江蘇省南京市棲霞中學 胡黨琴

現(xiàn)階段的教學重點正在逐漸由能力培養(yǎng)轉(zhuǎn)向素養(yǎng)培養(yǎng)。 運用換元思想是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要方法，從思維上可以培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，使學生能把握數(shù)學問題的本質(zhì)；從方法上可以培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)，引導學生簡化運算；從換元簡化過程中可以培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，使學生能在換元后建立新的模型解決問題。此外，利用換元法處理函數(shù)問題，可以借助數(shù)形結(jié)合的方法培養(yǎng)學生的直觀想象和數(shù)學抽象素養(yǎng)。

實際解決函數(shù)問題時，換元法有著廣泛的應用，它是將函數(shù)的圖像變換為另一種函數(shù)形式，通過換元法將函數(shù)圖像變得簡單而又直觀，學生可以從換元之后的函數(shù)圖像中直觀地把握問題的本質(zhì)，從而更方便地解決問題，這體現(xiàn)了數(shù)學知識的邏輯性與數(shù)學運算的靈活性。

注：首先將條件式根據(jù)x+2y 的形式化簡，然后觀察化簡的結(jié)果。讀者會發(fā)現(xiàn)，簡單換元之后，可以將條件式轉(zhuǎn)化成橢圓的形式，利用橢圓的性質(zhì)容易找到在何時取得最值，從而得出結(jié)果。

結(jié)合圖1 對比（虛線為函數(shù)平移后的圖像，實線為題中圖像）：

圖1

例3:（2014 年南開大學自主招生）設P 為曲線2x2-5xy+2y2=1上的動點，求點P 到原點距離的最小值。

圖2

圖3

題目的條件是曲線，求最小值的過程中無法利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，通過換元法，將條件式變成我們熟悉的曲線，然后將目標式進行化簡，不難發(fā)現(xiàn)，可以利用基本不等式快速解決問題。 此外，從上面的換元過程來看，換元可以將一個二元二次方程化簡成我們所熟悉的曲線，利用曲線的性質(zhì)來解答問題。化陌生為熟悉，再解決問題，這就要求學生具備一定的創(chuàng)新能力、靈活的邏輯思維以及對數(shù)學學習的探究和鉆研精神。換元后的坐標系里，條件式與目標式均是一個標準形式的圓錐曲線方程，在坐標系上一目了然，進而可以在坐標系中解決問題。

大多數(shù)學生在做題的時候，遇到形式復雜的題目往往束手無策，究其原因，命題人的出題意圖是考查多個知識點，進而對題目進行改造，用以迷惑學生。 在實際解題中，如果學生能夠主動構(gòu)建知識網(wǎng)絡，洞悉知識點的內(nèi)在聯(lián)系，把握題目的本質(zhì)，則能夠以簡馭繁，使數(shù)學運算更簡潔，最終水到渠成地解答問題。