廣東省東莞市竹溪中學(523960) 余再超

廣東省江門市蓬江區(qū)荷塘中學(529095) 華本秀

2020年,廣東省數(shù)學中考改革,時間上減少10 分鐘,題量不變,以前該題型作為中考試卷第24 題壓軸題出現(xiàn),總分9 分.2020年廣東中考數(shù)學卷圓的綜合題在第22 題,總分8分,設(shè)問兩問,難度有所降低.筆者有幸參加今年的中考評卷,發(fā)現(xiàn),1000 人中,有692 人只得1 分以下,僅有49 人6 分以上,根據(jù)本次評卷的情況,本文對該題進行知識點分析及解法技能剖析,在培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模等數(shù)學素養(yǎng)的問題上做了歸類和思考.

1 題目呈現(xiàn)

(2020年廣東省中考第22 題)已知: 如題22 圖,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠DAB= 90°,AB是⊙O的直徑,CO平分∠BCD.

(1)求證: 直線CD與⊙O相切;

(2)如題22-2 圖,記(1)中的切點為E,P為優(yōu)弧AE上一點,AD=1,BC=2,求tan ∠APE的值.

圖1

圖2

【考點】切線的判定、切線長定理、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形、三角函數(shù)、勾股定理、射影定理、全等三角形判定及性質(zhì)定理、平行線的性質(zhì).

【解析】無切點作垂直證半徑,切線長定理,直角三角形的判定,相似三角形的運用、輔助線的作法(應(yīng)用創(chuàng)新意識).

2 解法分析

本題考察的知識點有切線的判定和正切函數(shù)的求解,解答本題可能運用到的知識點有: 平行線的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、全等的判定、勾股定理、切線長性質(zhì)、同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系、相似三角形的判定、相似三角形性質(zhì)的運用、直角三角形的判定、射影定理等.所用到的思想方法是:添加輔助線(應(yīng)用創(chuàng)新意識)、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化相等角和化歸思想、數(shù)學抽象并建模直角三角形的數(shù)學建模思想.

2.1 用數(shù)學的眼光觀察世界——發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)

本題第一問考察的是切線的判定,在初中教學中,切線的判定方法主要有兩種: ①過半徑的外端點且垂直于半徑的直線是圓的切線; ②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.簡單的證明步驟抽象為: ①知切點, 連半徑, 證垂直.②無切點,作垂直,證半徑.本題第一層面考核學生數(shù)學抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).即題目中沒有出現(xiàn)切點,卻出現(xiàn)了角平分線,因此,思考的方向為: 無切點,作垂直,證半徑.

具體解題方法為以下兩種:

2.1.1 方法一: 利用角平分線上的點到兩邊的距離相等推出OB =OE

證明: 如圖3,過點O作OE ⊥CD交于點E.∵AD//BC, ∠DAB= 90°,∴∠OBC=90°,即OB ⊥BC.∵OE ⊥CD,OB ⊥ BC,CO平分∠BCD,∴OB=OE.∵AB是⊙O的直徑,∴OE是⊙O的半徑.∴直線CD與⊙O相切.

圖3

2.1.2 方法二: 利用ΔOBC ∽= ΔOEC 推出OB =OE

證明: 如圖3, 過點O作OE ⊥ CD交于點E.∵AD//BC, ∠DAB= 90°, ∴∠OBC= 90°.∵CO平分∠BCD,∴∠1 = ∠2.∵OC=OC,∠OBC= ∠OEC= 90,∴ΔOBC∽= ΔOEC.∴OB=OE.∵AB是⊙O的直徑,∴OE是⊙O的半徑.∴CD是⊙O的切線.

2.2 用數(shù)學的思維分析世界——發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)

本題考察的第二問是要求解∠P的正切函數(shù),通常是要構(gòu)建直角三角形,找到含有∠P的直角三角形,或者,觀察轉(zhuǎn)化∠P對應(yīng)相等的其它角的函數(shù)值.本題第二層面考核學生的邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).題目中∠P并非在直角三角形中,因此,思考方向有兩種: ①構(gòu)造一個以∠P為其中一個銳角的直角三角形.②通過角的轉(zhuǎn)換,把∠P轉(zhuǎn)化為其它直角三角形里面的銳角.由于∠P是圓的一個圓周角,根據(jù)圓周角的性質(zhì),本題選擇對∠P進行轉(zhuǎn)換.轉(zhuǎn)換∠P解法如下,并利用RtΔAOD,推出

證明: 如圖4,∵直線AD,DC,BC都是⊙O的切線, ∴∠1 = ∠2,∠3 =∠4,∠5 = ∠6.DE=AD= 1,CE=BC= 2,DC= 3.= ∠4 =∴∠P= ∠3 = ∠4.∵∠5 = ∠6,∠3 = ∠4,∠3+∠5 + ∠4 + ∠6 = 180°, ∴∠3 + ∠5 = 90°.∵∠1 + ∠5 =90°,∠3+∠5 = 90°,∴∠3 = ∠1.∴∠P= ∠3 = ∠4 = ∠1 =∠2.∵OE ⊥DC,∠ODE= ∠CDO, ∴ΔODE∽ΔCDO.∴在RtΔAOD中,

圖4

2.3 用數(shù)學的語言表達世界——發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)

本題考察的第二問要求解∠P的正切函數(shù)值,需要直角三角形的直角邊長的比值.通過2.2 以上的解法,我們發(fā)現(xiàn),每一個與∠P相等的對應(yīng)角所在的直角三角形中,需要用到圓的半徑.本題第三層面考核學生的數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).因此,我們繼續(xù)思考方向就是解決半徑長度.由于圓經(jīng)常和相似三角形合作,因此,不難想到通過相似三角形對應(yīng)邊成比例及勾股定理來求解半徑長度.

2.3.1 方法一: 利用在RtΔAOD、RtΔBOC、RtΔOCD中分別用勾股定理,求得r =

【思路分析1】 如圖5, 在RtΔAOD, RtΔBOC,RtΔOCD中分別用勾股定理得:AD2+r2=OD2,BC2+r2=OC2,OD2+OC2=CD2,由此求得進而求得具體解法如下:

圖5

證法1: 如圖5, ∵在RtΔAOD中,AD2+r2=OD2,在RtΔBOC中，BC2+r2=OC2,在RTΔOCD中,OD2+OC2=CD2,∴AD2+r2+BC2+r2=CD2.∵AD= 1,BC= 2,DC= 3, ∴12+r2+ 22+r2= 32.∴r=∴tan ∠P=tan ∠3=

2.3.2 方法二: 利用ΔOAD ∽ΔCBO,或者ΔODE ∽ΔCOE,得出:,求得: r =

【思路分析2】 如圖6, 通過證明ΔOAD∽ΔCBO,或者ΔODE∽ΔOEC, 進而寫出關(guān)于半徑的比例式子:由此求得r=進而求得tan ∠P=

圖6

證法2: 如圖6, ∵∠OAD= ∠B= 90°, ∠3 = ∠1,∴ΔOAD∽ΔCBO.∴.∵AD= 1,BC= 2,OA=OB=r, ∴∴tan ∠P= tan ∠3 =

2.3.3 方法三: 利用構(gòu)建新的RtΔFCD 和矩形ADFB用勾股定理,求得: r =

【思路分析3】 如圖7, 作DF⊥BC于F, 得矩形ADFB,在RtΔFCD中分別用勾股定理得:FD2+FC2=CD2,由此求得r=進而求得tan ∠P=

證法3: 如圖7, 過D作DF⊥BC于點F.∴四邊形ADFB是矩形.∴BF=AD=1,FC=BC ?BF=1.∵在RTΔFCD中:FD2+FC2=CD2,FC=1,DC=3,∴FD2+12= 32.∴FD=∵AB=DF, ∴r=∴tan ∠P=tan ∠3=

圖7

2.3.4 方法四: 利用構(gòu)建新的RtΔABF 使得ΔADE ∽ΔFCE,推出,求得:

【思路分析4】如圖8,延長AE交BC延長線于點F,則ΔADE∽ΔFCE,因此:,EF= 2AE,再由射影定理得:BE2=AE×EF=2AE2,,進而求得: tan ∠P=

圖8

證法4: 延長AE交BE延長線于F.∵AD//BC,∴ΔADE∽ ΔFCE.∵DE= 1,CE= 2,∴EF= 2AE.∵在RTΔFBA中,AF⊥BE,∴BE2=AE × EF= 2AE2.∴tan ∠P=tan ∠ABE=

3 考情分析

抽樣發(fā)現(xiàn)，本題分值8 分,平均分1.49 分,學生完成本題目答卷情況如上,明顯成績非常低,樣本為1000 人僅有49 人6 分以上.

表1 各個得分值比例分布

究竟是什么原因?qū)е逻@樣呢? 通過卷面分析發(fā)現(xiàn):

(1)學生的概念不清晰,在闡述OC是∠BCD的角平分線之后,學生在得到∠2 = ∠1 的結(jié)論,就直接說BC=EC,這是角平分線的概念不清晰.比較多考生一開始便直接“連結(jié)OE”(雖然E點在第一問在條件中根本沒有出現(xiàn)),然后把OE=OB作為已知條件證明全等從而得出∠OEC= 90°.這是切線的概念以及全等的概念不清晰,學生邏輯推理核心素養(yǎng)欠缺.

(2)思維定勢限制了學生的思考,構(gòu)建解題模型思維,或是,構(gòu)建數(shù)學模型能力薄弱,創(chuàng)新應(yīng)用意識淡薄等,制約學生的思考.在初中教學中,切線的判定方法主要有: ①過半徑的外端點且垂直于半徑的直線是圓的切線; ②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.其中在平時的練習中①比②更常見,使用率更高,因此大部分考生認為證切線就是證垂直,而沒有考慮要證明的直線是否和圓有已知的交點.更是忽略了第二種情況.

(3)學生的綜合能力不強,空間想象和運算求解能力欠缺,導致學生計算出錯無法得分.不少考生證明到相似的比例式:,卻無法解出正確的r=

(4)學生的思維品質(zhì)較低,對問題深刻性理解不夠,第(2)問涉及的考點比較多,很多考生完全沒有思路,直接放棄.其實這道題需要用到常用的數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,圖中很容易看出相似三角形,而且有多對相似三角形,只要能找出相似三角形就容易通過比例求出半徑,或通過設(shè)未知數(shù)用勾股求出半徑,方法非常多,而且∠P是圓周角,圓周角的轉(zhuǎn)換也是平時練得較多的內(nèi)容,但學生就是不愿意去想,不愿意去嘗試.

4 教學思考

怎樣才能在課堂上更好的發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)呢? 怎樣才能提升學生的數(shù)學品質(zhì)和情感態(tài)度及能力呢?

(1)授課時概念要理解清晰,要注重學生對所學知識的理解,體會數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián).學生掌握數(shù)學知識,以理解為基礎(chǔ),并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化.因此,在教學中,要把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中,注重知識的結(jié)構(gòu)和體系,處理好局部知識與整體知識的關(guān)系,引導學生感受數(shù)學的整體性,體會對于某些數(shù)學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.

(2)授課時要注重變式訓練,變式訓練的目的是使學生在練習過程中把握題目的本質(zhì)特征,達到“以不變應(yīng)萬變”,徹底打破學生的定勢思維.通過針對性的變式訓練讓學生了解每一種變式都有它的特定目的,從而激發(fā)學生的練習興趣,使他們自覺地產(chǎn)生完成練習的內(nèi)動力,提高練習效率.在教學過程中的變式訓練要有合適的梯度,逐步增加技巧性因素,在變式的過程中掌握、保持和鞏固數(shù)學技能,從而提高學生的解題能力.

(3)授課時要注重數(shù)學思想的培養(yǎng).數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括.如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想等.