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        平均數(shù)計(jì)算中的幾種誤解

        2021-05-06 15:39:36黃發(fā)勝
        關(guān)鍵詞:誤解計(jì)算平均數(shù)

        黃發(fā)勝

        【摘要】平均數(shù)計(jì)算是中小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)、最基本的計(jì)算,是每個(gè)學(xué)生都必須牢固掌握的計(jì)算,但在實(shí)際教學(xué)中,學(xué)生在解有關(guān)平均數(shù)的計(jì)算題時(shí)卻常常出現(xiàn)錯(cuò)誤.本文收集了一些常見(jiàn)錯(cuò)誤題型,詳細(xì)分析了錯(cuò)誤原因,并形成理論知識(shí),定義了三種平均數(shù),給出了計(jì)算公式,以便于師生應(yīng)用推廣.

        【關(guān)鍵詞】平均數(shù);計(jì)算;誤解

        平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要概念.在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中,統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)在小學(xué)教材中零散出現(xiàn),到初中數(shù)學(xué)中才系統(tǒng)地呈現(xiàn).作為統(tǒng)計(jì)學(xué)中最基礎(chǔ)的平均數(shù),其定義及計(jì)算也是逐漸擴(kuò)展的.小學(xué)數(shù)學(xué)里所講的平均數(shù)一般是指算術(shù)平均數(shù),也就是一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商.在統(tǒng)計(jì)中,算術(shù)平均數(shù)通常反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),它是描述數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,用來(lái)反映一組數(shù)據(jù)的“重心”.平均數(shù)有直觀、簡(jiǎn)明的特點(diǎn),可以反映出一組數(shù)據(jù)最直觀的分布情況,所以在日常生活中使用廣泛,如平均成績(jī)、平均質(zhì)量、平均身高等.

        [JP2]在小學(xué)數(shù)學(xué)中,把兩個(gè)數(shù)的和除以2后所得的數(shù)叫作這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),這一定義一直延續(xù)到初三.在初三“統(tǒng)計(jì)初步”一章中,把兩個(gè)數(shù)x1,x2的平均數(shù)定義為x-=12(x1+x2),[JP]推廣后得到n個(gè)數(shù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)為x-=1n(x1+x2+…+xn).簡(jiǎn)而言之,小學(xué)到初中,求平均數(shù)的方法是:幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的和再除以幾.然而正是這種傳統(tǒng)的習(xí)慣求法,導(dǎo)致學(xué)生不具體分析問(wèn)題,機(jī)械地亂套公式,這不利于培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力.下面我們通過(guò)幾個(gè)例子分析學(xué)生在平均數(shù)計(jì)算中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤及產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因.

        一、計(jì)算平均數(shù)的實(shí)例

        例1 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的產(chǎn)值,去年比前年增長(zhǎng)20%,今年又比去年增長(zhǎng)30%,問(wèn):這兩年的平均增長(zhǎng)率是多少?

        例2 有一不等臂天平,把某一物體置于左盤,稱得質(zhì)量為1千克;把此物體置于右盤,稱得質(zhì)量為0.81千克,求此物體的實(shí)際質(zhì)量.

        例3 某同學(xué)騎自行車從家去縣城,去時(shí)速度為10千米/時(shí),返回時(shí)速度為20千米/時(shí),求此同學(xué)往返的平均速度.

        二、平均數(shù)計(jì)算中常見(jiàn)的誤解

        上面三例都是平均數(shù)計(jì)算問(wèn)題,例2雖沒(méi)提出計(jì)算平均質(zhì)量,但根據(jù)有關(guān)物理知識(shí)可知,也是求平均數(shù)問(wèn)題.受傳統(tǒng)平均數(shù)概念的影響,學(xué)生出現(xiàn)了下面解法.

        例1 平均增長(zhǎng)率x-=12×(20%+30%)=25%.

        例2 實(shí)際質(zhì)量m=12×(1+0.81)=0.905(千克).

        例3 平均速度v=12×(10+20)=15(千米/時(shí)).

        三、上面三例的正確解法及推廣

        對(duì)待任何問(wèn)題都要具體分析,抓住問(wèn)題的主要矛盾.這一原理反映在數(shù)學(xué)上就是要弄清題意,抓住問(wèn)題涉及的定理或定義,從而找到解決問(wèn)題的方法.下面我們把提出的問(wèn)題加以討論,得出一般性的結(jié)論.

        1.若去年的增長(zhǎng)率為a,今年的增長(zhǎng)率為b,設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率為x.

        把前年的產(chǎn)值看作“1”,則去年產(chǎn)值為1+a,今年的產(chǎn)值為(1+a)(1+b).又因?yàn)槟昶骄鲩L(zhǎng)率為x,故今年產(chǎn)值為(1+x)2.于是有方程:

        五、平均數(shù)計(jì)算中的錯(cuò)誤辨析

        1.例1中,錯(cuò)誤解法為:x-=20%+30%2=25%,現(xiàn)在分析一下產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因:

        ① 兩次增長(zhǎng)的百分率不能簡(jiǎn)單地相加,由于增長(zhǎng)前后每年的基數(shù)不同,即今年比前年的增長(zhǎng)率不是20%+30%=50%,而是(1+20%)(1+30%)-1=56%.

        ② 平均增長(zhǎng)率也不能用增長(zhǎng)率除以2計(jì)算,即50%÷2=25%是錯(cuò)誤的,且56%÷2=28%也是錯(cuò)誤的,由公式(1) 知:1+x是1+a與1+b的幾何平均數(shù),而幾何平均數(shù)根本不需除以2,故正確解為:

        x=(1+20%)(1+30%)-1≈24.9%.

        ③ 囿于習(xí)慣算法,誤把幾何平均數(shù)問(wèn)題當(dāng)成算術(shù)平均數(shù)問(wèn)題,因而出現(xiàn)理論性錯(cuò)誤.

        2.例2中,錯(cuò)誤解法為m=1+0.812=0.905(千克),產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因有以下幾點(diǎn):

        ① 沒(méi)有抓住問(wèn)題的關(guān)鍵——杠桿平衡原理,是產(chǎn)生錯(cuò)誤的根本原因.

        ② 對(duì)物理課本中的論述“多次測(cè)量取平均值,這樣可減小誤差,使測(cè)量結(jié)果更接近真實(shí)值”沒(méi)有理解透徹,而錯(cuò)誤地把兩次測(cè)得的值的平均值當(dāng)成真實(shí)值.

        ③ 本題求的是幾何平均值,正確的結(jié)果是m=m1m2=0.9(千克),即使算術(shù)平均數(shù)也巧合為0.9千克,理論上仍是錯(cuò)誤的.

        3.例3中求平均速度出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是:

        ① 對(duì)平均速度概念不理解是產(chǎn)生錯(cuò)誤的根本原因.平均速度=總路程/總時(shí)間,而不等于來(lái)去速度的算術(shù)平均值.

        ② 對(duì)“平均”片面的、習(xí)慣的理解是產(chǎn)生錯(cuò)誤的另一個(gè)原因,根據(jù)公式(4),本題的平均速度v是v1與v2的調(diào)和平均數(shù),

        即v=2110+120=403(千米/時(shí)),難怪v=10+202=15(千米/時(shí))錯(cuò)了.

        從上面分析的結(jié)果看,產(chǎn)生誤解的一個(gè)重要原因是:沒(méi)有對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析,囿于習(xí)慣定式,思維狹隘,亂套公式.因此,我們?cè)诮虒W(xué)中要更加注重培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,適當(dāng)擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面,如引入幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的概念,這樣學(xué)生就不會(huì)把平均數(shù)簡(jiǎn)單理解為算術(shù)平均數(shù),既可防止平均數(shù)計(jì)算中出現(xiàn)類似錯(cuò)誤,又能培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力,推動(dòng)素質(zhì)教育的發(fā)展.

        六、平均數(shù)計(jì)算中出現(xiàn)誤區(qū)的原因分析

        1.在平均數(shù)概念界定上的誤區(qū)

        現(xiàn)在仍然有不少學(xué)生認(rèn)為“平均數(shù)”就是“算術(shù)平均數(shù)”,把平均數(shù)計(jì)算程序化、機(jī)械化.造成這個(gè)局面的原因既有教師教的原因,如沒(méi)有把概念講透或沒(méi)有對(duì)比不同類型的平均數(shù)計(jì)算,也有學(xué)生不認(rèn)真學(xué)習(xí)的原因,如對(duì)概念理解粗糙.

        2.相關(guān)學(xué)科知識(shí)重點(diǎn)的理解偏移

        雖然平均數(shù)計(jì)算已經(jīng)不是教學(xué)中的難點(diǎn),但如果學(xué)生對(duì)各學(xué)科中相應(yīng)知識(shí)的理解不夠,如物理學(xué)中的平均速度、平均質(zhì)量,統(tǒng)計(jì)學(xué)中的增長(zhǎng)率問(wèn)題等,他們?nèi)匀粫?huì)把理解的重點(diǎn)放在算術(shù)平均數(shù)的概念上,把相應(yīng)學(xué)科中的概念理解偏了,比如平均速度是指在一段時(shí)間內(nèi)通過(guò)的總距離除以總時(shí)間,而不能理解成幾個(gè)速度的平均值.

        3.對(duì)“平均數(shù)的求法”只顧算法,沒(méi)有方法

        關(guān)于平均數(shù)的求法,大多數(shù)學(xué)生死套公式,不做具體分析,大部分教師在課堂上只講解題模式,為后面的平均數(shù)應(yīng)用題服務(wù).這就造成一個(gè)學(xué)習(xí)理解的誤區(qū),學(xué)生只是想如何套用老師講的解題模型,而不是探究怎樣得出解決這個(gè)問(wèn)題的方法,因此常常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤解法.

        七、平均數(shù)計(jì)算拓展練習(xí)

        1.某廠1月份產(chǎn)值為12萬(wàn)元,2月份比1月份增長(zhǎng)10%,3月份又比2月份增長(zhǎng)14%,求每月的平均增長(zhǎng)率.

        2.有一個(gè)杠桿(支點(diǎn)固定),當(dāng)從左端下壓撬起一重物時(shí),用100牛的力,從右端下壓撬起同一重物時(shí),用900牛的力,問(wèn):這一物體的質(zhì)量是多少?

        3.某市舉報(bào)中心的信件處理員每天都要處理一定量的信件,已知處理員小李第一天處理信件的速度為6封/時(shí),第二天處理的速度為12封/時(shí),問(wèn):小李這兩天平均的處理速度是多少?

        4.“十一”長(zhǎng)假期間,小李一家從天水出發(fā)到蘭州去旅游,前一半路上的速度為40千米/時(shí),后一半路上的速度為60千米/時(shí),試問(wèn):整段路上的平均速度是多少?

        5.如果一個(gè)正方形與一個(gè)矩形的面積相等,那么正方形的邊長(zhǎng)是矩形長(zhǎng)與寬的什么平均數(shù)?

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