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        積分因子的一種直接求解方法

        2021-05-07 09:24:52韓偉棟沈建和
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年2期
        關(guān)鍵詞:定義方法

        韓偉棟, 沈建和

        (福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,福州350007)

        1 引 言

        可積性是微分方程和動力系統(tǒng)領(lǐng)域古老而重要的研究課題.微分方程的可積性,可用于揭示動力系統(tǒng)的軌道族及其分類,與物理的能量守恒、幾何的等能量曲面和曲線等課題緊密相關(guān).

        積分因子和逆積分因子是可積性研究中的重要概念.歐拉曾試圖用積分因子完全解決一階常微分方程的求解問題[1].實際上,有關(guān)積分因子和逆積分因子的計算,至今仍是一個十分困難的問題.其原因眾所周知:積分因子和逆積分因子的控制方程為偏微分方程,難以求解.所以,有關(guān)積分因子和逆積分因子的計算,通常要么針對具有特殊結(jié)構(gòu)的微分方程,要么是求某些特殊形式的積分因子和逆積分因子.Cairó和Llibre[2]針對二維Lotka-Volterra(多項式)系統(tǒng)

        研究了該系統(tǒng)的多項式首次積分和多項式逆積分因子的存在和計算問題.文獻[3]針對形式如下的擬多項式常微分方程

        研究了逆積分因子存在的充要條件,這里an(x)和bn(x)為連續(xù)可微函數(shù).針對二維常微分方程組,文獻[4]考慮具有更高維數(shù)的常微分方程組,給出了用于確定積分因子的偏微分方程組.文獻[5-6]研究高階線性常系數(shù)微分方程,給出了基于積分因子的求解方法,并與通常的特征值解法比較.文獻[7]針對可分離變量的微分方程,分積分因子只與x或只與y有關(guān)兩種的情況,討論了積分因子的求解問題.

        本文的目的是:通過有限次的變量替換并利用求導(dǎo)的鏈式法則,提出一種基于可分離變量微分方程的積分因子的直接求解方法.本方法的優(yōu)點是:積分因子的求解,有直接計算的流程.具體而言,對于一階常微分方程,只要其可以經(jīng)過有限次的變量變換化為可分離變量的微分方程,那么它的積分因子和通積分,均可直接計算求出.

        本文結(jié)構(gòu)安排如下:第一節(jié)為引言;第二節(jié)給出可積性、積分因子、逆積分因子和變量分離微分方程等基本概念;第三節(jié)是本文的主要結(jié)論及其證明;最后一節(jié)是本文的結(jié)論.

        2 基本概念

        考慮一階常微分方程

        A(x,y)dx-B(x,y)dy=0,

        (1)

        或與之等價的二維向量場

        (2)

        定義1[9]稱方程(1)、(2)為可積,如果存在區(qū)域D?×上的連續(xù)可微函數(shù)H(x,y)使得

        DH(x,y)=Hx(x,y)B(x,y)+Hy(x,y)A(x,y)=0,

        并稱H(x,y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

        定義2[9]考慮區(qū)域D?×上的連續(xù)可微函數(shù)U(x,y)和H(x,y),使得

        DH(x,y)=U(x,y)A(x,y)dx-U(x,y)B(x,y)dy,

        則稱U(x,y)為積分因子,H(x,y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

        顯然,積分因子U(x,y)滿足如下偏微分方程:

        (U(x,y)B(x,y))x=-(U(x,y)A(x,y))y,

        U(Ay+Bx)+UyA+UxB=0.

        定義3[8]考慮區(qū)域D?×上的連續(xù)可微函數(shù)V(x,y)(非零)和H(x,y),使得

        則稱V(x,y)為逆積分因子,H(x,y)≡C為方程(1)、(2)的首次積分(通積分).

        顯然,逆積分因子V(x,y)滿足如下偏微分方程:

        V-1(Bx+Ay)=VxB+VyA.

        定義4[9]形如

        (3)

        這里,f(x)和φ(y)分別是x和y的連續(xù)函數(shù),稱方程(3)為變量分離方程.

        3 主要結(jié)果

        定理1變量分離方程必然是恰當方程.

        定理2若一階常微分方程(1)可經(jīng)非線性變量替換u=T(x,y),化為變量分離方程

        f(x)dx+g(u)du=0,

        那么,積分因子U(x,y)可由下式確定

        (4)

        進而通積分同樣可得.

        證乘上非零的積分因子U(x,y)后,一階常微分方程(1)變?yōu)?/p>

        U(x,y)A(x,y)dx-U(x,y)B(x,y)dy=0,

        (5)

        此時,方程(5)已為恰當方程.

        設(shè)引入如下的變量替換

        u=T(x,y),

        (6)

        將方程(1)化為變量分離微分方程

        f(x)dx+g(u)du=0.

        (7)

        記方程(5)和(7)的首次積分(通積分)分別為H(x,y)和H(x,u),那么有

        Hy(x,y)=-U(x,y)B(x,y),Hu(x,u)=g(u).

        進一步地,利用求導(dǎo)的鏈式法則有

        Hy(x,y)=Hu(x,u)uy|u=T(x,y),

        從而根據(jù)下式

        可以求出積分因子U(x,y),證畢.

        注1 定理2的結(jié)果及其證明,均只涉及一次的變量替換;實際上,有限次的變量替換同樣可得.

        例1設(shè)函數(shù)f(u)和g(u)連續(xù)可微且f(u)≠g(u),證明方程

        yf(xy)dx+xg(xy)dy=0

        (8)

        有積分因子

        證由定理2,記積分因子為U(x,y),那么

        yU(x,y)f(xy)dx+xU(x,y)g(xy)dy=0

        已為恰當方程.

        令u=T(x,y)=xy,在該變換之下,方程(8)可以化為

        根據(jù)定理2的公式(4)知

        即可得積分因子

        例2當xM+yN≠0時,求齊次微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子U(x,y).

        證記積分因子為U(x,y),那么

        U(x,y)M(x,y)dx+U(x,y)N(x,y)dy=0

        已為恰當方程.

        另一方面,因為

        則原方程可以化為

        從而

        根據(jù)定理2的公式(4)知

        從而積分因子可直接計算得

        例3如果M,N是m次齊次函數(shù),則方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子為

        證記積分因子為U(x,y),那么

        U(x,y)M(x,y)dx+U(x,y)N(x,y)dy=0

        已為恰當方程.

        從而,原方程化為

        M(x,ux)dx+N(x,ux)[udx+xdu]=[xmM(1,u)+uxmN(1,u)]dx+xm+1N(1,u)du=0.

        兩邊同乘上

        則方程可進一步轉(zhuǎn)化為變量分離方程

        因此

        進而如下的積分因子可得

        例4求解方程M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0的積分因子U(x,y).

        解設(shè)積分因子為U(x,y),那么

        U(x,y)M(x)N(y)dx+U(x,y)P(x)Q(y)dy=0

        已為恰當方程.

        另一方面,原方程可以化為

        可得其通解

        進而

        從而積分因子為

        例5求解方程x2y3dx+x4y3dy=0的積分因子U(x,y).

        解設(shè)積分因子為U(x,y),那么

        U(x,y)x2y3dx+U(x,y)x4y3dy=0

        已為恰當方程.

        另一方面,令u=xy,從而原方程化為

        此時,上述方程的通積分為

        根據(jù)定理2的公式(4)知

        從而積分因子為

        4 結(jié) 論

        (i) 本文針對一階常微分方程,只要其通過有限次的變量替換可化為變量分離微分方程,筆者的方法均可以直接計算出積分因子,進而計算得到首次積分(通積分);

        (ii) 本文的方法,可以部分解決既跟x有關(guān)、又跟y有關(guān)的積分因子的求解問題(只要方程可通過有限次變量替換,化為變量分離微分方程);

        (iii) 最后指出的是:本文的方法具有可以直接計算的屬性,非大量文獻中的驗證性的結(jié)果.

        致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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