張 紅 王 軍

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068)

平面解析幾何主要以圓錐曲線為中心內(nèi)容，英國C.Smith(1844-1916)的Conic Sections本意為圓錐曲線，日本原濱吉將之譯為解析幾何學(xué)(1)(日)原濱吉.解析幾何學(xué)講義[M].東京：金刺芳流堂，1909：1,清末顧澄也譯為解析幾何學(xué)(2)(英)Smith原著，顧澄譯補(bǔ).高等教育解析幾何學(xué).第一冊(cè)[M]，北京:北京作新社發(fā)行，1907：3.橢圓又是圓錐曲線的重要組成部分.從歷史上看，圓錐曲線在教科書中有兩種編排順序：橢圓到雙曲線再到拋物線，及拋物線到橢圓再到雙曲線.清末民國時(shí)期，兩種順序均出現(xiàn)在我國的解析幾何教科書中，但以后者為主.商務(wù)印書館、中華書局等自編或翻譯的多種教科書，其中圓錐曲線的編排順序就是拋物線到橢圓再到雙曲線.1949年以后人教版的高中教科書圓錐曲線的編排順序采用前者，即橢圓到雙曲線再到拋物線，并且教科書采用橢圓的第一定義，以此推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.本文以古希臘、中世紀(jì)、近現(xiàn)代為時(shí)間軸，討論坐標(biāo)雛形到坐標(biāo)體系的完善過程，及橢圓定義從原始定義、第二定義、到第一定義的發(fā)展過程.在此基礎(chǔ)上，分析了橢圓方程從文詞敘述、符號(hào)引入到現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)形式的演變過程.

1 坐標(biāo)概念的起源與發(fā)展

“坐標(biāo)系”是近代解析幾何形成的基本要素.坐標(biāo)概念經(jīng)歷了古希臘到近現(xiàn)代直至18世紀(jì)的漫長發(fā)展過程，在圓錐曲線的研究中，一直都扮演著重要角色.

1.1 坐標(biāo)概念的雛形

坐標(biāo)概念的雛形產(chǎn)生于古希臘以前，至于確切的開始，歷史學(xué)家們持有不同的意見(3)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics.1929(7)：738—744.至少，坐標(biāo)思想可以上溯到古埃及時(shí)期.埃及人采用劃分地面區(qū)域的辦法(4)梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史·下冊(cè) [M].沈陽：遼寧教育出版社，2005:141，已經(jīng)蘊(yùn)含坐標(biāo)概念的萌芽.希臘的希帕霍斯(Hipparchus，公元前180～125) 也曾用經(jīng)度和緯度表示恒星在天球上的位置.古希臘學(xué)者一般采用圓錐曲線的直徑、切線等表達(dá)坐標(biāo)軸的概念.阿基米德(Archimedes, 約公元前287～212)曾用直徑和切線表述橢圓的性質(zhì)，阿波羅尼奧斯(Apollonious，約公元前262～公元前170)的《圓錐曲線論》中，相當(dāng)于現(xiàn)在的“縱坐標(biāo)”通常指的是直徑末端的切線(5)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics.1929(7)：738—744.阿波羅尼奧斯甚至引用了兩條正交直線(6)梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編 [M].沈陽：遼寧人民出版社，1980:202，實(shí)際上已經(jīng)意味了“坐標(biāo)系”思想的萌芽.羅馬時(shí)期的實(shí)際生活中，就出現(xiàn)了直角坐標(biāo)和斜坐標(biāo)的混合使用.羅馬人在城市設(shè)計(jì)中，將羅馬的城鎮(zhèn)分布在兩個(gè)軸線上.相比古希臘時(shí)期無意識(shí)地使用坐標(biāo)，羅馬時(shí)期實(shí)際上是有意識(shí)的運(yùn)用了坐標(biāo)思想(7)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics.1929(7)：738—744.

1.2 坐標(biāo)概念的形成

從古希臘到中世紀(jì)，坐標(biāo)概念取得了顯著的進(jìn)展.十四世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家奧雷姆(Oresme，1320～1382)不僅將經(jīng)度和緯度分別對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)，并用系統(tǒng)化的術(shù)語和部分廣義的形式開始定義直角坐標(biāo)系(8)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics,1929(7)：738—744.他所陳述的坐標(biāo)幾何，標(biāo)志了從天文、地理坐標(biāo)到近代坐標(biāo)幾何學(xué)的抽象和過渡，他的坐標(biāo)思想對(duì)現(xiàn)代坐標(biāo)的建立邁出了決定性的一步.奧雷姆的《論質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)的結(jié)構(gòu)》(約1350)等書在1482—1515年間重印了多次，影響了文藝復(fù)興以后包括笛卡兒在內(nèi)的學(xué)者，在這個(gè)意義上，奧雷姆可以稱為解析幾何的先驅(qū).在奧雷姆之后，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒(Descartes，1596～1650)和費(fèi)馬(Pierre de Fermat，1601～1665)受韋達(dá)(Viète，1540～1603)等學(xué)者代數(shù)符號(hào)體系的影響，將坐標(biāo)法系統(tǒng)運(yùn)用于幾何中，開啟了符號(hào)體系下幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化的兩個(gè)途徑,實(shí)現(xiàn)了曲線和方程的一一對(duì)應(yīng)，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，笛卡兒和費(fèi)馬也被稱為解析幾何的創(chuàng)始人.

雖然“坐標(biāo)”的雛形在古埃及時(shí)期就已有之，但是，“坐標(biāo)”(coordinata) 這一名詞，直到1692年才由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz，1646～1716)首先創(chuàng)用(9)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics,1929(7)：738.“縱坐標(biāo)”在1694年為菜布尼茲所正式使用，而“橫坐標(biāo)”到18世紀(jì)才由法國數(shù)學(xué)家沃爾夫(Christian von Wolf, 1679～1754)等人引入(10)梁宗巨.世界數(shù)學(xué)通史簡(jiǎn)編 [M].沈陽：遼寧人民出版社，1980:201.

2 古希臘橢圓方程的肇始

圓錐曲線的研究，始于古希臘三大幾何問題中的倍立方問題(11)白尚恕. 圓錐曲線小史[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1964(4)：36-41，希臘時(shí)期著名數(shù)學(xué)家均有所涉獵和建樹，并影響到近代解析幾何的創(chuàng)立.

2.1 橢圓的原始定義

公元前4世紀(jì)，古希臘學(xué)者蒙愛啟馬斯(Meneachinus，約公元前 375～325 )發(fā)明了圓錐曲線(12)F.Cajori.初等算學(xué)史[M].曹丹文,譯.上海：商務(wù)印書館，1925：55，他是系統(tǒng)研究圓錐曲線的第一人(13)梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編 [M].沈陽：遼寧人民出版社，1980:109.據(jù)蓋米諾斯(Geminus,約公元前70)記載，古希臘數(shù)學(xué)家是用旋轉(zhuǎn)直角三角形(圍繞著一條直角邊)來產(chǎn)生圓錐面，不動(dòng)的直角邊叫做軸，斜邊叫做母線(14)Apollonious.圓錐曲線(V-VII)[M].朱恩寬,等,譯. 西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2011：3.這樣旋轉(zhuǎn)而成的圓錐就是直圓錐.蒙愛啟馬斯用垂直于直圓錐一條母線的平面，分別去截頂角為直角、銳角和鈍角的直圓錐,得到了三種不同的圓錐截線.其中截銳角圓錐所得的截線稱為“銳角圓錐截線”，這種截線就是現(xiàn)在的“橢圓”.“銳角圓錐截線”是最早對(duì)橢圓的稱謂，這就是橢圓視為圓錐截線的原始定義的由來.

希波克拉底(Hippcocrates 公元前460年前后活動(dòng)于雅典)把倍立方問題歸結(jié)為在線段a和2a之間插入兩個(gè)等比中項(xiàng)x,y的問題(15)梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編 [M].沈陽：遼寧人民出版社，1980:109-110.用現(xiàn)代符號(hào)語言表述，即是蒙愛啟馬斯認(rèn)識(shí)到，a:x=x:y=y:2a與x2=ay或y2=2ax以及xy=2a2相當(dāng)，由此導(dǎo)致圓錐曲線的探討.但是，由上述比例式無法導(dǎo)出橢圓.希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家和地理學(xué)家埃拉托色尼(Eratosthenes，約公元前276～195)認(rèn)為，蒙愛啟馬斯的三類曲線，實(shí)際上只有兩類圓錐曲線，即拋物線(x2=ay或y2=2ax)和等軸雙曲線(xy=2a2).

盡管蒙愛啟馬斯沒有用到橢圓，但在圓錐曲線中，橢圓應(yīng)該是最早被發(fā)現(xiàn)的(16)汪曉勤,韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)出版社，2002: 172.希臘人很早就知道，圓柱或圓錐被平行于底面的平面截得的截線是圓.平面不平行于底面時(shí)的截線自然也就引起希臘人的注意.希思(T.Heath,1860～1941)認(rèn)為：蒙愛啟馬斯完全可以用同樣的方法獲得橢圓的性質(zhì)(17)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press，1921：110.對(duì)橢圓的起源，卡茨(Victor J.Katz)還有一種推測(cè)，圓錐曲線看上去就像太陽做周日?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)時(shí)晷影的運(yùn)動(dòng)路徑，這路徑本身是落在以日晷的頭端為頂點(diǎn)的對(duì)頂圓錐的底面上(18)Victor J.Katz.數(shù)學(xué)史通論[M].李文林,等,譯.北京：高等教育出版社,1980：92.這里是周日運(yùn)動(dòng)是指太陽的視運(yùn)動(dòng).古人不知道地球自轉(zhuǎn)一周形成晝夜，而把晝夜循環(huán)看作是太陽的圓周運(yùn)動(dòng).按這種想法，投影所成的平面就是截平面.進(jìn)一步會(huì)注意到,從平面外一點(diǎn)看圓的形狀就像是一橢圓.

2.2 橢圓的第二定義

與歐幾里得同時(shí)代的亞里斯塔歐(Aritaeus,約公元前370～275)，著有《立體軌跡》5卷，已失傳.根據(jù)帕普斯(Pappus，約290～350)記載，這是一部關(guān)于圓錐曲線的論著.之所以使用“立體軌跡”而不是“圓錐曲線”，原因是當(dāng)時(shí)把“圓錐曲線”視為“軌跡”，而命名為“立體”軌跡，在于該軌跡是從立體圖形產(chǎn)生的(19)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：116—118.

希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代的三大代表人物歐幾里得( Euclid,約公元前330～275)、阿基米得和阿波羅尼奧斯，都在總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上，推進(jìn)了圓錐曲線的研究.歐幾里得的著作除廣為流傳的《幾何原本》之外，還有《圓錐曲線論》4卷，《面軌跡》2卷，只是后兩部均已失傳.據(jù)希思研究，歐幾里得曾在《面軌跡》中不加證明地給出圓錐曲線如下的重要命題：到定點(diǎn)與到定直線的距離之比的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線(20)汪曉勤,韓祥臨.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京：科學(xué)出版社,2002:174.用現(xiàn)代語言來解釋，當(dāng)這個(gè)“比”介于0到1之間時(shí)，形成的軌跡就是橢圓.它就是今天利用焦點(diǎn)-準(zhǔn)線性質(zhì)刻畫的橢圓第二定義.該定點(diǎn)在阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》中，稱為“由貼合產(chǎn)生的點(diǎn)”，“焦點(diǎn)”這一術(shù)語，最早是德國天文學(xué)家開普勒(Johannes Kepler，1571～1630)在1604年創(chuàng)用(21)Victor J.Katz.數(shù)學(xué)史通論[M].李文林,等,譯.北京：高等教育出版社,1980：93，而“準(zhǔn)線”一詞，則是之后由荷蘭數(shù)學(xué)家讓·德·維特(J.D.Witt ，1623～1672)創(chuàng)用的(22)汪曉勤.橢圓第一定義是如何誕生的[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2017(6)：30.這一命題由希臘后期數(shù)學(xué)家帕普斯得以證明.相比而言，亞里士塔歐對(duì)圓錐曲線的工作更專業(yè)和更具原創(chuàng)性，而歐幾里得主要是對(duì)圓錐曲線的匯編和對(duì)內(nèi)容的重新排列(23)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：116—117.

阿基米德早年曾在亞歷山大跟隨歐幾里得的門徒學(xué)習(xí)，他曾引用歐幾里得《面軌跡》中的一些零散的命題(24)杜石然.孔國平.世界數(shù)學(xué)史[M].長春：吉林教育出版社,2009:72，并且阿基米德有關(guān)圓錐截線的研究也保留了下來.歐幾里得和阿基米德仍然沿用蒙愛啟馬斯對(duì)圓錐曲線的名稱(如“橢圓”稱為“銳角圓錐截線”)，阿基米德給出了圓錐曲線中橢圓的直徑這個(gè)名稱(即現(xiàn)在橢圓的長軸)(25)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：122，證明了如下的橢圓性質(zhì)：

圖1

圖2

橢圓中心O與切點(diǎn)P的連線平分所有平行于切線的弦(如圖1)，設(shè)P是橢圓上一點(diǎn)，PN垂直于直徑，N為垂足，延長NP交輔助圓于Q,則QN∶PN為常數(shù)(如圖2)等.由此可以看出，阿基米德已經(jīng)有了用直徑或與之相交的切線表述橢圓性質(zhì)的意識(shí).

另外，阿基米德在他的《劈錐曲面體與旋轉(zhuǎn)橢圓體》中表明,任一橢圓都可看作圓錐的截線，該圓錐不一定是直圓錐，其頂點(diǎn)的選擇有很大的任意性(26)Archimedes.Heath T(編).阿基米德全集[M].朱恩寬,等,譯.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社,2011：5.因此，阿基米德可能把直圓錐擴(kuò)充到了斜圓錐，從而獲得圓錐曲線的一些性質(zhì)，但未給出證明(27)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：122-123.

2.3 對(duì)頂錐的創(chuàng)用與坐標(biāo)制思想的萌芽

阿波羅尼奧斯是古希臘圓錐曲線研究集大成者.他編寫的《圓錐曲線論》共有8卷，只有前7卷保存下來.根據(jù)帕普斯記載，阿波羅尼奧斯編寫的《圓錐曲線論》前4卷是以歐幾里得的《圓錐曲線論》4卷為基礎(chǔ)的(28)Heath T.A History of Greek Mathematics(II)[M]. London:Oxford university press,1921：119.這可能與阿波羅尼奧斯很小的時(shí)候就去亞歷山大和歐幾里得的繼任者一起學(xué)習(xí)有關(guān).

阿波羅尼奧斯采用平面截斜圓錐得到了橢圓，用幾何方法給出橢圓的基本性質(zhì)，用現(xiàn)代符號(hào)描述：

圖3

阿波羅尼奧斯把直徑(ED)上的線段(EM)叫做橫線，對(duì)應(yīng)的半弦(ML)叫做縱線，線段(EH)叫做截線的豎直邊，對(duì)應(yīng)參量p是一個(gè)常數(shù)，就是橢圓通徑.

對(duì)以一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn)，長軸為橫軸的橢圓性質(zhì)描述如下(31)Archimedes，Heath T(編).圓錐曲線論(I—IV卷)[M].朱恩寬,譯.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2018：6-8：

以橫線(EM，EM在直徑上)為一邊做矩形(EMXO)，“貼合”到豎直邊(EH)上去，使其面積等于縱線(ML,L在橢圓上)上正方形(ML2)，且矩形(EMXO)比橫線(EM)和豎直邊(EH)所夾的矩形(EMNH)，缺少一個(gè)與橫截直徑(ED)和豎直邊(EH)所交的矩形相似的矩形(OXNH).在這里，縱線上正方形的矩形另一邊EO小于豎直邊EH.

其含義就是：橢圓其上任一點(diǎn)縱坐標(biāo)組成的正方形小于與之對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)及通徑組成的矩形.

阿波羅尼奧斯在圓錐上使用相交的橫線(EM)和縱線(EL)，利用線段生成的矩形和正方形的面積刻畫橢圓性質(zhì)，實(shí)際上建立了只有正數(shù)的斜坐標(biāo)系，已經(jīng)含有坐標(biāo)制的基本思想.

阿波羅尼奧斯對(duì)橢圓的軌跡進(jìn)行了描述，表示為現(xiàn)代符號(hào)語言為：

阿波羅尼奧斯還發(fā)現(xiàn)亞里斯塔歐、歐幾里得等學(xué)者熟知但并未完整解決的三、四線軌跡問題.他完整地解決三線軌跡問題，而三、四線軌跡問題也成為了從希臘后期直到17世紀(jì)數(shù)學(xué)家如帕普斯、笛卡兒、費(fèi)馬等所討論的熱點(diǎn).帕普斯對(duì)三、四線軌跡問題做了進(jìn)一步的研究，并明確地指出了“三線軌跡”和“四線軌跡”為圓錐曲線，“五線及以上軌跡”不再是人們已經(jīng)知道的圓錐曲線，而是屬于“線軌跡”(32)Bos.Henk J.M. Descarts′ solution of Pappus′ problem.sources and studies in the History of Mathematics and Phyical Sciences[M].Springer-Verlag New York Inc，2001：315-317

阿波羅尼奧斯如此深?yuàn)W的內(nèi)容完全是用文字表達(dá)的，沒有使用符號(hào)和公式，命題敘述冗長，但他建立了相對(duì)完美的圓錐曲線理論，他的工作直到17世紀(jì)笛卡兒之前一直無人能夠超越.

3 近代橢圓方程的發(fā)展

解析幾何的基本思想就是借助坐標(biāo)系建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)，以及曲線與方程的一一對(duì)應(yīng).解析幾何的創(chuàng)立，為微積分的誕生搭建了舞臺(tái)，近代數(shù)學(xué)因此而進(jìn)入快速發(fā)展時(shí)期.

3.1 解析幾何的開端

1607年，笛卡兒在《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書附錄《幾何》中，從四線軌跡出發(fā)，通過比例關(guān)系推出了橢圓方程(33)Smith.E.D&Martha L.The geometry of Rene′Descartes[M]. New York: Dover Publications.Inc，1954：59-63.笛卡兒受韋達(dá)等學(xué)者代數(shù)符號(hào)體系的影響，率先將代數(shù)符號(hào)引入到坐標(biāo)當(dāng)中，其推導(dǎo)橢圓方程過程如下：

如圖4，設(shè)AB、AD、EF、GH是給定的四條直線，已知CB·CF=CD·CH(四線軌跡的性質(zhì))，求C的軌跡.

圖4

笛卡兒取AB為橫軸，A為原點(diǎn)，設(shè)AB=x，BC=y,可得如下的比例AB:BR=z:b,CR:CD=z:c，AK=k,BE:BS=z:d，CS:CF=z:e,AG=l,BG:BT=z:f，其中b,c,d,e,f,l,k,z為常數(shù).通過比例的相關(guān)計(jì)算得：

再將上述式子代入CB·CF=CD·CH中，可推導(dǎo)出一個(gè)代數(shù)形式的軌跡方程：

可驗(yàn)證，該四線軌跡是橢圓.

同一時(shí)期，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中，從橢圓的基本性質(zhì)出發(fā)，采用韋達(dá)等學(xué)者的代數(shù)符號(hào)，推導(dǎo)證明了表示橢圓的方程，其過程大致如下(34)Struck.D. J. A Source Book in Mathematics. 1200-1800[M].Princeton: Princeton University Press，1986：148-150:

如圖5，設(shè)OA=OA′=b，ON=x,PN=y，PN垂直O(jiān)A(注：PN和OA可垂直也可不垂直，而費(fèi)馬一般采用的是垂直)，則A′N=b+xAN=b-x.

圖5

笛卡兒在推導(dǎo)橢圓方程過程中，采用的是斜坐標(biāo)系思想.坐標(biāo)系只有一條坐標(biāo)軸(橫軸)，用于度量第二個(gè)未知量Y的線段,并沒有明確說明是縱軸，它與橫軸也不一定垂直，但在雙曲線推導(dǎo)過程中，笛卡兒采用的是直角坐標(biāo)系(35)Ruth M Tapper.coordinates in the histrory of mathematics[J]. Peoria:school science and mathematics，1929(7)：742—743.而費(fèi)馬在推導(dǎo)橢圓方程過程中，更多地采用直角坐標(biāo)系.笛卡兒和費(fèi)馬對(duì)于坐標(biāo)的認(rèn)識(shí)還局限為正數(shù).

符號(hào)化是邁向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的關(guān)鍵一步.笛卡兒和費(fèi)馬在坐標(biāo)描述中引進(jìn)現(xiàn)代符號(hào)，建立斜坐標(biāo)系或直角坐標(biāo)系，利用一對(duì)線段長x和y確定點(diǎn)的位置，求得橢圓的軌跡方程.在正數(shù)情況下，一對(duì)線段長和一對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)是可以相互確定的，所以，一對(duì)線段長x和y確定點(diǎn)的位置就相當(dāng)于用實(shí)數(shù)對(duì)(X,Y)確定點(diǎn)的位置.另外，笛卡兒用坐標(biāo)概念把方程看為平面曲線，再以曲線圖解代數(shù)方程；費(fèi)馬用韋達(dá)的符號(hào)研究二次方程，既把圓錐曲線看為圓錐的平截線，也看為平面軌跡，同時(shí)又看為二次方程的圖象.這已經(jīng)含有用實(shí)數(shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置，曲線與方程對(duì)應(yīng)的解析幾何的基本思想.由此，笛卡兒和費(fèi)馬也因此被稱為解析幾何的創(chuàng)始人.

3.2 橢圓方程的第一定義

荷蘭數(shù)學(xué)家讓·德·威特在其《曲線基礎(chǔ)》(1646,該書被譽(yù)為歷史上第一部解析幾何教材)中給出了兩類橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(37)Boyer. C. B. History of Analytic Geometry[M]. New York:Scripta Mathematica，1956：114-117:

但未發(fā)現(xiàn)方程中常數(shù)f、l/g代表的幾何意義,并總結(jié)出任何有兩個(gè)變量的二次方程都可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式的其中一個(gè).

讓·德·威特還證明了命題:平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，即橢圓的第一定義.以此為基礎(chǔ)，后來的數(shù)學(xué)家用不同的方法推導(dǎo)出了橢圓的方程.

3.3 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形成

法國數(shù)學(xué)家居西尼(Guisnee，16？～1718)第一次使用了直角坐標(biāo)系，在《代數(shù)在幾何中的應(yīng)用》(1705)中，以橢圓的中心和左頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，均建立了直角坐標(biāo)系，用a,b來表示有心曲線的長、短半軸，在圓錐上利用幾何法推導(dǎo)出了橢圓的方程(38)Guisnee. N. Application de I′Algebre à la Geometrie[M]. J. Bourdot et J. Quillau, 1705： 71-72.

法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)(L.Hospital,1661～1704)在《圓錐曲線分析》(去世后整理出版，1720)(39)L'Hospital. M.de. Traité Analytique des Sections Coniques[M].Paris: Montalant,1720：22-25中，利用橢圓的第一定義，引入?yún)?shù)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，推導(dǎo)出了橢圓的方程，在推導(dǎo)過程中還引入了焦半徑.同時(shí)，他把橢圓方程的推導(dǎo)放在了平面上，以橢圓中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將兩種橢圓方程的形式進(jìn)行了轉(zhuǎn)化(長軸和短軸為已知條件的橢圓方程、長軸和通徑為已知條件的橢圓方程).

英國數(shù)學(xué)家斯蒂爾(R.Steel)在其《圓錐曲線論》(1745)中，在平面上仍然采用橢圓的第一定義，采用余弦定理方法推導(dǎo)出了橢圓方程(40)Steell. R. A Treatise of Conic Sections[M]. London: St John's Gate, 1745：16-18.

在居西尼、洛必達(dá)和斯蒂爾的關(guān)于橢圓方程的推導(dǎo)中，和笛卡兒和費(fèi)馬一樣，均采用x，y對(duì)應(yīng)線段，只使用單一坐標(biāo)軸(橫軸X軸)，也沒有使用縱橫負(fù)坐標(biāo).沃利斯是有意識(shí)地引進(jìn)負(fù)向橫坐標(biāo)的第一人(41)Boyer.C. B. History of Analytic Geometry[M]. New York:Scripta Mathematica,1956：110-114.而英國數(shù)學(xué)家牛頓(Newton，1642～1727)在他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(光學(xué)篇)(1687)中，進(jìn)一步運(yùn)用了縱向負(fù)坐標(biāo)(42)白尚恕.圓錐曲線小史[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1964(4)：36-41.雖然歐拉(Leonhard Euler ，1707～1783)等人偶然也用過Y軸，但是瑞士數(shù)學(xué)家克拉美(Gabriel Cramer,1704-1752)在《代數(shù)曲線分析引論》(1750)中才正式引入縱軸Y軸(43)梁宗巨.世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編 [M].沈陽：遼寧人民出版社,1980:201.

英國數(shù)學(xué)家賴特(J.M.F.Wright)在《圓錐曲線與其他曲線的代數(shù)體系》(1836)中，在平面內(nèi)采用橢圓的第一定義，他運(yùn)用直角坐標(biāo)系，用實(shí)數(shù)對(duì)表示坐標(biāo)位置，標(biāo)準(zhǔn)地使用了橫縱向的正負(fù)坐標(biāo)，利用“平方差法”推導(dǎo)出了現(xiàn)在的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式(44)Wright.J. M. F. An Algebraic System of Conic Sections &other curves[M]. London: Black & Amstrong, 1836：94-99.

圖6

如圖6，設(shè)橢圓的中心為O，左右、上下頂點(diǎn)分別A,B,C,D，左右焦點(diǎn)為S,H,|AB|=2a，焦距|SH|=2E.由SP+PH=2a，

又SP2=SM2+PM2=(E+x)2+y2， ①

HP2=HM2+PM2=(E-x)2+y2，②

①-②得SP2-HP2=4Ex

=(SP+PH)(SP-PH)=2a(2SP-2a)，

=E2-2Ex+x2+y2，

至此，坐標(biāo)體系已經(jīng)基本完成，能夠標(biāo)準(zhǔn)地建立直角坐標(biāo)系，并用實(shí)數(shù)對(duì)表示坐標(biāo)位置，標(biāo)準(zhǔn)地使用橫向和縱向的正負(fù)坐標(biāo)，推導(dǎo)圓錐曲線的方程和性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，橢圓方程也完成了文字?jǐn)⑹龅椒?hào)表達(dá)的現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)形式的演變過程.

18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉建立了完備的圓錐曲線理論.他在《分析引論》(1748)中，系統(tǒng)地建立了直角坐標(biāo)、斜坐標(biāo)及極坐標(biāo)的概念，給出了坐標(biāo)的變換公式和轉(zhuǎn)軸公式.19世紀(jì)中葉，各種坐標(biāo)制的建立，又把圓錐曲線的理論推進(jìn)了一步.19世紀(jì)末，受分析學(xué)的影響，圓錐曲線在理論發(fā)展上達(dá)到高峰，在實(shí)際應(yīng)用中也得到了充分利用.

圓錐曲線學(xué)在明末第一次輸入中國，與當(dāng)時(shí)的歷法書籍有關(guān)(45)白尚恕.圓錐曲線小史[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1964(4)：36-41.清中葉第二次輸入，比較有影響的是李善蘭和偉烈亞力合譯的《代微積拾級(jí)》(1859)，書名中的“代”，指的就是“解析幾何”.謝洪賚，潘慎文翻譯的《代形合參》(1893)，是中國第一本全面、系統(tǒng)介紹西方解析幾何學(xué)的教科書，其內(nèi)容包括平面與立體解析幾何.清末廢科舉興學(xué)堂后，解析幾何成為新學(xué)的必修科目(46)欽定學(xué)堂章程.1902(47)奏定等學(xué)堂章程.1904.解析幾何首先進(jìn)入大學(xué)課堂，如1907年兩江師范學(xué)堂就開設(shè)了解析幾何課程(48)蘇云峰.三(兩)江師范學(xué)堂——南京大學(xué)的前身(1903-1911)[M].南京：南京大學(xué)出版社,2002：45，1922年才開始全面進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教科書.之后，圓錐曲線得到了廣泛地流傳.民國時(shí)期商務(wù)印書館、中華書局等出版了更多的自編或翻譯的解析幾何教科書.直至如今，以圓錐曲線為主要內(nèi)容的解析幾何，仍然是高中數(shù)學(xué)的必修科目，其方程和坐標(biāo)的歷史，體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，具有豐富的教育價(jià)值.