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        形散神聚:一道課本例題的變式

        2021-05-14 12:25:42康敏
        初中生世界·九年級(jí) 2021年4期

        康敏

        數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)是固定的,但是數(shù)學(xué)問題是千變?nèi)f化的,怎樣快速解決問題,這就需要找準(zhǔn)題目的突破口。如:全等三角形是通過圖形的運(yùn)動(dòng)——平移、翻折、旋轉(zhuǎn),形狀、大小不變,位置發(fā)生變化;相似三角形就是大小改變,其他類比全等三角形。所以證明三角形全等或相似的關(guān)鍵是通過已知條件找尋哪兩個(gè)三角形通過怎樣的運(yùn)動(dòng)而來。今天我們就來研究旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成的全等三角形。

        原題呈現(xiàn) (蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第15頁例題)已知:如圖1,AB、CD相交于點(diǎn)E,且E是AB、CD的中點(diǎn)。求證:△AEC≌△BED。

        【解析】本題考查的是全等三角形的證明。觀察圖形,我們首先發(fā)現(xiàn)對(duì)頂角相等(∠AEC=∠BED),即點(diǎn)E與自身是對(duì)應(yīng)關(guān)系;再由已知條件“E是AB、CD的中點(diǎn)”,得到AE=BE,CE=DE,從而運(yùn)用“邊角邊”證明出三角形全等。

        【總結(jié)】本題從運(yùn)動(dòng)的角度可以看作是△AEC繞著點(diǎn)E順時(shí)針(或逆時(shí)針)旋轉(zhuǎn)180°得到的△BED,這樣就明確了兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。通過看圖直接得到一組角相等,再由已知條件得到所需要的兩組邊對(duì)應(yīng)相等,這樣滿足兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等,從而證明出結(jié)論。

        本題將圖形旋轉(zhuǎn)180°是很特殊的角度,若旋轉(zhuǎn)的是其他角度呢?

        變式1 如圖2,等腰Rt△ABC、等腰Rt△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,連接AE與BD相交于點(diǎn)F,求AE與BD的關(guān)系。

        【解析】我們可以先猜測(cè)AE=BD,然后倒推它們所在的三角形是否全等。AE與BD所在的三角形分別是△AEC與△BDC,由等腰三角形的兩腰相等,得AC=BC,EC=DC。而第三組邊相等是要證明的,那么只能找兩邊的夾角。由∠ACB=∠ECD=90°,運(yùn)用等式的性質(zhì),兩邊同時(shí)加上公共角∠BCE,得出∠ACE=∠BCD,運(yùn)用“邊角邊”得到△AEC≌△BDC,得AE=BD。由全等還可得∠AEC=∠BDC,再由對(duì)頂角相等得∠BGE=∠CGD,運(yùn)用三角形內(nèi)角和公式求出∠EFG+∠AEC+∠BGE=180°,∠DCG+∠BDC+∠CGD=180°,從而求出∠EFG=∠ECD=90°,所以AE⊥BD。

        【總結(jié)】本題從運(yùn)動(dòng)的角度可以看作是△ACE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△BCD。題目所給的直接條件是兩組對(duì)應(yīng)邊分別相等,再證明兩邊的夾角也相等就可以證明三角形全等,從而得出AE與BD的兩種關(guān)系:數(shù)量關(guān)系是相等,位置關(guān)系是垂直。從動(dòng)態(tài)的角度再次變化,題目不變,如圖3。思路同上,與變式1的區(qū)別在于,由∠ACB=∠ECD,運(yùn)用等式的性質(zhì),兩邊同時(shí)減去公共角∠BCE,求出∠ACE=∠BCD。

        如果把等腰直角三角形換為等邊三角形又會(huì)如何?

        變式2 如圖4,△ABD、△ACE都是等邊三角形,DC、BE相交于點(diǎn)P,求∠EPC的度數(shù)。

        【解析】從題目的已知條件中能獲得哪些信息?等邊三角形三條邊相等,三個(gè)角都是60°。那么從圖形上觀察,有沒有三角形全等?有了前兩題的經(jīng)驗(yàn),我們能發(fā)現(xiàn)△DAC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE,從而可證得∠DCA=∠BEA。這兩個(gè)角又可放在成“8字形”的△PCM與△AEM中,由∠PMC=∠AME和三角形內(nèi)角和定理,等量代換后得出∠EPC=∠EAC=60°。

        變式3 如圖5,在正方形ABCD與正方形AEFG中,連接DE、BG相交于點(diǎn)P,問DE與BG的關(guān)系,并說明理由。

        【解析】由四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形,可以得到BA=DA,GA=EA,∠BAD=∠GAE=90°。DE與BG分別是△DEA與△BGA的邊,那么我們就能發(fā)現(xiàn)△BGA繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEA,證出△BGA≌△DEA,得出DE=BG,再類比前幾題的證明得出DE⊥BG即可。

        變式4 如圖6,在菱形ABCD與菱形AEFG中,∠BAD=∠EAG=70°,連接DE、BG相交于點(diǎn)P,求∠BPD的度數(shù)。

        【解析】由四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形,可以得到BA=DA,GA=EA。由∠BAD=∠EAG=70°,本題就可以看作是△BGA繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°得到的△DEA。然后只需要說明∠BAG=∠DAE,就能證明△BGA≌△DEA,最終求出∠BPD=70°。

        【總結(jié)】這幾題考查的知識(shí)點(diǎn)類似,都是通過觀察找尋三角形是經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換得出另一個(gè)三角形。而具體要證哪兩個(gè)三角形全等,則通過條件求出兩組邊對(duì)應(yīng)相等且所夾的角也相等即可。

        (作者單位:江蘇省宿遷市宿豫區(qū)第一初級(jí)中學(xué))

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