任紅玉 程國(guó)忠

【摘要】本文結(jié)合課本例題的求解，通過一系列的深入思考，幫助學(xué)生更好地理解拋物線焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 例題;拋物線;焦點(diǎn)弦;數(shù)形結(jié)合;核心素養(yǎng)

課本中例題教學(xué)的目的絕不僅僅是教會(huì)學(xué)生例題本身的解答，而是要通過挖掘例題中豐富的內(nèi)涵以及對(duì)例題的再創(chuàng)造，引發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.教師引導(dǎo)學(xué)生在思考過程中，通過數(shù)形結(jié)合的思想方法建立數(shù)與形的聯(lián)系，借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明化、形象化，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，與學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)和總結(jié)性質(zhì)，讓學(xué)生了解到性質(zhì)的來龍去脈，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例1 （人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1P69例題的一般形式）斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).

解析 方法一：求出直線l的方程后與拋物線的方程聯(lián)立，求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可以求出|AB|.

方法二：如圖1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），過A作AA′⊥準(zhǔn)線于A′，過B作BB′⊥準(zhǔn)線于B′.由拋物線的第二定義得：AF=AA′=x1+p2.同理BF=BB′=x2+p2.于是得：|AB|=AF+BF=x1+x2+p.

思考1 在方法一中若將直線l的斜率用tan θ來表示（θ是直線的傾斜角），則

當(dāng)θ≠π2時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ycot θ+p2，由x=ycot θ+p2，y2=2px 得y2-2pycot θ-p2=0，由韋達(dá)定理得：y1+y2=2pcot θ，y1·y2=-p2，故|AB|= 1+cot2θy1-y2=2psin 2θ，且S△AOB=12OFy1-y2=p22sin θ，于是有：

性質(zhì)1 x1x2=p24，y1y2=-p2.

性質(zhì)2 |AB|=2psin 2θ.

性質(zhì)3 S△AOB=p22sin θ.

思考2 因?yàn)锳F=x1+p2，所以以AF為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為AF的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為x12+p4，y12，所以圓心到y(tǒng)軸的距離為x12+p4=12AF，得出性質(zhì)4.

性質(zhì)4 以焦半徑AF為直徑的圓與y軸相切，以焦半徑BF為直徑的圓與y軸相切.

思考3 過F作FZ⊥AA′于Z（如圖1），有|AZ|=|AF|cos θ，即 AF=AZ+A′Z=AFcos θ+p，得AF=p1-cos θ，同理得BF=p1+cos θ.

性質(zhì)5 AF=p1-cos θ，BF=p1+cos θ.

思考4 若焦比AFBF=1+cos θ1-cos θ=γ，則cos θ=γ-1γ+1，故sin θ=2γγ+1，tan θ=k=2γγ-1，所以有|AB|=2psin 2θ=p2γ+1γ2，S△AOB=p22sin θ=p24γ+1γ.于是得出性質(zhì)6.

性質(zhì)6 若AFBF=γ（γ>1），則：

①k=2γγ-1;

②|AB|=p2γ+1γ2;

③S△AOB=p24γ+1γ.

例2 （人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1P70）過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.

解析 以拋物線y2=2px為例，求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為yD=-p2y1=yB，即得證.（點(diǎn)D與點(diǎn)B′重合，如圖2）

性質(zhì)7 A，O，B′三點(diǎn)共線，B，O，A′三點(diǎn)共線.

思考5 因?yàn)閗OA=2py1，kOB=2py2，所以kOA·kOB=2py1·2py2=4p2y1y2=4p2-p2=-4，得出性質(zhì)8.

性質(zhì)8 kOA·kOB=-4.

思考6 連接A′F，B′F.因?yàn)锳′-p2，y1，B′-p2，y2，所以A′F=（p，-y1），B′F=（p，-y2），即A′F·B′F=p2+y1y2=0，則A′F⊥B′F，從而可得出性質(zhì)9.

性質(zhì)9 以A′B′為直徑的圓與AB相切于點(diǎn)F.

【變式】過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線的交點(diǎn)為M′，如圖3，則直線MM′∥x軸.

解析 同樣以拋物線y2=2px為例，易知直線AM′：y1y=px+y212，直線BM′：y2y=px+y222，兩直線聯(lián)立得M′點(diǎn)坐標(biāo)為-p2，y1+y22，因?yàn)镸點(diǎn)的縱坐標(biāo)也為y1+y22，所以MM′∥x軸.（如圖3）

思考7 因?yàn)镸′的橫坐標(biāo)為-p2，所以點(diǎn)M′在拋物線的準(zhǔn)線上，得出性質(zhì)10.

性質(zhì)10 過拋物線上兩點(diǎn)A，B作拋物線的切線相交于M′，若M′在準(zhǔn)線上，則直線AB必過拋物線的焦點(diǎn)F.（反之，過拋物線上兩點(diǎn)A，B作拋物線的切線相交于M′，若直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F，則M′在拋物線的準(zhǔn)線上）

思考8 因?yàn)镸′的縱坐標(biāo)為y1+y22，所以點(diǎn)M′是線段A′B′的中點(diǎn)，即MM′是梯形AA′B′B的中位線，如圖3，則MM′=AA′+|BB′|2=AF+|BF|2=|AB|2，得出性質(zhì)11.

性質(zhì)11 以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且切點(diǎn)為M′.

思考9 以AB為直徑的圓的直徑AB所對(duì)的圓周角為90°，則∠AM′B=90°，即AM′⊥BM′.

性質(zhì)12 過拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)A，B的兩切線垂直.

思考10 連接M′F，F(xiàn)M′=-p，y1+y22，AB=y222p-y212p，y2-y1=y2+y1y2-y12p，y2-y1，則有FM′·AB=0，即M′F⊥AB，得出性質(zhì)13.

性質(zhì)13 以AM′為直徑的圓必過焦點(diǎn)F，以BM′為直徑的圓必過焦點(diǎn)F.

思考11 連接A′F，B′F，kAM′=p（y1-y2）p2+y21=py1，kA′F=-y1p，則kAM′·kA′F=-1，同理kBM′·kB′F=-1，即AM′⊥A′F，BM′⊥B′F，得出性質(zhì)14.

性質(zhì)14 A，F(xiàn)，M′，A′四點(diǎn)共圓，B，F(xiàn)，M′，B′四點(diǎn)共圓.

思考12 直線AM′的方程為y=py1x+y12，且直線A′F的方程為y=-y1px+y12，即AM′與A′F的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為0，y12;同理，BM′與B′F的交點(diǎn)S的坐標(biāo)為0，y22.得出性質(zhì)15.

性質(zhì)15 AM′，y軸，A′F三線共點(diǎn)于R，且R平分A′F和OA″A″是AA′與y軸的交點(diǎn)）.BM′，y軸，B′F三線共點(diǎn)于S，且S平分B′F和OB″B″是BB′與y軸的交點(diǎn)）.

思考13 因?yàn)閗AM′=py1，kB′F=-y2p=py1，所以 AM′∥B′F，即M′R∥SF，同理M′S∥RF，則四邊形M′SFR是平行四邊形，又AM′⊥A′F，所以四邊形M′SFR是矩形.

性質(zhì)16 AM′∥B′F、BM′∥A′F，且四邊形M′SFR是矩形.