趙思林 汪 洋 王 佩 尤 娜

(內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641110;2.成都西藏中學(xué) 610041)

使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加容易是數(shù)學(xué)教師追求的目標(biāo)，也是“教育數(shù)學(xué)”產(chǎn)生的初心．張景中院士利用單位菱形的面積定義正弦，通過(guò)面積計(jì)算獲得正弦定理和正弦和角公式；利用向量、復(fù)數(shù)或坐標(biāo)的表達(dá)方式，輕松學(xué)習(xí)解析幾何、復(fù)數(shù)、向量；利用中學(xué)知識(shí)，不用極限概念也可以學(xué)習(xí)微積分等．張?jiān)菏康膶?shí)踐表明，可以用初等方式(方法)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，可以將數(shù)學(xué)變得有趣、易懂，數(shù)學(xué)變得更容易是可行的．不少學(xué)者雖對(duì)教育數(shù)學(xué)作了一些研究，但專(zhuān)門(mén)針對(duì)教育數(shù)學(xué)的實(shí)施的研究比較少．因此，研究教育數(shù)學(xué)的實(shí)現(xiàn)路徑是有益的．

1 教育數(shù)學(xué)的意義

1989年張景中院士出版的著作《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中提出了“教育數(shù)學(xué)”的觀點(diǎn)．教育數(shù)學(xué)就是為教育而改造數(shù)學(xué)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得更容易[1]．教育數(shù)學(xué)被認(rèn)為是降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度、提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的可行方案．教育數(shù)學(xué)的提出，有助于數(shù)學(xué)教育理論的發(fā)展、提高數(shù)學(xué)教育工作者的學(xué)術(shù)素養(yǎng)、推動(dòng)數(shù)學(xué)教育學(xué)學(xué)科的發(fā)展[2]．2004年中國(guó)高等教育學(xué)會(huì)專(zhuān)門(mén)成立了教育數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)．2009年科學(xué)出版社推出了一套叢書(shū)《走進(jìn)教育數(shù)學(xué)》．張奠宙認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有三種形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)，教育數(shù)學(xué)是教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[3]．對(duì)于數(shù)學(xué)教師而言，應(yīng)著力把原始形態(tài)的數(shù)學(xué)和學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)改造為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)．更具體地說(shuō)，教師應(yīng)把數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)改造為學(xué)生易學(xué)易懂的數(shù)學(xué)．對(duì)此，張景中院士提出了教育數(shù)學(xué)的三條原理：在學(xué)生頭腦里找概念、從概念里產(chǎn)生方法、方法要形成模式[4]．學(xué)生頭腦里的東西其實(shí)就是經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)模式就是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)(知識(shí)體系)．這三條原理可理解為：從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中抽象概括出數(shù)學(xué)原理(數(shù)學(xué)原理是指數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)命題)，從數(shù)學(xué)原理中提煉數(shù)學(xué)思想方法，從數(shù)學(xué)思想方法中形成數(shù)學(xué)模式．這三條原理深刻揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)規(guī)則和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知邏輯：(數(shù)學(xué))經(jīng)驗(yàn)—數(shù)學(xué)原理—數(shù)學(xué)思想方法—數(shù)學(xué)模式．

學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)、害怕數(shù)學(xué)、痛恨數(shù)學(xué)甚至仇恨數(shù)學(xué)，是世界數(shù)學(xué)教育界的普遍現(xiàn)象．張奠宙認(rèn)為，教育數(shù)學(xué)是一種使學(xué)生容易理解的教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[5]．教育數(shù)學(xué)有利于降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，讓更多學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有成功體驗(yàn)和成就感．因此，教育數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)疑是重要的．

教育數(shù)學(xué)有助于數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)進(jìn)行改造或再創(chuàng)造．張雄[6]、沈文選[7]認(rèn)為，教育數(shù)學(xué)是一個(gè)再創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)學(xué)科．張雄[6]認(rèn)為，教育數(shù)學(xué)注重科學(xué)邏輯與認(rèn)知心理的結(jié)合，是在學(xué)術(shù)性數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造、再提高的學(xué)科．沈文選[8]指出，教育數(shù)學(xué)根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識(shí)和課本在教育上的適合性，選擇哪些內(nèi)容需要改造，哪種呈現(xiàn)方式最適合教育，哪種反映方法最優(yōu)．教育數(shù)學(xué)有助于教師對(duì)數(shù)學(xué)的深刻認(rèn)識(shí)和理解，讓師生都獲得教學(xué)的成功體驗(yàn)，并促使教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展．教師通過(guò)對(duì)學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)的鉆研、改造、創(chuàng)新得到教育數(shù)學(xué)，可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度．教育數(shù)學(xué)在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)提升師生的交互水平，從而提高教師教學(xué)成功的概率．教學(xué)數(shù)學(xué)形式的改造、發(fā)展、完善的過(guò)程就是數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)化發(fā)展的過(guò)程，因此，教師創(chuàng)造教育數(shù)學(xué)并實(shí)施教育數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)化發(fā)展有益．

2 教育數(shù)學(xué)實(shí)施的“五化”策略

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?、廣泛的應(yīng)用性．這三大特點(diǎn)決定了，數(shù)學(xué)教學(xué)困難，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更困難．教育數(shù)學(xué)的實(shí)現(xiàn)路徑已有不少研究成果．如張景中對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和表現(xiàn)方法提出以下三條標(biāo)準(zhǔn)[9]：邏輯結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，概念引入要平易直觀，要建立有力而通用的解題工具．張?jiān)菏扛叨雀爬藬?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三大難點(diǎn)：概念理解難，邏輯推理難，問(wèn)題解決難．他提出的這三條標(biāo)準(zhǔn)意蘊(yùn)深刻，內(nèi)涵豐富，極富概括性和啟發(fā)性．邏輯作為數(shù)學(xué)的生命，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)既重要又困難，對(duì)此有三種應(yīng)對(duì)策略：一是教材編寫(xiě)者或教師應(yīng)重視把復(fù)雜的知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)作簡(jiǎn)化和優(yōu)化處理，盡力讓知識(shí)邏輯與認(rèn)知邏輯實(shí)現(xiàn)雙適應(yīng)、教師與學(xué)生實(shí)現(xiàn)雙適應(yīng)；二是采用擴(kuò)大公理體系的方法，以降低教學(xué)和學(xué)習(xí)的難度；三是在學(xué)生初學(xué)某個(gè)命題的證明時(shí)，對(duì)過(guò)程較長(zhǎng)、難度較大、理解困難的證明作分層次要求和分階段要求，不必一步到位，可以分步到位，如讓一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差的學(xué)生在初次接觸繁難證明時(shí)僅作理解證明思路的要求，過(guò)一段時(shí)間再作更多、更高的學(xué)習(xí)要求．概念作為數(shù)學(xué)邏輯思維的細(xì)胞，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)此有三種應(yīng)對(duì)策略：一是重視講概念的背景，包括講概念產(chǎn)生的精彩故事，以激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和學(xué)習(xí)興趣；二是重視各種數(shù)學(xué)直觀，包括圖表直觀、教(學(xué))具直觀、技術(shù)直觀、語(yǔ)言直觀、模式直觀、案例直觀、經(jīng)驗(yàn)直觀等，通過(guò)數(shù)學(xué)直觀降低教學(xué)難度是教育數(shù)學(xué)的普適做法；三是善于運(yùn)用典型案例(包括正例和反例)對(duì)概念理解的強(qiáng)化作用，包括正面的強(qiáng)化作用和反面的強(qiáng)化作用．“通用的解題工具”一般可理解為數(shù)學(xué)解題中的通性通法，數(shù)學(xué)中的通性通法既包括像配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法等具體方法，又包括更為普適的公理化、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)思想．“整合創(chuàng)新”與“返璞歸真”是教育數(shù)學(xué)自身成長(zhǎng)的兩手抓[8]．“返璞歸真優(yōu)化數(shù)學(xué)是走進(jìn)教育數(shù)學(xué)研究的主要途徑”[8]．怎樣做到“返璞歸真優(yōu)化”？一是需要用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的理性思維、數(shù)學(xué)建模思想方法等去看待和處理問(wèn)題；二是需要以數(shù)學(xué)史(或數(shù)學(xué)文化)的視角去認(rèn)識(shí)和洞察數(shù)學(xué)的本質(zhì)；三是需要以本原問(wèn)題溯源展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)[8]．教育數(shù)學(xué)以攻克技術(shù)難點(diǎn)、尋找課程焦點(diǎn)為方法達(dá)到實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)的目的[10]．

由于數(shù)學(xué)教學(xué)包括數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的教與學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用(遷移)的教與學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)的教與學(xué)，因此教育數(shù)學(xué)應(yīng)在數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成、理解、應(yīng)用(遷移)、發(fā)現(xiàn)等環(huán)節(jié)上發(fā)力與落實(shí)，即教育數(shù)學(xué)的實(shí)施有背景化、探究化、經(jīng)驗(yàn)化、遷移化、直覺(jué)化等“五化”策略．

2.1 背景化——讓背景成為產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)的起點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生一般都有特定的背景，包括數(shù)學(xué)文化背景、生活實(shí)踐背景、學(xué)科發(fā)展背景等．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景對(duì)學(xué)生內(nèi)在動(dòng)機(jī)的激發(fā)、弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈是有益的．講授數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景一般離不開(kāi)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家的故事，應(yīng)從數(shù)學(xué)史料和數(shù)學(xué)家的故事中發(fā)掘育人素材和樹(shù)人素材．李文林認(rèn)為，通過(guò)數(shù)學(xué)史的介紹，有利于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法和思想的理解；有利于學(xué)生體會(huì)活的數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力；有利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力；有利于學(xué)生樹(shù)立科學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)良好的科學(xué)精神[11]．?dāng)?shù)學(xué)文化可以改善知識(shí)認(rèn)識(shí)，激活學(xué)習(xí)情感，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣[12]．

把數(shù)學(xué)教活、學(xué)活、用活是教育數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求．教育數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是教“活的數(shù)學(xué)”、學(xué)“活的數(shù)學(xué)”．活的數(shù)學(xué)由無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)故事構(gòu)成，故事是先進(jìn)的數(shù)學(xué)教育中不可缺少的養(yǎng)料和調(diào)味劑[13]．?dāng)?shù)學(xué)故事是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的最佳方式之一．?dāng)?shù)學(xué)故事是連接數(shù)學(xué)與教育的捷徑．提倡數(shù)學(xué)教師講知識(shí)產(chǎn)生的背景，究其本質(zhì)是講數(shù)學(xué)中精彩的故事．“知識(shí)的背景化”是學(xué)生弄清知識(shí)來(lái)龍去脈的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)育人的重要途徑．由于中國(guó)的高考、中考長(zhǎng)期不考數(shù)學(xué)文化方面的知識(shí)，加之大多數(shù)數(shù)學(xué)教師在大學(xué)期間對(duì)數(shù)學(xué)史從未學(xué)過(guò)或僅選修過(guò)，導(dǎo)致這些教師關(guān)于數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)文化的知識(shí)貧乏，進(jìn)而限制了這些教師把數(shù)學(xué)當(dāng)成故事來(lái)講的能力，這也可能是很多數(shù)學(xué)教師不能講知識(shí)產(chǎn)生的背景的原因之一．對(duì)此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)文化的激趣價(jià)值和育人價(jià)值．把數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化中的生動(dòng)故事與數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景緊密聯(lián)系起來(lái)，是教育數(shù)學(xué)的基本要求．

此外，數(shù)學(xué)知識(shí)的高等數(shù)學(xué)背景、其他科學(xué)背景、生活實(shí)踐背景等，也需注意．

2.2 探究化——讓探究貫穿數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)的過(guò)程

數(shù)學(xué)探究包括兩個(gè)過(guò)程，即“探”的過(guò)程和“究”的過(guò)程．更具體地說(shuō)，“探”是弄清是什么的過(guò)程，“究”是弄清為什么的過(guò)程[14]．?dāng)?shù)學(xué)探究作為2017年版高中數(shù)學(xué)新課程的必修內(nèi)容，應(yīng)讓數(shù)學(xué)探究貫穿在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、生長(zhǎng)、完善、應(yīng)用和拓展的全過(guò)程之中．

從數(shù)學(xué)探究的內(nèi)容來(lái)看，數(shù)學(xué)探究的一個(gè)重要內(nèi)容是，弄清數(shù)學(xué)對(duì)象之間的邏輯關(guān)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的新關(guān)系(命題)．?dāng)?shù)學(xué)有一個(gè)顯著特點(diǎn)，就是靠邏輯而生長(zhǎng)．具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)中的每一個(gè)知識(shí)體系總是在一組不加定義的概念和一個(gè)公理體系的基礎(chǔ)上靠邏輯演繹而生長(zhǎng)出來(lái)．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)與問(wèn)題探究密切相關(guān)．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、生長(zhǎng)、形成和完善并非一帆風(fēng)順，而是數(shù)學(xué)家們不斷地在抽象與概括、嘗試與探索、直覺(jué)與猜想、計(jì)算與演繹、建模與解模、證明與反駁等探究過(guò)程中逐步得到的．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)總是在探究中發(fā)現(xiàn)、生長(zhǎng)和完善．也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程就是數(shù)學(xué)家探究問(wèn)題的過(guò)程，也就是數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)知識(shí)的過(guò)程．如果說(shuō)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)“過(guò)程與方法”目標(biāo)，倒不如說(shuō)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是師生在觀察“問(wèn)題”與“探究”的交互作用中發(fā)現(xiàn)知識(shí)、生長(zhǎng)知識(shí)及完善知識(shí)．由此歸結(jié)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)，是“問(wèn)題—探究”的教學(xué)，是發(fā)現(xiàn)知識(shí)的教學(xué)，是知識(shí)生長(zhǎng)的教學(xué)，是知識(shí)完善的教學(xué)．在這里，“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”“問(wèn)題探究”都只是教學(xué)的形式，知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、生長(zhǎng)和完善才是教學(xué)的實(shí)質(zhì)．

從數(shù)學(xué)探究的方式來(lái)看，數(shù)學(xué)探究可以用古典方法即借助于紙和筆，也可用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法即借助于數(shù)學(xué)軟件．過(guò)去的數(shù)學(xué)家做探究主要借助于紙和筆，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)探究除借助于紙和筆之外，也可借助數(shù)學(xué)軟件(如幾何畫(huà)板)通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)軟件可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的可視化，即讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究問(wèn)題的過(guò)程中可以通過(guò)“看”與“思”的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)探究和發(fā)現(xiàn)知識(shí)．這樣做既可增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又可降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，還可以讓學(xué)生主動(dòng)去探究知識(shí)和發(fā)現(xiàn)知識(shí)．現(xiàn)在已有不少課堂實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)代信息技術(shù)的(深度)融合，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、生長(zhǎng)和形成的過(guò)程，從而讓學(xué)生更容易理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)．

2.3 經(jīng)驗(yàn)化——讓經(jīng)驗(yàn)成為理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是基于經(jīng)驗(yàn)、激活經(jīng)驗(yàn)、改造經(jīng)驗(yàn)、創(chuàng)生經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程．學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的意義的理解，對(duì)知識(shí)的意義的理解的基本目的在于個(gè)體建立牢固的知識(shí)結(jié)構(gòu)．奧蘇伯爾認(rèn)為，有意義的學(xué)習(xí)是把新知同化后納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而內(nèi)化為已有觀念，擴(kuò)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)．具體地說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程是通過(guò)外在知識(shí)對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行改造重建，通過(guò)理解、消化、應(yīng)用、掌握轉(zhuǎn)變?yōu)樽约旱闹R(shí)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程．降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度是教育數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求．由于同化學(xué)習(xí)比順應(yīng)學(xué)習(xí)的難度更低，并且同化學(xué)習(xí)是基于經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，因此，最理想的教學(xué)是基于經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)．從而，學(xué)生積累豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是實(shí)現(xiàn)教育數(shù)學(xué)的前提．腦科學(xué)研究表明，人的大腦在感知、加工、存儲(chǔ)信息(知識(shí))時(shí)存在最簡(jiǎn)化傾向，據(jù)此原理推知，人的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)里面的東西一般是簡(jiǎn)單、特殊、具象、情境性的信息(知識(shí))．因此，數(shù)學(xué)知識(shí)理解的心理機(jī)制一般是用簡(jiǎn)單理解復(fù)雜，用特殊理解一般，用具象理解抽象，用情境理解知識(shí)等．

(1)用簡(jiǎn)單理解復(fù)雜

數(shù)學(xué)的復(fù)雜性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景復(fù)雜，數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)和形成的過(guò)程復(fù)雜，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程復(fù)雜，數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知加工復(fù)雜，數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶復(fù)雜，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用復(fù)雜等方面．把復(fù)雜知識(shí)(問(wèn)題)簡(jiǎn)單化，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，如在解方程(組)中把高次方程最終轉(zhuǎn)化為一次方程、把多元方程最終轉(zhuǎn)化為一元方程，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，這些都體現(xiàn)了復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的思想．

(2)用特殊理解一般

數(shù)學(xué)是特殊與一般的對(duì)立統(tǒng)一體．一般規(guī)律由特殊情況概括、歸納而來(lái)，數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵于特殊事例之中，特殊情況是發(fā)現(xiàn)一般問(wèn)題的解題思路的指南針．正如波利亞所說(shuō)：“注意對(duì)特殊情況的觀察，能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果．”數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)一般遵循“特殊—一般—特殊”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，即從特殊情況(案例)出發(fā)，探索并發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論(知識(shí))，再把具有一般性的知識(shí)用于特殊案例(具體情境)的解決．因此，數(shù)學(xué)知識(shí)源于特殊、用于特殊．對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解應(yīng)立足于特殊，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶往往都依靠特殊．特殊化是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決最基本的思考方法．遵循由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，運(yùn)用特殊化思想解答某些數(shù)學(xué)題更直觀、簡(jiǎn)潔、形象、容易．在解決問(wèn)題時(shí)，常用“特值”法，這里的“特值”是特殊數(shù)值、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊方程、特殊位置、特殊圖形(點(diǎn)，線(xiàn)，面，體)等的簡(jiǎn)稱(chēng)．如在解答選擇題和填空題時(shí)，最實(shí)在的思考方法是采用特值法，這樣可將問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀，直擊問(wèn)題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)多想少算．又如，在處理綜合性的解答題時(shí)，可以把一般性問(wèn)題“退”到特殊情形，從特殊情形著手就容易發(fā)現(xiàn)解題思路甚至發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)論．

(3)用具象理解抽象

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，符號(hào)是數(shù)學(xué)的生命；“運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功(章建躍)”，“推理是數(shù)學(xué)的命根子(伍鴻熙)”．嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念、抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)、繁瑣的字母運(yùn)算等，無(wú)一不體現(xiàn)數(shù)學(xué)高度的抽象性．?dāng)?shù)學(xué)高度的抽象性是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的主要原因之一，其消解策略如下：①用“具象”破解“抽象”；②具體的形象思維與抽象的邏輯思維相結(jié)合，如“數(shù)”與“形”的結(jié)合；③數(shù)學(xué)概念案例化，即用典型、簡(jiǎn)單的案例去理解概念；④數(shù)學(xué)符號(hào)意義化，即弄清數(shù)學(xué)符號(hào)的數(shù)學(xué)意義，特別是幾何意義；⑤字母運(yùn)算數(shù)字化，即用數(shù)值運(yùn)算去理解抽象的字母運(yùn)算；⑥邏輯推理“導(dǎo)圖”化，即用“思維導(dǎo)圖”去標(biāo)注和理解邏輯推理中每一個(gè)三段論推理的過(guò)程；⑦數(shù)學(xué)知識(shí)技術(shù)化，即用數(shù)學(xué)軟件展示數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)和形成的過(guò)程；⑧教學(xué)語(yǔ)言的形象化、生動(dòng)化、幽默化．

(4)用情境理解知識(shí)

2.4 遷移化——讓遷移作為判斷掌握知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)

“為遷移而學(xué)”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)．遷移是心理學(xué)的一個(gè)概念，其原意是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響．對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，有內(nèi)化式遷移和輸出式遷移之分，外在知識(shí)內(nèi)化為個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)這是內(nèi)化式遷移，用個(gè)體的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去解決問(wèn)題就是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，這是輸出式遷移，也簡(jiǎn)稱(chēng)為遷移．學(xué)會(huì)知識(shí)的應(yīng)用(遷移)是掌握知識(shí)的基本標(biāo)志．理解是遷移的基礎(chǔ)，但僅理解知識(shí)而不會(huì)遷移知識(shí)就是常說(shuō)的“懂而不會(huì)”．學(xué)生學(xué)習(xí)某個(gè)新知識(shí)時(shí)，不能對(duì)知識(shí)的應(yīng)用作過(guò)高的要求．也就是說(shuō)，學(xué)生在弄懂一個(gè)初學(xué)的新知識(shí)之后，不應(yīng)把綜合性太強(qiáng)的題目或太難的題目作為課堂練習(xí)題，因?yàn)閷W(xué)生做綜合性太強(qiáng)的題目或太難的題目很可能導(dǎo)致輸出式遷移的失敗，輸出式遷移的失敗會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面的情感體驗(yàn)，從而學(xué)生難以產(chǎn)生成功體驗(yàn)．輸出式遷移的成功體驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)成功的根本標(biāo)志．用大白話(huà)來(lái)說(shuō)，就是“會(huì)做題”是判斷學(xué)生學(xué)習(xí)成功的根本標(biāo)志，也是判斷教師教學(xué)成功的根本標(biāo)志．在數(shù)學(xué)課堂上，知識(shí)的應(yīng)用(遷移)主要對(duì)應(yīng)于例題和課堂練習(xí)這兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)．對(duì)數(shù)學(xué)新課教學(xué)而言，不管是例題還是課堂練習(xí)題，都應(yīng)控制題目的難度．當(dāng)下很多數(shù)學(xué)教師為了與高(中)考接軌，總想一步到位，總是喜歡在上新課時(shí)選取一些高(中)考題作為例題和課堂練習(xí)題，其結(jié)果常常用一道難題直接就把(很多)學(xué)生“打蒙”或“打暈”，這就像一個(gè)小孩還不會(huì)“爬”就訓(xùn)練他走路一樣，失敗是必然的．分析其失敗的原因主要有下面幾點(diǎn)：(1)教師的新課教學(xué)總是想直接與高(中)考接軌，這樣做是“為了接軌而接軌”，欲速而不達(dá)，其實(shí)是難以接軌的，這背后有深厚的功利思想在做主；(2)對(duì)教材中的“練習(xí)”、“習(xí)題”、“復(fù)習(xí)題”或“總復(fù)習(xí)題”的功能的認(rèn)識(shí)不到位，“練習(xí)”主要作用是在新課知識(shí)和例題學(xué)完之后做“課堂練習(xí)”或教學(xué)及時(shí)反饋時(shí)用的，“習(xí)題”是供當(dāng)天課外作業(yè)選用的，“復(fù)習(xí)題”是在一個(gè)單元或一章復(fù)習(xí)后布置課外作業(yè)選用的，可以看出，“練習(xí)”、“習(xí)題”、“復(fù)習(xí)題”主要分別是用于課堂、課外作業(yè)、復(fù)習(xí)后作業(yè)，其綜合性越來(lái)越強(qiáng)、難度越來(lái)越高，題目的這種設(shè)計(jì)體現(xiàn)了認(rèn)知邏輯，符合認(rèn)知規(guī)律，當(dāng)然有時(shí)也可挑選少量“習(xí)題”、“復(fù)習(xí)題”作為例題或課堂練習(xí)題，也可挑選個(gè)別高(中)考題作為例題或課堂練習(xí)題；(3)例題或課堂練習(xí)題的難度控制主要是憑經(jīng)驗(yàn)或感覺(jué)；(4)讓大量的劣質(zhì)例題和重復(fù)練習(xí)充斥課堂，把數(shù)學(xué)思維活動(dòng)演變成大量體力消耗的體力勞動(dòng)，使學(xué)生成為“行為主義”的忠實(shí)實(shí)踐者(執(zhí)行者)；(5)過(guò)分重視實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題甚至“應(yīng)用至上”，脫離學(xué)生經(jīng)驗(yàn)地去搞“數(shù)學(xué)建模”活動(dòng)，會(huì)加大學(xué)習(xí)難度，加重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)．

2.5 直覺(jué)化——讓直覺(jué)成為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的幫手

著名數(shù)學(xué)家龐加萊有一句名言：“直覺(jué)用于發(fā)明，邏輯用于證明”．英國(guó)數(shù)學(xué)家伊思斯圖爾特認(rèn)為，數(shù)學(xué)在于直覺(jué)和嚴(yán)格巧妙地結(jié)合在一起．直覺(jué)是發(fā)現(xiàn)(發(fā)明)數(shù)學(xué)的心理機(jī)制．直覺(jué)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的基本方法．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)依賴(lài)數(shù)學(xué)直覺(jué)，而直覺(jué)依賴(lài)于直觀、經(jīng)驗(yàn)、數(shù)感、美感、應(yīng)急、驚奇或驚艷等．?dāng)?shù)學(xué)直覺(jué)是對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、定理、公式、結(jié)論等沒(méi)有通過(guò)嚴(yán)格的演繹推理和邏輯思維活動(dòng)就能產(chǎn)生直觀感知的一種認(rèn)識(shí)能力[15]．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)(發(fā)明)源于數(shù)學(xué)直覺(jué)．?dāng)?shù)學(xué)直覺(jué)產(chǎn)生于無(wú)意識(shí)的思考，數(shù)學(xué)直覺(jué)源于對(duì)數(shù)學(xué)的觀察力和洞察力．?dāng)?shù)學(xué)直覺(jué)既有先天的數(shù)感(對(duì)數(shù)學(xué)的感覺(jué))，更需要后天的培養(yǎng)與訓(xùn)練．其培養(yǎng)策略有優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)、創(chuàng)設(shè)直覺(jué)思維場(chǎng)情境、訓(xùn)練直覺(jué)思維方法、開(kāi)發(fā)元直覺(jué)思維等；其訓(xùn)練方法有觀察法、聯(lián)想法、歸納法、類(lèi)比法、猜想法、估算法等[16]．這些訓(xùn)練數(shù)學(xué)直覺(jué)的方法，本身就是一些發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的常用方法．從發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的角度看，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是找“數(shù)學(xué)的感覺(jué)(簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)感)”的過(guò)程．教師和學(xué)生要想發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)數(shù)學(xué)，既需要教師和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)心生悟感并有所感悟，又需要教師和學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)產(chǎn)生悟感并有所感悟，還需要培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)的勇氣、發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)的眼光、發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)的思維、發(fā)現(xiàn)(“再創(chuàng)造”)的方法．由“知識(shí)源于問(wèn)題”與“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”推知，發(fā)現(xiàn)(數(shù)學(xué))問(wèn)題很重要，但這正是中國(guó)數(shù)學(xué)教育的弱項(xiàng)．運(yùn)用“直覺(jué)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的心理機(jī)制”這一原理，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)然的做法是在問(wèn)題提出、分析、探究、解決的教學(xué)中培養(yǎng)直覺(jué)，并利用直覺(jué)培養(yǎng)“四能”．需要注意的是，中小學(xué)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)很不容易，若隨意拔高發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求，則會(huì)增加教學(xué)難度，也違背教育數(shù)學(xué)的初心．因此，中小學(xué)學(xué)生的知識(shí)發(fā)現(xiàn)主要采用“再創(chuàng)造”式發(fā)現(xiàn)，或通過(guò)運(yùn)用直覺(jué)、培養(yǎng)直覺(jué)、提升直覺(jué)等方式間接地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．

3 結(jié)束語(yǔ)

教育數(shù)學(xué)是教師教好數(shù)學(xué)和學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要載體(教學(xué)內(nèi)容)．教育數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教師重要的核心素養(yǎng)．教育數(shù)學(xué)是消解數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯與學(xué)生認(rèn)知邏輯內(nèi)在矛盾的根本方法，教育數(shù)學(xué)的有效實(shí)施需要教師對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有較深理解，對(duì)學(xué)術(shù)型數(shù)學(xué)能夠再加工和改造，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)邏輯和認(rèn)知邏輯有深刻認(rèn)識(shí)．教育數(shù)學(xué)的有效實(shí)施，需要教師樹(shù)立終身學(xué)習(xí)理念，認(rèn)真學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和教育心理科學(xué)，感悟教育數(shù)學(xué)之妙，敬畏教育數(shù)學(xué)之道，善于思考，大膽實(shí)驗(yàn)，精于總結(jié)和反思．