張斯淇, 李 宏, 李美萱, 劉小涵

(吉林工程技術師范學院 量子信息技術交叉學科研究院, 吉林省量子信息技術工程實驗室, 長春 130052)

光子晶體[1-2]是多種介電常數(shù)在空間呈周期性變化的人工微結構. 利用光子晶體的光子帶隙和光子局域等特性可控制光子運動[3-8]. 光子晶體產生的物理效應可用于設計光子晶體器件, 如濾光器、 光開關、 激光器、 光纖及微腔等[9-12]. 文獻[13-14]研究表明, 光子帶隙帶寬與光子晶體器件性能成正比, 帶寬越寬應用價值越大. 可通過降低光子晶體結構的對稱性得到較寬的光子禁帶[15-16], 如改變散射子形狀及晶格結構[17]、 采用復合式結構[18]或用各向異性介質材料代替各向同性材料[19]等方法. 但在實際中實現(xiàn)這些方法均存在困難, 如采用復合式結構方法會使光子晶體的結構變得復雜, 且不適合工藝制造. 文獻[20]設計了一種二維函數(shù)光子晶體, 可通過對介質柱施加電場、 光場和磁場[21]改變其折射率. 在此基礎上, 本文利用平面波展開法研究二維函數(shù)光子晶體介質柱介電常數(shù)不同的線性函數(shù)形式對橫電(TE)波和橫磁(TM)波帶結構的影響. 數(shù)值計算結果表明： 二維函數(shù)光子晶體比二維常規(guī)光子晶體的帶隙更寬； 通過變換介質柱介電常數(shù)不同的線性函數(shù)形式可使二維函數(shù)光子晶體帶隙的個數(shù)、 位置及寬度均發(fā)生變化, 從而實現(xiàn)對二維函數(shù)光子晶體帶隙的調節(jié). 二維函數(shù)光子晶體易于調節(jié)且可重復使用, 僅需改變光強分布即可得到所需的帶隙結構.

1 二維函數(shù)光子晶體

對于二維函數(shù)光子晶體, 介質柱的介電常數(shù)為εa(r), 介質柱位于介電常數(shù)εb的背景中. 二維函數(shù)光子晶體介電常數(shù)Fourier變換[20]表達式為

(1)

二維常規(guī)光子晶體介電常數(shù)Fourier變換表達式為

(2)

當方程(1)中的εa(r)=εa(εa為常數(shù))時, 方程(1)即變換為方程(2)的形式. 二維光子晶體TM波和TE波特征方程分別為

(3)

(4)

二維函數(shù)光子晶體可通過Kerr效應或電光效應制備[19]. 考慮Kerr效應, 其介質柱的介電常數(shù)為

(5)

(6)

不同光強分布可得到不同介質柱介電常數(shù)的線性函數(shù)形式. 當光強分布為I=I0r(I0為光強振幅)時, 方程(6)變?yōu)?/p>

(7)

(8)

(9)

(10)

利用平面波展開法, 由方程(1),(3)，(4)計算二維函數(shù)光子晶體TE波和TM波的帶隙結構, 由方程(2)～(4)計算二維常規(guī)光子晶體TE波和TM波的帶隙結構.

2 數(shù)值分析

圖1 二維三角晶格光子晶體

下面分別研究介質柱型二維三角晶格常規(guī)和函數(shù)光子晶體的帶結構, 其三角晶格結構如圖1所示. 二維三角晶格常規(guī)光子晶體TE波和TM波的帶結構如圖2所示, 其中歸一化頻率為縱坐標, 波矢為橫坐標. 其結構參數(shù)為： 空氣的介電常數(shù)εb=1, 介質柱材料的介電常數(shù)εa=12.96, 介質柱半徑ra=0.3a(晶格常數(shù)a=10-6m). 由圖2(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.217～0.319, 帶寬Δω=0.102; 第二條禁帶的頻率為0.413～0.532, 帶寬Δω=0.119; 第三條禁帶的頻率為0.635～0.749, 帶寬Δω=0.114. 由圖2(B)可見, 在TM波的帶隙中出現(xiàn)2條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.349～0.384, 帶寬Δω=0.035; 第二條禁帶的頻率為0.431～0.496, 帶寬Δω=0.065. 當光波頻率處于禁帶位置時, 光波無法通過光子晶體, 但在其他波段可以通過光波, 從而實現(xiàn)了選頻作用. 當頻率為0.431～0.496時, TE波和TM波的帶隙發(fā)生重疊, 即絕對禁帶. 頻率處于重疊波段的光在各方向均不能通過, 從而加強了光子晶體控光的能力.

圖2 二維三角晶格常規(guī)光子晶體的帶結構

介質柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·r+b時的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結構如圖3所示, 其中函數(shù)系數(shù)k=1.6×107,b=12.96,εb=1, 介質柱半徑ra=0.3a. 由圖3(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現(xiàn)4條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.198～0.293, 帶寬Δω=0.095; 第二條禁帶的頻率為0.373～0.495, 帶寬Δω=0.122; 第三條禁帶的頻率為0.59～0.69, 帶寬Δω=0.1; 第四條禁帶的頻率為0.714～0.724, 帶寬Δω=0.01. 由圖3(B)可見, 在TM波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.321～0.369, 帶寬Δω=0.048; 第二條禁帶的頻率為0.421～0.476, 帶寬Δω=0.055; 第三條禁帶的頻率為0.711～0.72, 帶寬Δω=0.009. 當頻率為0.421～0.476和0.714～0.72時, 帶隙中出現(xiàn)2條絕對禁帶.

介質柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·r2+b時的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結構如圖4所示, 其中函數(shù)系數(shù)k=1.6×1013,b=12.96,εb=1, 介質柱半徑ra=0.3a. 由圖4(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.212～0.311, 帶寬Δω=0.099; 第二條禁帶的頻率為0.403～0.525, 帶寬Δω=0.122; 第三條禁帶的頻率為0.624～0.74, 帶寬Δω=0.116. 由圖4(B)可見, 在TE波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.341～0.382, 帶寬Δω=0.041; 第二條禁帶的頻率為0.427～0.493, 帶寬Δω=0.066; 第三條禁帶的頻率為0.729～0.733, 帶寬Δω=0.004. 當頻率為0.427～0.493和0.729～0.733時, 帶隙中出現(xiàn)2條絕對禁帶.

圖3 介質柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·r+b時的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結構

圖4 介質柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·r2+b時的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結構

介質柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·(r+d)-1+b時的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結構如圖5所示, 其中函數(shù)系數(shù)k=1.6×10-5,b=12.96,d=10-6,εb=1, 介質柱半徑ra=0.3a. 由圖5(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現(xiàn)4條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.154～0.238, 帶寬Δω=0.084; 第二條禁帶的頻率為0.298～0.396, 帶寬Δω=0.098; 第三條禁帶的頻率為0.452～0.559, 帶寬Δω=0.107; 第四條禁帶的頻率為0.622～0.698, 帶寬Δω=0.076. 由圖5(B)可見, 在TM波帶隙中出現(xiàn)4條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.259～0.293, 帶寬Δω=0.034; 第二條禁帶的頻率為0.376～0.395, 帶寬Δω=0.019; 第三條禁帶的頻率為0.495～0.524, 帶寬Δω=0.029; 第四條禁帶的頻率為0.563～0.574, 帶寬Δω=0.011. 當頻率為0.376～0.395和0.495～0.524時, 帶隙中出現(xiàn)2條絕對禁帶.

介質柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k1·r2+k2·r+b時的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結構如圖6所示, 其中函數(shù)系數(shù)k1=1.6×1013,k2=1.6×107,b=12.96,εb=1, 介質柱半徑ra=0.3a. 由圖6(A)可見, 當頻率為0～0.8時, 在TE波帶隙中出現(xiàn)4條光子禁帶： 第一條禁帶的頻率為0.196～0.286, 帶寬Δω=0.09； 第二條禁帶的頻率為0.368～0.486, 帶寬Δω=0.118； 第三條禁帶的頻率為0.584～0.673, 帶寬Δω=0.089； 第四條禁帶的頻率為0.698～0.714, 帶寬Δω=0.016. 由圖6(B)可見, 在TM波帶隙中出現(xiàn)3條光子禁帶: 第一條禁帶的頻率為0.314～0.363, 帶寬Δω=0.049; 第二條禁帶的頻率為0.417～0.471, 帶寬Δω=0.054; 第三條禁帶的頻率為0.7～0.71, 帶寬Δω=0.01. 當頻率為0.417～0.471和0.7～0.71時, 帶隙中出現(xiàn)2條絕對禁帶.

圖5 介質柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k·(r+d)-1+b時的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結構

圖6 介質柱介電常數(shù)函數(shù)形式為εa=k1·r2+k2·r+b時的二維三角晶格函數(shù)光子晶體帶結構

二維函數(shù)光子晶體不同線性函數(shù)形式對應TE波和TM波帶隙數(shù)目列于表1, 二維常規(guī)和函數(shù)光子晶體對應TE波和TM波的帶隙位置和帶寬列于表2. 由表1和表2可見, 在歸一化頻率為0～0.8內, 二維常規(guī)光子晶體與二維函數(shù)光子晶體的帶隙個數(shù)、 位置及寬度均不相同, 介質柱介電常數(shù)不同線性函數(shù)形式對應的二維函數(shù)光子晶體比二維常規(guī)光子晶體的帶隙數(shù)目多, 位置發(fā)生改變, 且可得到較寬的帶隙. 二維常規(guī)光子晶體介質柱的介電常數(shù)是常數(shù), 為均勻介質, 對稱性較高, 二維常規(guī)光子晶體的帶隙結構無法更改. 二維函數(shù)光子晶體介質柱的介電常數(shù)是空間位置坐標函數(shù), 為非均勻介質, 具有點群對稱性, 但平移對稱性降低, 從而整體對稱性降低. 由于二維函數(shù)光子晶體可通過光折變非線性光學效應或電光效應制備, 將所有介質柱兩端并聯(lián), 同時加上外電壓, 其電壓隨時間變化為不同的函數(shù)形式, 介質柱介電常數(shù)變化曲線發(fā)生改變, 導致相應的帶隙結構發(fā)生改變. 因此通過調節(jié)電壓, 可得到較寬的光子禁帶.

表1 二維函數(shù)光子晶體不同線性函數(shù)形式對應TE波和TM波的帶隙數(shù)目

表2 二維常規(guī)和函數(shù)光子晶體對應TE波和TM波的帶隙位置和帶寬

綜上, 本文用平面波展開法研究了二維函數(shù)光子晶體介質柱介電常數(shù)不同的線性函數(shù)形式對TE波和TM波帶結構的影響. 數(shù)值計算結果表明: 與二維常規(guī)光子晶體相比, 二維函數(shù)光子晶體的帶隙數(shù)目較多, 帶隙位置發(fā)生移動且可得到更寬的帶隙； 通過變換介質柱介電常數(shù)不同的線性函數(shù)形式可使二維函數(shù)光子晶體的帶隙個數(shù)、 位置和寬度均發(fā)生變化, 從而實現(xiàn)對二維函數(shù)光子晶體帶隙的調節(jié). 因此二維函數(shù)光子晶體不需重新制備, 可重復使用.