安徽省淮北市烈山區(qū)淮北師范大學(xué)(235000) 孫甜甜 李孝誠

關(guān)于數(shù)學(xué)史的教育價值,數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因曾有言:“歷史是教學(xué)的指南”,基于此觀點,這里認(rèn)識到數(shù)學(xué)史是追溯前人數(shù)學(xué)結(jié)晶、梳理整體知識脈絡(luò)的一門重要科學(xué),其引導(dǎo)學(xué)生從源流處學(xué)知識,知其然,知其所以然,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的一部分.盡管許多教師能夠肯定數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)課堂的潤澤作用,認(rèn)識到數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要性,但都普遍認(rèn)為其意義在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,其實,絕不僅局限于此.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》就明確提出: 教材可以適時介紹有關(guān)背景知識,包括數(shù)學(xué)在自然與社會中的應(yīng)用,以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料,幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn),欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美[1].

那么教師該如何在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中利用數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計,才能使自己的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動錦上添花呢? 這里以平方差公式說明之.

1 平方差公式相關(guān)數(shù)學(xué)史的選擇

開展數(shù)學(xué)史輔助平方差公式教學(xué)的工作,首先要明確兩方面的問題: 一方面,在相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容選擇時,具備過硬的數(shù)學(xué)史知識和素養(yǎng)的教師要以何種原則和標(biāo)準(zhǔn)來確定選擇內(nèi)容;另一方面,在相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容選擇后,教師如何將數(shù)學(xué)史內(nèi)容合理巧妙地安排在教學(xué)環(huán)節(jié)中,使其自然融入課堂以輔助教學(xué).針對這兩點問題,有必要進行具體分析探究.

1.1 選擇的原則

數(shù)學(xué)史輔助數(shù)學(xué)教學(xué),并不是刻意而為之,教師要精挑細(xì)選、仔細(xì)斟酌、反復(fù)確認(rèn),選用真正有益于學(xué)生理解和掌握知識的數(shù)學(xué)史內(nèi)容,并在合適的時機、合適的教學(xué)環(huán)節(jié)巧妙使用.對于數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇原則,主要有三點:

其一,內(nèi)容的契合性.教學(xué)環(huán)節(jié)圍繞教學(xué)內(nèi)容展開,若要在教學(xué)內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)史,最重要的一點便是數(shù)學(xué)史內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容具有高度的契合性,若二者無關(guān)或契合度不高,則直接影響課堂教學(xué)質(zhì)量,相當(dāng)于畫蛇添足,多此一舉.

其二,學(xué)情的適切性.數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇還要充分考慮學(xué)生的學(xué)情,選用符合學(xué)生能力范圍之內(nèi)的,若選擇的數(shù)學(xué)史內(nèi)容凌駕于學(xué)生能力之上,則無異于增加學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān),只得勞而無功,事倍功半.

其三,文化的感染性.數(shù)學(xué)家陳省身老先生認(rèn)為:“了解歷史的變化是了解這門科學(xué)的一個步驟”,因此,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史,將一個靜態(tài)的知識點形成動態(tài)的知識發(fā)展鏈,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化的重要一部分,文化的拓展是知識學(xué)習(xí)源源不斷的動力源泉.因此,選用的數(shù)學(xué)史內(nèi)容要在精神上感染學(xué)生.

1.2 選擇的結(jié)果

基于上述數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇原則,對應(yīng)不同的平方差公式教學(xué)環(huán)節(jié)確定了不同的數(shù)學(xué)史內(nèi)容.首先,在新知引入環(huán)節(jié),選擇了等周問題的騙局這一數(shù)學(xué)史內(nèi)容.相傳在古代,人們受制于知識和經(jīng)驗的匱乏,在社會中普遍對等周問題存在很深的誤解.據(jù)古希臘評注家普羅克拉斯記載,土地主在分配土地的時候,將周長長面積小的土地租賃給農(nóng)民,而將周長短面積大的土地分給自己, 農(nóng)民們?nèi)徊恢约罕黄垓_,卻還認(rèn)為土地主無私奉獻.因此,教師可以將古希臘發(fā)生的土地等周欺騙問題進行適當(dāng)?shù)馗木? 滲透在新知導(dǎo)入環(huán)節(jié),引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,認(rèn)識到平方差公式學(xué)習(xí)的必要性.

其次,在新知探究環(huán)節(jié),可以借助趙爽的面積割補法來證明平方差公式,平方差公式并不是近代數(shù)學(xué)的果實,它在數(shù)學(xué)歷史長河中歷經(jīng)了數(shù)千年.公元前三世紀(jì)數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》中的“勾股圓方圖”時就已經(jīng)提出其證明方法——勾實之矩以股弦差為廣,股弦并為袤,而股實方其里.股實之矩以勾弦差為廣,勾弦并為袤,而勾實方其里.[2]除此之外,文中還記錄了其鉆研的辛苦與不易.通過此數(shù)學(xué)史內(nèi)容不僅可以從幾何方面帶領(lǐng)學(xué)生證明平方差公式,還可以向?qū)W生傳遞趙爽刻苦鉆研學(xué)問的精神.

再次,在新知鞏固環(huán)節(jié),考慮到了丟番圖的二元問題與和差術(shù),是記載在其著作《算術(shù)》當(dāng)中的經(jīng)典問題,即已知兩數(shù)之和及兩數(shù)之積求兩個數(shù)分別為多少,這是平方差公式應(yīng)用的具體案例,該數(shù)學(xué)史內(nèi)容的運用可以檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)成果.

最后,在課后作業(yè)環(huán)節(jié),教師可以布置搜集式和符號起源歷史的任務(wù).平方差公式是中學(xué)階段一個重要的代數(shù)式,了解代數(shù)式和符號的歷史發(fā)展可以擴展學(xué)生的知識面、啟發(fā)學(xué)生的思維、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),使教學(xué)獲得事半功倍的效果.

2 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式

歸納整理好所需的數(shù)學(xué)史內(nèi)容后,如何將數(shù)學(xué)史與平方差公式的教學(xué)環(huán)節(jié)相融合呢? 華東師范大學(xué)汪曉勤教授研究數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)十年有余,根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)整理了不同的融合方式,其中以融合程度劃分標(biāo)準(zhǔn)分為了四種方式,分別是: 附加式、重構(gòu)式、順應(yīng)式和復(fù)制式[3].附加式是講起源、說故事,教師以展示和講述為主,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機,調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)氣氛,用數(shù)學(xué)文化感染學(xué)生;重構(gòu)式是重現(xiàn)歷史、再現(xiàn)過程,教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程,體驗前人激烈的思想火花的碰撞,加深知識的理解;順應(yīng)式是舊問題、新改編,教師順應(yīng)當(dāng)前教學(xué)實際,借用數(shù)學(xué)史重新編制問題,以新途徑促進學(xué)生知識的學(xué)習(xí)和鞏固;復(fù)制式是原問題、原解法,教師直接使用選擇的數(shù)學(xué)史內(nèi)容,無需進行改動和調(diào)整,在一定程度上拉近了學(xué)生與歷史的距離,感受數(shù)學(xué)文化的魅力.

在以上四種融合方式的基礎(chǔ)上,對平方差公式四個教學(xué)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)史進行再研究,得到了進一步的結(jié)論: 在新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用附加式融入等周問題的騙局這一數(shù)學(xué)史內(nèi)容;在新知探究環(huán)節(jié)采用重構(gòu)式融入趙爽面積割補法的證明過程;在新知鞏固環(huán)節(jié)采用順應(yīng)式融入丟番圖的二元問題與和差術(shù)相關(guān)題目;在課后作業(yè)環(huán)節(jié)采用復(fù)制式融入數(shù)學(xué)史資料的展示.現(xiàn)通過平方差公式的教學(xué)設(shè)計來具體說明之.

3 數(shù)學(xué)史融入平方差公式的教學(xué)設(shè)計示例

在做教學(xué)設(shè)計的準(zhǔn)備工作中,有了上述的分析結(jié)果,具備了理論基礎(chǔ)和大體教學(xué)框架,但做出一個教學(xué)設(shè)計并應(yīng)用到真實課堂中也絕非易事.陸游詩云,紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行;俚語說,理在用中方說妙,事非經(jīng)過不知難.為此,再次分析教材知識呈現(xiàn)、相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容和教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計這三個方面,對它們進行整合交融,得到了以下具體的教學(xué)設(shè)計與實施過程:

3.1 新知引入——附加式話歷史、講故事,激趣揚思

新知引入環(huán)節(jié)是課堂的開端,是教師的教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的起點,導(dǎo)入環(huán)節(jié)設(shè)計的優(yōu)劣直接影響學(xué)生學(xué)習(xí)的動機.對于平方差公式一節(jié)來講,教師首先要提出生活性“初始問題”(這就是常說的創(chuàng)設(shè)問題情境),可以使用古希臘土地主等周問題的騙局這一數(shù)學(xué)史內(nèi)容進行改編,呈現(xiàn)趣味小故事作為這種“初始問題”,由問題解決的過程和結(jié)果,可以得到平方差公式的具體形式,并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機.

師: 相傳古時的土地主在分配土地時,假公濟私地與農(nóng)民商量,將原有邊長為米的正方形土地,在其中一邊上削減6 米,在其臨邊上增加6 米(如圖1 所示),以原價租賃給農(nóng)民, 農(nóng)民全然不知自己上當(dāng)受騙.同學(xué)們,你們認(rèn)為農(nóng)民吃虧了嗎?

圖1

生1: 顯然農(nóng)民吃虧了.我想直接從圖形上看,如圖所示,削減部分的寬與增加部分的寬一樣為6,削減部分的長為a比增加部分的長(a ?6)要多,因此削減部分的面積比增加部分的面積大,農(nóng)民獲得的土地總面積減少,農(nóng)民吃虧了.

師: 這是從幾何圖形直觀的角度解釋說明的,是否可以從代數(shù)的角度考慮這個問題呢?

生2: 我想可以列算術(shù)式比較農(nóng)民前后的土地面積.農(nóng)民原來的土地面積為a2,在土地主的蒙騙下,農(nóng)民所租賃的土地變?yōu)榱碎L為(a+6),寬為(a ?6)的矩形,此時農(nóng)民所擁有的土地面積為(a+6)×(a?6),比較a2與(a+6)×(a?6)的大小可得結(jié)論.

注: 由幾何直觀到代數(shù)思想的轉(zhuǎn)變,對于學(xué)生而言并不是件易事,它必須有教師的指導(dǎo)輔助,而教師的輔助并不是直接給出公式,而是要站在學(xué)生的角度、分析學(xué)生的學(xué)情,以言語提示和步驟引導(dǎo),步步啟發(fā)學(xué)生思考,所謂授人以魚不如授人以漁,就是這個道理.

3.2 新知探究——重構(gòu)式還原、再現(xiàn)、探索,追溯本質(zhì)

新知探究環(huán)節(jié)是課堂教學(xué)最重要的一環(huán),教師往往做的許多努力和準(zhǔn)備都是為探究做鋪墊,但這樣的模式化也帶來了一定的弊端,造成新知的探索成為了一種水到渠成的自然化現(xiàn)象, 忽視掉學(xué)生從獲得到理解再到掌握的過程的曲折.以平方差公式為例,這時如果運用知識的還原、展開、重演、再現(xiàn)等手段,帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷前人知識發(fā)展的蜿蜒曲折,與前人跨時空產(chǎn)生思想的共鳴,便能使其更好地掌握知識,正如數(shù)學(xué)家喬治所言,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有當(dāng)看到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、按照數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序或親自從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時,才能最好地理解數(shù)學(xué).

師: 請同學(xué)們思考問題1: 邊長為5 的正方形,在其右下角減去一個邊長為2 的小正方形,圖形剩下的部分面積為多少? 除了計算的代數(shù)方法,可以用幾何的方式拼接圖形重新考慮這個問題嗎?

生1: 代數(shù)的計算方法是52?22=21;幾何的方式可以將圖形畫出來, 將左下角的①部分旋轉(zhuǎn)90°拼接到右上角,此時可以得到一個長為7,寬為3 的矩形,其面積為21;兩種方式所得結(jié)果一樣,幾何的拼接是代數(shù)計算的驗證.

圖2

圖3

師: 問題1 運用到了具體的數(shù)字,是一種特殊形式,現(xiàn)在我們將由特殊推廣到一般,請同學(xué)們思考問題2: 邊長為a的正方形,在其右下角減去一個邊長為b的小正方形,圖形剩下的部分面積為多少? 除了計算的代數(shù)方法,可以用幾何的方式拼接圖形重新考慮這個問題嗎?

生2: 代數(shù)的計算方法可得剩余部分面積為a2?b2,對于幾何拼接我想也是可以的,與問題1 大同小異,不難得出剩余部分面積為(a+b)(a ?b).

師: 在問題1 和問題2 的基礎(chǔ)上,同學(xué)們所運用的拼接法由來已久.據(jù)資料記載,三國時期數(shù)學(xué)家趙爽“負(fù)薪余日,聊觀《周髀》”,刻苦鉆研最終發(fā)現(xiàn)割補法,“勾實之矩以股弦差為廣,股弦并為袤,而股實方其里.股實之矩以勾弦差為廣,勾弦并為袤,而勾實方其里.”,證明了平方差公式,其中這里的割補法即我們所說的幾何上的拼接法.

師: 除了面積割補法之外,同學(xué)們是否有其他的幾何方法來證明平方差公式呢?

生3: 可以選用其他的割補方法.原來的割補法是將剩余部分分為上下兩個矩形,再拼接起來;現(xiàn)在我們可以將剩余部分分為兩個直角梯形,再進行拼接.

圖4

師: 可以說的更具體詳細(xì)一點嗎?

生: 從大正方形的左上角連線小正方形的左上角,將剩余部分面積分為兩個相同的直角梯形, 對其進行旋轉(zhuǎn)拼接,通過面積的計算也可以證明平方差公式.其中,共有三種拼接方式: 長方形、平行四邊形和等腰梯形.

圖5

注: 從平方差公式的幾何證明法巧妙的思路中認(rèn)識到,幾何證明的精彩性與學(xué)生數(shù)學(xué)知識面的寬廣度是具有一定聯(lián)系的,如何誘導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系以往知識經(jīng)驗、借鑒知識歷史來解決新問題、理解新知識是教師應(yīng)當(dāng)深思的.往往這時候,教師在教學(xué)中起到的便是“中介”的作用,將學(xué)生所學(xué)和即將所學(xué)組織構(gòu)建成一個流暢而有意義的整體,再借助相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)提供觀念性的指導(dǎo).

3.3 新知鞏固——順應(yīng)式舊史新說、舊題新用,遷思回慮

鞏固新知作為教學(xué)過程的重要一環(huán),是檢驗教師教學(xué)成果、學(xué)生學(xué)習(xí)成效的重要依據(jù).鞏固新知重在“知”,知識地靈活運用是教學(xué)目的之一,而知識的運用要借助解題來實現(xiàn).數(shù)學(xué)史當(dāng)中散落的歷史名題是代代相傳的珍稀資源,蘊含著一代又一代數(shù)學(xué)家的智慧結(jié)晶,是加深知識理解的良好素材.但值得注意的是, 并不是只要是歷史相關(guān)題目就是好材料,教師要有選擇的取其精華去其糟粕.因此,在這一環(huán)節(jié),應(yīng)用練習(xí)題目的設(shè)置要遵循循序漸近、由簡及繁、由易到難的設(shè)計原則,切勿一口氣吃成個胖子,得不償失.

師: 證明了平方差公式,同學(xué)們可以用自然語言描述它嗎? 其中有什么值得注意的呢?

生1: 平方差公式描述的是:“兩數(shù)之和與這兩數(shù)之差的乘積等于這兩個數(shù)的平方差”,我認(rèn)為值得注意的是“這”這個詞語,它是對象的限定.

生2: 我認(rèn)為還需要值得注意的是找準(zhǔn)兩個相同數(shù)和兩個相反數(shù),從而確定其在公式中的位置.因為公式反應(yīng)的是兩個相同數(shù)的平方與兩個相反數(shù)的平方的差.

圖6

師: (簡單套用公式計算練習(xí)已掌握后)請同學(xué)們思考問題3: 已知兩個正數(shù)的和為20,積為96,求這兩個數(shù).

生3: 因為兩正數(shù)之和為20, 則可以分別設(shè)兩個數(shù)為10?x和10 +x, 又因為兩數(shù)之積為96, 因此可得(10?x)(10+x) = 96, 再根據(jù)所學(xué)平方差公式不難推出102?x2=96,再進一步即可求得答案了.

師: 這樣的問題和解法在現(xiàn)如今來說已經(jīng)非常普遍了,但其發(fā)展經(jīng)歷極其漫長.早在公元三世紀(jì),古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在其著作《算術(shù)》一書中就已記錄了該類問題及其解法,運用的便是古巴比倫人的和差術(shù).該數(shù)學(xué)史內(nèi)容不僅有教學(xué)意義,同學(xué)們也應(yīng)當(dāng)繼續(xù)探索其背后的思想與價值,開闊視野.

3.4 課后作業(yè)——復(fù)制式講歷史、促交流,潤澤精神

課后作業(yè)這一環(huán)節(jié),不僅涉及的是書面作業(yè),也要以多種方式開展拓展環(huán)節(jié),在師生溝通交流中促進知識的理解和學(xué)習(xí).適合安排在這一環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容是有關(guān)于式和符號的起源歷史,師生共同“讀史解疑”.豐富的數(shù)學(xué)史拉近教師與學(xué)生的距離,有助于學(xué)生在課后輕松的氛圍當(dāng)中學(xué)習(xí),同時歷史背后所蘊含的教育價值也是不容忽視的.

4 結(jié)論

正如周燚所言:“數(shù)學(xué)是一種文化,回歸源頭能使我們獲得對思想過程的重要認(rèn)識,更加清晰地理解現(xiàn)在的問題[4].”數(shù)學(xué)史輔助數(shù)學(xué)教學(xué)能再現(xiàn)知識誕生的背景、發(fā)展和完善的過程,引導(dǎo)學(xué)生知其然,知其所以然;能給課堂注入活力的同時激發(fā)學(xué)生的興趣;能培養(yǎng)學(xué)生堅持不懈、勇于探究的精神.同時,數(shù)學(xué)史也為教師的教學(xué)提供豐富的素材,使課堂不再單單是課本的實踐.但數(shù)學(xué)史融入教學(xué)絕不能生搬硬套,如何巧妙地將數(shù)學(xué)歷史安排在各個教學(xué)環(huán)節(jié)中是教師研究的重點,只有適當(dāng)運用才能更好地發(fā)揮價值.