周音波, 張亞菲

(西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西安 710071)

0 引 言

考慮如下三物種的Lotka-Volterra(L-V)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng):

(1)

其中t>0,x∈,di,ri,bi(i=1,2,3)都是正數(shù),di表示擴(kuò)散系數(shù),ri表示種內(nèi)增長(zhǎng)率,bi表示競(jìng)爭(zhēng)系數(shù),u1(x,t),u2(x,t)和u3(x,t)分別表示在時(shí)間t和位置x處的物種密度. 系統(tǒng)(1)非線(xiàn)性項(xiàng)中每個(gè)物種的遷移能力都標(biāo)準(zhǔn)化為1, 由系統(tǒng)(1)可見(jiàn), 物種u1與u3之間沒(méi)有競(jìng)爭(zhēng), 而物種u2與u1和u3之間都存在競(jìng)爭(zhēng).

目前, 關(guān)于最小波速選擇機(jī)制的研究已被廣泛關(guān)注. 文獻(xiàn)[1]研究表明, 系統(tǒng)在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處的線(xiàn)性化問(wèn)題可以控制系統(tǒng)的最小波速. 但對(duì)于某些參數(shù)的選擇, 最小波速可能?chē)?yán)格大于c0. 為方便, 本文給出線(xiàn)性選擇和非線(xiàn)性選擇的定義. 當(dāng)cmin=c0時(shí), 系統(tǒng)的最小波速是線(xiàn)性選擇的； 如果cmin>c0, 則系統(tǒng)的最小波速是非線(xiàn)性選擇的. 文獻(xiàn)[2-6]研究了二維L-V競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)最小波速的選擇機(jī)制； 文獻(xiàn)[7]討論了相應(yīng)的格動(dòng)力系統(tǒng)； 文獻(xiàn)[8-9]研究了其他模型中最小波速的選擇機(jī)制. 目前, 對(duì)更高維數(shù)的L-V競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)最小波速的選擇機(jī)制研究文獻(xiàn)報(bào)道較少, 文獻(xiàn)[10]研究了三維L-V競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)最小波速的線(xiàn)性選擇機(jī)制, 結(jié)果表明, 當(dāng)系統(tǒng)的參數(shù)滿(mǎn)足

時(shí), 系統(tǒng)的最小波速是線(xiàn)性選擇的, 其中

本文進(jìn)一步研究三維L-V競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的速度選擇機(jī)制, 給出判斷系統(tǒng)速度選擇機(jī)制的一般條件, 并通過(guò)構(gòu)造一些新的上下解給出一些判斷速度選擇機(jī)制的確切條件.

1 行波解的存在性

下面用單調(diào)迭代方法考慮系統(tǒng)行波解的存在性. 令u=1-u1,v=u2,w=1-u3, 則競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為合作系統(tǒng)：

(2)

且初值條件為

u(x,0)=1-u1(x,0),v(x,0)=u2(x,0),w(x,0)=1-u3(x,0), ?x∈.

假設(shè)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)滿(mǎn)足

b2>1,b1+b3<1.

(3)

則當(dāng)式(3)成立時(shí), 系統(tǒng)(2)存在平衡點(diǎn):

(u,v,w)=(0,0,0)=α0, (u,v,w)=(1,1,1)=α1, (u,v,w)=(1,0,1)=α2.

引入新變量ξ=x-ct, 并定義(u,v,w)(x,t)=(U,V,W)(ξ)是系統(tǒng)(2)連接α1和α0的行波解, 則(U,V,W)(ξ)滿(mǎn)足

(4)

令θ充分大, 使得

其中F,G,H分別對(duì)U,V,W單調(diào). 則系統(tǒng)(4)可轉(zhuǎn)化為

(5)

(6)

用參數(shù)變換法可得系統(tǒng)(5)的積分形式為

(7)

其中

定義1如果(U,V,W)(ξ)≥(≤)(T1,T2,T3)(ξ), 則連續(xù)函數(shù)(U,V,W)(ξ)是積分系統(tǒng)(7)的一個(gè)上(下)解.

類(lèi)似文獻(xiàn)[5]的引理6.1可得：

引理1連續(xù)函數(shù)(U,V,W)(ξ)在(-∞,+∞)上除有限點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n)外處處可微, 不僅滿(mǎn)足

下面給出一些假設(shè)并證明如果系統(tǒng)(7)存在一組上解和下解, 則可以得到系統(tǒng)(4)真實(shí)解的存在性, 并給出估計(jì).

(8)

其中n=0,1,2,…. 由文獻(xiàn)[11]可得：

定理1如果系統(tǒng)(7)滿(mǎn)足假設(shè)(H), 則迭代式(8)收斂到一個(gè)非增的函數(shù)(U,V,W)(ξ). 該函數(shù)即為系統(tǒng)(4)的解, 不僅滿(mǎn)足(U,V,W)(-∞)=α1， (U,V,W)(+∞)=α0, 而且對(duì)于ξ∈(-∞,+∞), 有

2 速度選擇機(jī)制

由文獻(xiàn)[12]可得:

引理2假設(shè)存在常數(shù)η-和η+, 滿(mǎn)足η-<0<η+, 并且在t0∈(-∞,+∞)時(shí)定義函數(shù)η(t)為

dφ″(t)-cφ′(t)+rφ(t)(η(t)-φ(t))=0

存在單調(diào)非負(fù)解φ(t), 滿(mǎn)足φ(-∞)=η+和φ(+∞)=0.

(10)

證明： 當(dāng)U(ξ)=1-ψ(ξ)時(shí), 方程(9)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于ψ的方程：

令ξ=-t并定義ψ(ξ)=ψ1(t), 1-b2V(ξ)=b(t), 則有

(11)

則對(duì)所有的t∈(-∞,+∞)有b(t)≥b-(t). 由引理2可知, 方程

引理4當(dāng)b1=b3=0時(shí)系統(tǒng)(4)的最小波速滿(mǎn)足cmin=c0.

證明： 此時(shí)系統(tǒng)(4)為

下面通過(guò)對(duì)系統(tǒng)(4)中第二個(gè)方程構(gòu)造合適的上下解研究系統(tǒng)(4)最小波速的選擇機(jī)制. 在α0處對(duì)系統(tǒng)(4)進(jìn)行線(xiàn)性化可得一個(gè)常系數(shù)系統(tǒng)：

(12)

對(duì)一些正常數(shù)z1,z2,z3和μ, 令(U,V,W)(ξ)=(z1e-μξ,z2e-μξ,z3e-μξ), 將其代入系統(tǒng)(12)可得

(13)

這里A(μ)是一個(gè)三階矩陣, 具體形式為

當(dāng)且僅當(dāng)A(μ)=0時(shí), 代數(shù)方程(13)有非平凡解. 令

f(μ)=d2μ2-cμ+r2(1-b1-b3)=0.

(14)

如果c≥c0, 則式(14)存在兩個(gè)正解：

(15)

(16)

這里A是一個(gè)常數(shù),μ1是式(15)中所定義的形式.

(18)

下面在c→c0時(shí)構(gòu)造系統(tǒng)(4)的一個(gè)下解. 定義連續(xù)函數(shù)

證明： 只需證明對(duì)于所有的ξ∈(-∞,+∞), 均有

(19)

當(dāng)ξ≤ξ1時(shí)式(19)的第二個(gè)不等式成立, 而且對(duì)于所有的ξ, 第一個(gè)和第三個(gè)不等式也成立. 考慮式(19)第二個(gè)不等式的左邊, 當(dāng)ξ>ξ1時(shí), 有

這里f(μ1)是式(14)定義的形式. 當(dāng)ε2充分小時(shí), 式(20)右邊的第一項(xiàng)為0且第二項(xiàng)恒大于0； 當(dāng)M充分大時(shí)有z2>0, 且第二項(xiàng)的指數(shù)函數(shù)可以控制第三項(xiàng). 因?yàn)樽詈笕?xiàng)取值也全為正數(shù), 所以結(jié)論得證.

定理2當(dāng)式(18)成立時(shí), 系統(tǒng)(4)的最小波速是線(xiàn)性選擇的.

下面考慮系統(tǒng)(4)最小波速的非線(xiàn)性選擇機(jī)制.

(21)

證明： 假設(shè)系統(tǒng)(21)當(dāng)c∈[c0,c1)時(shí)存在單調(diào)的行波解(U,V,W)(x-ct), 初值條件為

u(x,0)=U(x),v(x,0)=V(x),w(x,0)=W(x).

(22)

V(x-ct)=V(ξ*+(c1-c)t)→V(+∞)=0,t→+∞,

下面構(gòu)造一個(gè)連續(xù)單調(diào)的函數(shù)

(23)

如果

(25)

定理3當(dāng)式(25)成立時(shí)， 系統(tǒng)(4)的最小波速是非線(xiàn)性選擇的.

3 速度選擇判定定理

定理4假設(shè)d1=d3,r1=r3. 如果

則系統(tǒng)(4)的最小波速是線(xiàn)性選擇的.

證明： 定義

其中

(26)

(27)

當(dāng)ξ>ξ2時(shí),

因此在條件(27)下, -2(1-b1-b3)+J1(ξ)<0恒成立, 從而由定理2可得結(jié)論成立.

定理5如果b1+b3<1/3, 且

(28)

或

(29)

成立, 則系統(tǒng)(4)的最小波速是線(xiàn)性選擇的.

(30)

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算, 有

(31)

(32)

(33)

將式(31)～(33)代入系統(tǒng)(4)可知, 如果

(34)

從而當(dāng)式(29)的第二個(gè)不等式成立時(shí)， 這兩個(gè)不等式也成立. 因此由定理1可知結(jié)論成立. 證畢.

(35)

定理6如果

(36)

則系統(tǒng)(4)的最小波速是非線(xiàn)性選擇的.

(37)

將式(35)替換到系統(tǒng)(4)中, 則需證明不等式(25)成立, 且當(dāng)c=c0+ε1時(shí)下列不等式也成立：

(38)

(39)

從而在條件(37)和(39)下, 式(38)的第一個(gè)不等式成立. 同理可知式(38)的第二個(gè)不等式也成立. 將式(35)代入式(25)可得

則當(dāng)ε1充分小時(shí), 在條件(37)下, 有

從而由定理3可知結(jié)論成立.

綜上可見(jiàn)， 本文定理5的結(jié)果可以簡(jiǎn)化為E1∪E2, 其中