王春月, 張 爽, 張慶成

(1. 吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 應(yīng)用理學(xué)院, 長春 130052;2. 吉林建筑大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)部, 長春 130118; 3. 東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 長春 130024)

目前, 關(guān)于高階代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究已得到廣泛關(guān)注. 高階代數(shù)是將已有數(shù)學(xué)概念“范疇化”, 最簡單的一種高階結(jié)構(gòu)是2-向量空間[1], 即范疇化的向量空間. 李2-代數(shù)[1-9]是研究較廣泛的一種高階代數(shù), 被視為李代數(shù)的范疇化. 3-李2-代數(shù)是3-李代數(shù)的范疇化及李2-代數(shù)的一種推廣. 文獻(xiàn)[10]給出了3-李2-代數(shù)的基本概念和性質(zhì), 并證明了3-李2-代數(shù)與2-項3-Lie∞代數(shù)一一對應(yīng), 因此3-李2-代數(shù)可由2-項3-Lie∞代數(shù)給出; 文獻(xiàn)[11]利用3-Leibniz代數(shù)和Rota-Baxter 3-李代數(shù)構(gòu)造了3-李2-代數(shù). 本文主要討論3-李2-代數(shù)的形變問題.

1 預(yù)備知識

下面給出3-李2-代數(shù)表示及2-階閉鏈的定義.

對任意的x,y,xi∈L0(1≤i≤7),a,b,c∈L1, 下列等式成立:

dl3(x,y,a)=l3(x,y,da),

(1)

l3(a,b,c)=0,l3(a,b,x)=0,

(2)

l3(da,b,x)=l3(a,db,x),

(3)

若d=0(l5=0), 則稱3-李2-代數(shù)為簡單的(嚴(yán)格的).

F0°d=d′°F1,

(8)

(9)

(10)

則稱F=(F0,F1,F2):L→L′是3-李2-代數(shù)同態(tài). 若F2=0, 則稱F是嚴(yán)格同態(tài).

為δ(F)=dV°F+F°dV, 其中

End1(V)=End(V0,V1),

定義雙線性映射l2: ∧2End(V)→End(V)為

定理1[12](End(V),δ,l2)是嚴(yán)格李2-代數(shù).

定義33-李2-代數(shù)L在2-向量空間V上的表示ρ=(ρ0,ρ1,ρ2)是從3-李2-代數(shù)L到嚴(yán)格李2-代數(shù)(End(V),δ,l2)的同態(tài), 其中對?xi∈L0(1≤i≤6),a∈L1,

滿足下列等式:

δρ1(a,x)=ρ0(da,x),

(12)

ad0(x,y)(z+a)=l3(x,y,z)+l3(x,y,a),

ad1:L1∧L0→End1(L)為

ad1(a,x)(y)=l3(a,x,y),

ad2: ∧4L0→End1(L)為

ad2(x1,x2,x3,x4)(x5)=l5(x1,x2,x3,x4,x5),

則(ad0,ad1,ad2)是L的表示, 稱為伴隨表示.

(17)

(18)

2 主要結(jié)果

dλ(a)=da+λχ1(a),

證明: 任取x,xi∈L0(1≤i≤7),a,b∈L1. 定義1中式(1)成立的充分必要條件是

(23)

且

(24)

定義1中式(2)成立的充分必要條件是

(25)

且

(26)

定義1中式(3)成立的充分必要條件是

且

定義1中式(4)成立的充分必要條件是

且

定義1中式(5)成立的充分必要條件是

且

定義1中式(6)成立的充分必要條件是

且