陳元章

康奈爾大學應用數(shù)學系名譽教授史蒂夫·斯托加茨在他的著作中寫道：“知道如何抓住問題的關鍵矛盾，而把次要的情況通過理想化的假設盡量簡化，這個過程叫作‘數(shù)學建模?！笔紫?，基于數(shù)學建模，優(yōu)化課堂練習可以讓學生有更多的自主學習空間和時間，有助于獨立思考和獨立學習；其次，基于數(shù)學建模，優(yōu)化課堂練習有助于教師在有效的時間內，引領學生體驗重難點的突破過程和知識的應用過程，提高教學效率；再者，基于數(shù)學建模，優(yōu)化課堂練習可以促進學生的發(fā)展，讓學生在練中悟，從而自主學習、合作討論、建立模型、辨析理解、自我反思。

目前，學生和教師對待課堂練習的方式值得商榷。一方面，學生對課堂練習的態(tài)度不積極，審題能力尚待提高，無法與相應的數(shù)學模型建立聯(lián)系。另一方面，教師忽視了對練習編排意圖的思考，練習的難易程度、橫縱對比、層次性不明顯，形式缺乏多樣化，且與學生的生活存在差異性，阻礙了學生建立模型的過程。如何基于數(shù)學建模，提高課堂練習的有效性？筆者將以人教版七年級數(shù)學《二元一次方程組（第一課時）》為例，淺析如何基于數(shù)學建模優(yōu)化課堂練習。

一、基于數(shù)學建模，精確學習目標

數(shù)學建模是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，是學生用數(shù)學的眼光觀察實際問題、用數(shù)學知識解決實際問題的重要思想。因此，在設計和編排課堂練習時，筆者以滲透“數(shù)學建模”為前提，精確學生的學習目標，圍繞“數(shù)學建?！?，設計相應課堂練習。

初一學生處于初小銜接過渡階段，學習需要被動學習過渡到主動學習。優(yōu)化練習設計，首先要引導學生有目標地學習。為培養(yǎng)學生的“數(shù)學建?！彼枷?，筆者在設置和編排《二元一次方程組（第一課時）》的學案時，在目標中直接提出“數(shù)學建?！?，讓學生明確除了掌握基礎知識和基本技能這一認知目標外，還需有意識地思考“什么是數(shù)學建?！薄皵?shù)學建模的方法是什么”“數(shù)學建模有什么用”等問題，激發(fā)學生的求知欲。

【學習目標】1.認識并會判斷二元一次方程（組）的“模型”；2.能根據(jù)實際問題，建立方程（組）“模型”；3.經(jīng)歷用數(shù)學語言描述問題的過程，提高數(shù)學建模能力。

著名心理學家布魯姆把學生的認知狀態(tài)和情感特征作為學習的前提條件，其中的情感特征，就是“學生學習新的學習任務的動機”。學生的學習目標不僅在于基礎知識和基本技能，更是在于基本思想和基本活動經(jīng)驗。學生的認知目標中始終具有情感的成分，而學習動機是學生情感成分中的重要成分之一，是推動學生學習的內在動力。在練習前，讓學生知悉整節(jié)課的練習目標和每道題的設計意圖，喚醒學生對知識技能和數(shù)學建模的學習期待，提高學生學習興趣的同時，引起學生的有意注意，間接地提升了每一道課堂練習的有效性。

二、基于數(shù)學建模，精煉知識儲備

卡爾·雅斯貝爾斯說過：“教育就是一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂?！闭n堂練習的教學也可以做到“喚醒”，喚醒學生曾有的知識儲備，喚醒學生曾經(jīng)掌握的數(shù)學模型。學生曾在學習一元一次方程時，經(jīng)歷過將實際問題進行數(shù)學抽象的過程，能用符號語言表達簡單的數(shù)學關系。因此，筆者直接借助課本章頭語中的情境作為練習，先調取學生對于一元一次方程的知識儲備，再通過“一題多解”的方式，引入二元一次方程（組）的學習。

【知識儲備】在學?；@球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分。某隊在10場比賽中得到16分，那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少？

解：設________。則__________（列式即可）。

上述含有未知數(shù)的等式叫______；方程中只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫______。關于x、y的方程：x+y=8是不是一元一次方程？

思考：上述問題還可以如何設未知數(shù)？

解：設________。則________。（列式即可）。像這樣的“模型”，叫做_____。

歸納：方程組中有___個未知數(shù)，還有每個未知數(shù)的項的次數(shù)都是___，并且一共有___個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組。

將教材例題作為練習，讓學生在練習中“溫故”，類比遷移，從而“知新”?；趯W生的認知起點，在知識增長點處設計練習，有助于學生充分調動大腦中的知識儲備，將“教”教材轉化為“用”教材，既保證了練習的科學性，又保證了學生作業(yè)的規(guī)范性。此外，通過變式可以將情境轉化為與學生更加貼近的生活問題，如小組積分問題、桌椅配套問題等。

學生原有的認知結構決定著新的知識的輸入、理解和接納，對學習結果及其以后學習都有重大的影響。所以，練習優(yōu)化時，筆者關注知識間的銜接，從現(xiàn)實生活情境出發(fā)，設置具體化問題，讓學生一邊完成練習，一邊經(jīng)歷“實際問題—數(shù)學模型”的過程，培養(yǎng)學生在實際情境中從數(shù)學的視角分析問題，建立模型。

三、基于數(shù)學建模，精設分層練習

通過自主探究，學生認識了基本模型后，還需要相應的練習鞏固對模型的認識。德國教育家赫爾巴特在他的著作《教育學講授綱要》中提出：“不能強迫學生接受太多的練習，練習量應以學生能輕松完成為宜。”堅持練習的精練性，要做到“以一當十”“以少勝多”，學生能舉一反三，觸類旁通。筆者節(jié)選“二元一次方程”這一知識點的部分練習，圍繞“數(shù)學建模”，設置分層練習。

【分層練習】把一根長18 m的繩子裁成2 m和3 m長兩種規(guī)格的繩子，怎樣截不造成浪費？

（1）看到這個問題，你聯(lián)想到什么“模型”？

解：設_________。列式：_________。

（2）方程2x+3y=18的解（）

A援只有一個B.只有兩個

C.只有三個D.有無數(shù)個

（3）在實際意義下，繩子可以怎樣截不造成浪費？請寫出所有裁剪方案。

在“裁剪繩子”的情境下，從實際問題抽象到數(shù)學模型，再通過練習讓學生在數(shù)學模型中思考“該二元一次方程的解”是有限個還是無限個，難度逐步增大。最后再回歸實際意義，引導學生進一步思考未知數(shù)的取值范圍，培養(yǎng)學生思考問題的嚴謹性。練習難度循序漸進，學生在解決層層難題時，經(jīng)歷“建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結果”的建模過程。

布魯姆提出“學生具備從事每一個新的學習任務所需的認知條件越充分，他們對該學科的學習就越積極”。關注練習的層次性，特別是知識間的縱向練習，在同一情境或者同一條件下，問題層層鋪墊，讓學生在解決問題的同時，內化相應的數(shù)學模型，豐富了對本課學習任務所需的認知條件，讓學生對本課的學習更具信心。

四、基于數(shù)學建模，精簡課堂檢測

建構主義指導下的教學提出，每一學習任務結束時進行形成性評價測驗，目的在于了解學生已經(jīng)學到了些什么，哪些知識理解有誤，還需要學些什么內容才能達到掌握水平，從而進行矯正，為學生提供相關知識復習的建議。筆者設計的課堂練習中還包括課堂檢測練習，練習量根據(jù)課堂知識容量會有所調整，測試和講評的總時間控制在5耀8分鐘。通過本課的學習，學生基本形成二元一次方程（組）的“模型”，因此可以設計具有代表性的練習進行檢測。

【課堂檢測】已知長方形的周長為24cm。看到這個問題，你聯(lián)想到什么“模型”？

解：設___________。列式：_______。

追問1：小明說：“8 cm和4 cm分別是長方形的長與寬”，小亮說：“14cm與10cm分別是長方形的長與寬”。誰的說法正確？

追問2：若長與寬相差3 cm，則可以得到方程組：_____________。

對于同一情境，問題設置多樣，考查了學生對二元一次方程、方程的解、二元一次方程組等基礎知識的掌握情況，以基礎為主，樹立學生學習自信心，滲透了“檢驗結果、改進模型”的建模過程，為最終解決實際問題鋪墊。課堂檢測還可以通過“一題多解”或“多題一解”的形式呈現(xiàn)，讓學生在對比辨析中，展示自我的數(shù)學知識、過程與方法的掌握程度。課堂檢測意在及時反饋學生對知識的掌握情況，因此課堂檢測的練習可以借助互聯(lián)網(wǎng)，以智慧教學平臺為載體，通過計算機后臺整理學生的答題情況，從而高效、有針對性地進行講評。

五、基于數(shù)學建模，精選綜合拓展

在課堂練習的最后，筆者注意到課堂知識的延伸?；诙淮畏匠蹋ńM）的“模型”，為學生精選了兩道綜合拓展題：“雞兔同籠”經(jīng)典問題，讓學生感悟二元一次方程組的文化價值；“配套問題”，讓學生認識二元一次方程組在生活中的應用。既滲透了數(shù)學文化，又涵蓋了數(shù)學在現(xiàn)代工業(yè)的運用。

【綜合拓展】1.古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞兔各幾只？”這一經(jīng)典問題，讓你想到什么數(shù)學“模型”？試著建立模型，并解決問題。

2.某服裝廠生產(chǎn)一批秋衣，已知某匹布料，每2 m長的可以做3個衣身或5只衣袖。現(xiàn)有132 m這種布料，應如何分配布料，才能使做好的衣身和衣袖恰好配套？（不考慮布料的損耗）

在《x的奇幻之旅》一書中，史蒂夫教授提到“當各個領域的科學家把數(shù)學應用到各種實際問題中的時候，他們都一定會完成這個‘數(shù)學建模的過程?！币虼?，結合生活實際問題、時事熱點、自然科學等學生感興趣的領域設計拓展練習，既重視了練習的綜合性———新舊知識的“疊加”運用，將各個知識點“串成珠，結成網(wǎng)”，形成知識體系，又重視了練習的多樣性———“問法”多樣化，情境多樣化，文化多元化。與此同時，初步培養(yǎng)學生的建模意識和建模的基本方法。

《義務教育數(shù)學新課程標準》指出：“學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程?！被跀?shù)學建模，優(yōu)化課堂練習，學生可以通過練習的引導，有目標、有方向地自學，在練習中經(jīng)歷“知其然，知其所以然，知其何以用”的過程。在課堂練習優(yōu)化的實施過程中，學生與教師都取得了收獲，對課堂練習也有一些更深入的思考。

在基本掌握建模思想后，對于課堂練習中的某一情境問題，能否加入更多的假設或非理想環(huán)境下的其他因素，讓學生作為數(shù)學綜合實踐，經(jīng)歷“建立模型—確定參數(shù)—計算求解—檢驗結果—改進模型”的過程。讓初中生在課上和課余時間，盡可能經(jīng)歷數(shù)學建模的完整過程，從而得到“最接近實際”的方案，讓學生進一步感悟數(shù)學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養(yǎng)。此外，能否借助日益發(fā)展的信息技術平臺，進一步提高課堂中練習的反饋效率，如電子書包的錯題收集、智慧平臺的大數(shù)據(jù)統(tǒng)計等。筆者將在今后的實踐中進一步探索。

【本文系福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2018年度課題《基于提升數(shù)學建模素養(yǎng)的實踐研究》（立項批準號：FJJKXB-19-461）研究成果】