周斌

三角形在中考中的考點，從內(nèi)部來看，包括等腰三角形、直角三角形以及與三角形有關(guān)的線段;從外部來看，包括三角形的全等、相似以及三角形與其他圖形的關(guān)系。在中考中，三角形往往與這些知識結(jié)合在一起考查。

一、三角形與四邊形

例1 （2020·甘肅天水）如圖1，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，若DF=3，則BE的長為。

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和等量代換可得∠GAE=∠FAE，進而可根據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE，可得GE=EF。設(shè)BE=x，則CE與EF可用含x的代數(shù)式表示，然后在Rt△ECF中，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即得答案。

解：∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，

∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，

∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠BAE+∠BAG=45°，

即∠GAE=45°，

∴∠GAE=∠FAE。

又∵AE=AE，AG=AF，

∴△GAE≌△FAE（SAS），

∴GE=EF。

設(shè)BE=x，則CE=6-x，

EF=GE=DF+BE=3+x。

∵DF=3，∴CF=3。

在Rt△ECF中，由勾股定理，得

CE2+FC2=EF2，

即（6-x）2+32=（x+3）2，

解得x=2，

即BE=2。

故答案為2。

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，屬于常考題型。熟練掌握上述基本知識、靈活應(yīng)用方程思想是解題的關(guān)鍵。

二、三角形與圓

例2 （2020·貴州安順）如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點O是圓心，點D、E分別在邊AC、AB上，若DA=EB，則∠DOE的度數(shù)是度。

【分析】本題可通過構(gòu)造輔助線，利用垂徑定理證明角相等，繼而利用SAS證明三角形全等，最后根據(jù)角的互換，結(jié)合同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求解。

解：連接OA、OB，作OH⊥AC、OM⊥AB，垂足分別為H、M，如圖3所示。

∵在等邊三角形ABC中，OH⊥AC，OM⊥AB，

由垂徑定理，得AH=AM。

又∵OA=OA，

∴△OAH≌△OAM（HL），

∴∠OAH=∠OAM。

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠OAD=∠OBE。

又∵AD=EB，

∴△ODA≌△OEB（SAS），

∴∠DOA=∠EOB，

∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB。

又∵∠C=60°，

∴∠AOB=120°。

即∠DOE=120°。

故答案為120。

【點評】本題考查了圓與等邊三角形的綜合運用，需要根據(jù)等角的互換將所求問題進行轉(zhuǎn)化。構(gòu)造輔助線是本題的難點。全等以及垂徑定理的應(yīng)用在圓的綜合題中極為常見，圓心角、弧、圓周角的相互關(guān)系需熟練掌握。

（作者單位：江蘇省宿遷市中小學(xué)教學(xué)研究室）