范賀花, 周永衛(wèi), 雷騰飛, 毛北行

(1. 鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)學學院, 鄭州 450015； 2. 齊魯理工學院 機電工程學院, 濟南 250200)

混沌系統(tǒng)及其同步已引起人們廣泛關注, 滑模方法對未知系統(tǒng)及不確定參數(shù)具有極強的魯棒性. 目前， 針對非線性系統(tǒng)的滑模同步已取得較多的研究成果[1-19]： 文獻[11]研究了Newton-Leipnik不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)滑模同步的兩個設計方案, 給出了滑模和積分滑模兩種滑模控制技巧； 文獻[12]研究了不確定分數(shù)階混沌系統(tǒng)的終端滑模同步； 文獻[13]研究了不確定Sprott混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步, 設計了控制律和適應規(guī)則； 文獻[14]研究了一類時滯不確定分數(shù)階金融混沌系統(tǒng)的滑模同步, 給出了滑模函數(shù)的構(gòu)造； 文獻[15]構(gòu)造了一類糾纏混沌系統(tǒng)并研究了比例積分滑模同步問題； 文獻[16]研究了Rucklidge混沌現(xiàn)象的演示器設計； 文獻[17]研究了分數(shù)階Rucklidge混沌系統(tǒng)的同步控制； 文獻[18]研究了Rucklidge系統(tǒng)的同步及其在保密通信中的應用； 文獻[19]研究了Rucklidge混沌系統(tǒng)的分岔與電路實現(xiàn). 由于引入分數(shù)階微積分, 因此使分數(shù)階系統(tǒng)建模時更符合工程實際要求, 應用滑模方法可使系統(tǒng)具有良好的魯棒性能, 由于實際系統(tǒng)均需考慮模型的不確定及外部擾動的影響, 且針對分數(shù)階不確定Rucklidge混沌系統(tǒng)設計滑?？刂频难芯枯^少, 因此本文通過設計對數(shù)型滑模面研究不確定分數(shù)階Rucklidge混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步, 得到了不確定分數(shù)階和整數(shù)階Rucklidge系統(tǒng)滑模同步的兩個充分條件.

1 主要結(jié)果

定義1[19]分數(shù)階α階導數(shù)Caputo定義為

分數(shù)階不確定Rucklidge系統(tǒng)[17]可描述為

(1)

當a=-2,b=6.7,q=0.978時, 系統(tǒng)(1)的吸引子如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng), 設計從系統(tǒng)為

(2)

(3)

假設1設不確定項Δfi(y)和外部擾動di(t)有界, 即存在未知參數(shù)ki>0, 使得

|Δfi(y)+di(t)|

引理1[20]若x(t)為連續(xù)可微函數(shù), 則對?t≥t0, 有

定理1在假設1條件下, 設計滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律為

(4)

自適應律為

(5)

不在滑模面上時, 設計

(6)

其中|1+ei(t)|=(1+ei(t))sgn(1+ei(t))=esi(t), e為無理數(shù).

考慮整數(shù)階不確定Rucklidge系統(tǒng)

(7)

以系統(tǒng)(7)為主系統(tǒng), 設計從系統(tǒng)為

(8)

其中Δfi(y)為系統(tǒng)的不確定項,di(t)為有界的外部擾動,ui為控制律, 定義ei(t)=yi(t)-xi(t), 從而

(9)

定理2在假設1條件下, 設計滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律為

(10)

自適應律為

(11)

對式(12)兩邊積分可得

利用引理3可得si(t)→0, 從而ei(t)→0.

2 數(shù)值仿真

用MATLAB進行數(shù)值仿真. 參數(shù)為a=-2,b=6.7,q=0.978, 初始值設為(x1(0),x2(0),x3(0))=(0.5,0.2,0.8), (y1(0),y2(0),y3(0))=(0.4,0.6,0.2), Δf1(y)=0.5cos(2πy1), Δf2(y)=0.6cos(2πy2), Δf3(y)=0.5cos(2πy3). 有界外部擾動d1(t)=0.5cos(t),d2(t)=0.4sin(t),d3(t)=0.5cos(2t). 定理1和定理2中系統(tǒng)參數(shù)分別為

在假設1條件下, 設計滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律為式(4), 自適應律為式(5). 在假設1條件下, 設計滑模面si(t)=ln|1+ei(t)|, 控制律為式(10), 自適應律為式(11).

圖2 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線

定理1和定理2中的系統(tǒng)誤差曲線分別如圖2和圖3所示. 由圖2和圖3可見, 系統(tǒng)誤差在初始時相差較大, 且距原點較遠, 一段時間后逐漸趨近于坐標原點. 定理1和定理2中滑模函數(shù)的變化曲線分別如圖4和圖5所示. 由圖4和圖5可見, 對數(shù)型滑模面比其他滑模面趨近原點的速率更快, 系統(tǒng)可在更短時間內(nèi)趨于坐標原點, 與傳統(tǒng)的自適應滑模方法相比, 本文采用的滑模函數(shù)及控制器對整數(shù)階系統(tǒng)均適用, 且形式簡便易于操作.

圖3 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線

圖4 定理1中滑模函數(shù)的變化曲線

圖5 定理2中滑模函數(shù)的變化曲線

綜上, 本文研究了不確定分數(shù)階Rucklidge混沌系統(tǒng)適應滑模同步, 通過設計對數(shù)型滑模面和控制律與適應控制律得到了不確定分數(shù)階和整數(shù)階Rucklidge混沌系統(tǒng)自適應滑模同步的充分條件.