaster繪制出思維導圖.

生6: 經(jīng)過我們小組的討論,繪制的思維導圖如圖8 所示.

圖8

1.4 精彩生成

生7: 我覺得可以考慮分類參數(shù)法, 構(gòu)造函數(shù)g(x) =轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)與直線y=a有兩個交點時a的取值范圍即可,我可以先求導研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性,再畫出了函數(shù)g(x)的圖象如圖9 所示.

圖9

教師A:生7 的方法很好,利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想解題,構(gòu)思巧妙!

生8: 我覺得還可以考慮分類直線法,構(gòu)造函數(shù)h(x) =轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)與直線y=a(x ?1)有兩個交點時a的取值范圍即可,我可以先求導研究函數(shù)h(x)的單調(diào)性,再畫出了函數(shù)h(x)與直線y=a(x ?1)的圖象如圖10 所示,通過旋轉(zhuǎn)直線y=a(x ?1)的圖象進行極限分析,容易得出結(jié)論:a<0.

圖10

教師A:生8 的方法也不錯,也是利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想解題,體現(xiàn)控制變量的思想,但是需要進行求函數(shù)h′′(x)研究函數(shù)的凸凹性,美中不足的是畫出的圖象不規(guī)范易導致錯誤,嚴謹性不足.

生9: 生8 是分離直線, 我想到的是直接分類二次函數(shù), 構(gòu)造函數(shù)k(x) = (x ?2)ex, 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)k(x) =(x ?2)ex與二次函數(shù)y=a(x ?1)2有兩個交點時a的取值范圍即可,我也是先求導研究函數(shù)k(x)的單調(diào)性,再畫出了函數(shù)k(x)與直線y=a(x ?1)2的圖象如圖11、12 所示,容易得出結(jié)論:a<0.

圖11

圖12

教師A:生9 的方法非常好,構(gòu)思巧妙,解法自然,大大簡化了運算,真可謂是青出于藍而勝于藍,妙哉!

1.5 反饋測練

拓展性作業(yè)

教師B:同學們仿照這節(jié)課的實驗探究流程, 運用GeoGebra(手機版)軟件試著輔助解答下面的一道高考導數(shù)試題,寫出你的解答過程并與小組成員交流你的解題心得和感悟,撰寫你的實驗報告.

題目(2017年? 全國I卷理科第21題) 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a ?2)ex ?x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性.

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

2 幾點感悟

2.1 創(chuàng)設教學情境,由“教師中心”轉(zhuǎn)向“學生主體”

基于核心素養(yǎng)的教學需要教師更多地關(guān)注學生的學——學什么、如何學、會學嗎、學會了嗎? 教師要學會激發(fā)學生的學習興趣, 要精心設計問題啟發(fā)學生思考數(shù)學問題的本質(zhì),讓學生在情境與問題、互動與合作的課堂探究活動中不斷地感悟、理解、形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

2.2 信息技術(shù)與數(shù)學課程融合,構(gòu)建數(shù)學探究活動平臺

課程標準提倡: 教師應該重視信息技術(shù)運用,實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合.如在數(shù)學教學過程中,教師可以適當構(gòu)建以學生為中心的探究實驗活動,以GeoGebra 軟件為數(shù)學實驗平臺,精心設計探究實驗過程,讓學生在“動態(tài)中探究,在活動中成長”.

2.3 積累基本活動經(jīng)驗,優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu)

正如心理學家皮亞杰說過:“活動是認識的基礎,智慧從動作開始.”動手操作能以動作促進思維,是調(diào)動多種感官參與學習,是知識學習的一種循序漸進探究的過程.在數(shù)學教學過程中,教師要充分尊重學生的認知規(guī)律和知識的發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律,把握數(shù)學知識的本質(zhì),注重學生的學習體驗,設計并實施合理的教學活動.讓學生在活動中觀察、分析、思考、解決問題,積累基本活動經(jīng)驗,促進學生對數(shù)學知識的本質(zhì)的理解.

2.4 聚焦數(shù)學學科核心素養(yǎng),重視學生的學習過程評價

教學評價是數(shù)學教學活動地重要組成部分,評價不僅要關(guān)注學生數(shù)學知識技能的掌握,還有關(guān)注學生的情感、態(tài)度和方法與習慣養(yǎng)成,更要關(guān)注學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平的達成.教師通過對學生的學習過程的觀察、記錄,分析學生的學習行為和思維過程,發(fā)現(xiàn)學生的思維活動的特征以及學習過程中存在的問題,及時地調(diào)整教學策略與教學活動,改進學生的學習行為和習慣,促進學生的數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.通過過程評價使學生感受成長的快樂,激發(fā)學生的數(shù)學學習積極性.