劉亞妮, 馮進(jìn)鈐, 沈曉娜, 李玉婷, 王迎宵

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710048)

近年來, 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的研究已引起人們廣泛關(guān)注. Holmes[1]通過彈跳小球?qū)嶒?yàn), 證明了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中分岔和混沌運(yùn)動(dòng)的存在性； 文獻(xiàn)[2]針對一類彈性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的分岔控制問題, 提出了一種分岔預(yù)測及控制方法; 文獻(xiàn)[3]研究了分段光滑碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的吸引域結(jié)構(gòu)變化機(jī)理; 文獻(xiàn)[4]研究了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中的混沌控制, 從而提高了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的工作效率.

形狀記憶合金(SMA)是一種特殊材料, 具有形狀記憶和偽彈性等效應(yīng). 基于這些特性, Tanaka[5]建立并分析了一維增量型本構(gòu)模型; Lagoudas等[6]提出了一種用于SMA偽彈性響應(yīng)的簡化材料模型; 周博等[7-8]給出了形狀記憶因子的概念, 并分別從細(xì)觀力學(xué)角度以及宏觀力學(xué)角度建立了SMA各種相變行為之間的形狀記憶演化方程； Savi等[9]研究了形狀記憶雙桿桁架的動(dòng)態(tài)響應(yīng); 張清泉等[10]研究了受軸向載荷的形狀記憶合金梁的動(dòng)力穩(wěn)定性與混沌運(yùn)動(dòng). 但上述關(guān)于SMA的研究均未考慮其遲滯環(huán)特性. 文獻(xiàn)[11]分析了SMA的應(yīng)力應(yīng)變遲滯環(huán)特性; 文獻(xiàn)[12-13]分別建立了受Gauss噪聲激勵(lì)的振動(dòng)模型以及形狀記憶合金簡支梁在受軸向簡諧激勵(lì)和橫向白噪聲激勵(lì)時(shí)的振動(dòng)模型; 文獻(xiàn)[14-16]研究了平面內(nèi)隨機(jī)激勵(lì)的巨型磁致伸縮薄膜形狀的記憶合金復(fù)合材料板的非線性動(dòng)力學(xué)特性和最優(yōu)控制, 以及磁形狀記憶合金(MSMA)梁在軸向隨機(jī)激勵(lì)作用下的非線性動(dòng)力學(xué)特性和最優(yōu)控制. 在實(shí)際工程中, 形狀記憶合金梁通常受雙邊剛性約束的影響. 基于此, 本文以具有雙邊約束的形狀記憶合金梁模型為研究對象, 利用Melnikov方法得到系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件, 所得結(jié)果可用于形狀記憶合金梁的混沌控制.

1 雙邊約束形狀記憶合金梁模型

平均密度為ρ、 高度為H、 長度為l、 橫截面寬度為b的簡支形狀記憶合金梁模型如圖1所示, 在其基底層的上方和下方均粘著厚度相同的形狀記憶合金層, 其中基底層的厚度為d. 該形狀記憶合金梁受軸向諧和激勵(lì)J=j0+jcos(Ωt), 其動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

其中B為合金梁的橫截面積,N為其彎矩,w為其橫向位移,a為線性阻尼.

該梁受軸向諧和激勵(lì)時(shí)的振動(dòng)方程為

(2)

其中

圖1 簡支形狀記憶合金梁模型

圖2 形狀記憶合金梁在雙邊約束下的截面

形狀記憶合金梁在雙邊約束下的截面如圖2所示, 其中形狀記憶合金梁左右兩側(cè)的約束均為一U形槽. 在該約束條件下, 系統(tǒng)(2)的運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

(4)

其中R為碰撞恢復(fù)系數(shù), 一般描述為R=1-ξr0, +表示碰撞前的時(shí)刻, -表示碰撞后的時(shí)刻，g為線性剛度系數(shù),δ為非線性剛度系數(shù),τ為阻尼系數(shù),ζ為負(fù)阻尼系數(shù),f為諧和激勵(lì)幅值.

2 未擾系統(tǒng)的同宿軌

令式(4)中ξ=0, 得到未擾系統(tǒng)方程

(5)

(6)

Hamilton函數(shù)為

(7)

圖3 未擾系統(tǒng)(5)的軌線

當(dāng)g=2.0,δ=2.0,h=1時(shí), Hamilton量取不同值時(shí)未擾系統(tǒng)(5)的軌線如圖3所示, 其中實(shí)線表示鞍點(diǎn)S的2條同宿軌.

根據(jù)H(m,n)=0, 推導(dǎo)出未擾系統(tǒng)同宿軌為

(mh(t),nh(t))T=

(8)

其中

T±表示同宿軌到達(dá)約束面的時(shí)間.

3 Melnikov函數(shù)

利用Melnikov理論[17-18], 系統(tǒng)(4)的Melnikov函數(shù)可表示為

(9)

簡化為

M(t0)=ζU1+τU2+fU3+r0U4,

(10)

其中

令

則

U3=2sin(ωt0)[sin(ωT0)W1-cos(ωT0)W2],

利用Melnikov理論, 系統(tǒng)(3)出現(xiàn)Smale馬蹄混沌的必要條件為

(11)

4 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證解析結(jié)果式(11)的正確性, 考慮不同約束位置情況下諧和力以及碰撞恢復(fù)系數(shù)對該系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的影響. 令系統(tǒng)參數(shù)g=2.0,ω=2.2,δ=2.0,τ=0.15,ζ=0.015,ξ=0.1, 當(dāng)式(11)取等號,h=1.0,1.1,1.2時(shí), 系統(tǒng)的Melnikov臨界線如圖4所示, 其中線下為可能的混沌區(qū)域, 線上為非混沌區(qū)域. 由圖4可見,h越大系統(tǒng)產(chǎn)生混沌解所需的碰撞恢復(fù)參數(shù)r0越大, 且臨界值f隨r0的增大而增大, 即較大的諧和力可促進(jìn)混沌產(chǎn)生.r0越大系統(tǒng)損耗的能量越大, 更大的諧和力有助于2個(gè)勢阱間的躍遷運(yùn)動(dòng), 預(yù)示混沌運(yùn)動(dòng)的發(fā)生. 基于式(11)的臨界條件, 當(dāng)h=1.0,r0=2.0時(shí), 得到臨界值f≈4.1.

為驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性, 在圖4臨界值下方取點(diǎn)A(4.0,2.0), 繪制在A點(diǎn)參數(shù)條件下系統(tǒng)的相圖(圖5中曲線)和Poincaré截面圖(圖5中黑點(diǎn)), 其中圖5(A)初值(m,n)T=(-0.01,-0.01)T, 圖5(B)初值(m,n)T=(0.01,0.01)T. 由圖5可見, 在A點(diǎn)參數(shù)條件下, 系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期3運(yùn)動(dòng), 對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ≈-0.12, 表明系統(tǒng)在該參數(shù)條件下做非混沌運(yùn)動(dòng).

圖4 Smale馬蹄混沌生成的臨界線

圖5 f=4.0時(shí)系統(tǒng)(3)的相圖和Poincaré截面圖

在圖4臨界值上方取點(diǎn)B(7.0,2.0), 繪制在B點(diǎn)參數(shù)條件下系統(tǒng)的相圖(圖6中灰線)和Poincaré截面圖(圖6中黑點(diǎn)), 其中圖6(A)初值(m,n)T=(-0.01,-0.01)T, 圖6(B)初值(m,n)T=(0.01,0.01)T. 由圖6可見, 在B點(diǎn)參數(shù)條件下, 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)雜亂無序, 對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)λ≈0.26, 表明系統(tǒng)在該參數(shù)條件下做混沌運(yùn)動(dòng).

為進(jìn)一步研究h與r0對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響, 當(dāng)f=7.0,h=1.0,1.1,1.2時(shí), 系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)隨r0的變化曲線如圖7所示. 由圖7可見, 隨著r0的增大, 最大Lyapunov指數(shù)由大于0逐漸變?yōu)樾∮?, 表明增大碰撞參數(shù)可抑制系統(tǒng)生成混沌. 在3個(gè)不同約束值中,h=1.1的曲線波動(dòng)幅度較小, 其他兩條曲線波動(dòng)幅度較大, 表明約束值不同, 對系統(tǒng)混沌生成的影響也不同.

圖6 f=7.0時(shí)系統(tǒng)(3)的相圖和Poincaré截面圖

圖7 不同h值下最大Lyapunov指數(shù)隨r0的變化曲線

綜上, 本文基于非光滑系統(tǒng)的Melnikov方法, 研究了在軸向諧和激勵(lì)下雙邊約束簡支形狀記憶合金梁的混沌運(yùn)動(dòng), 得到系統(tǒng)具有混沌解的必要條件, 并利用數(shù)值仿真方法驗(yàn)證了該解析結(jié)果的有效性和正確性. 研究結(jié)果表明, 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取特定值時(shí), 諧和激勵(lì)幅值越大, 系統(tǒng)越容易做混沌運(yùn)動(dòng), 但增大碰撞恢復(fù)系數(shù)可抑制混沌產(chǎn)生.