文|張永輝

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中關(guān)于空間觀念的描述是：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形等。這段文字中，強(qiáng)調(diào)了一種轉(zhuǎn)換——二維與三維的轉(zhuǎn)換，指出了一些關(guān)鍵詞——抽象、想象、描述。因此，在教學(xué)中突出空間觀念的培養(yǎng)要在轉(zhuǎn)換、抽象、想象、描述等方面用力。由于這些學(xué)習(xí)行為的落實(shí)（思維能力的培養(yǎng)），對(duì)小學(xué)生而言都是有難度的，對(duì)教師教學(xué)而言也極具挑戰(zhàn)性，因此這也成了圖形與幾何教學(xué)研究的難點(diǎn)。分解“難點(diǎn)”，用包含多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目既能調(diào)動(dòng)起學(xué)生的興趣，又能幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解、完善其知識(shí)結(jié)構(gòu)，此時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念、提升思維能力就顯得尤為必要。針對(duì)“空間觀念培養(yǎng)難”的問題，我們著重在六年級(jí)“圖形的變換”方面進(jìn)行了嘗試，通過對(duì)習(xí)題的改編，學(xué)生課堂上興致盎然、思維活躍、解題方法多樣，取得了良好的效果。

【習(xí)題設(shè)計(jì)的理念】

學(xué)生已經(jīng)分別在四年級(jí)、五年級(jí)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)三種不同的圖形運(yùn)動(dòng)，因知識(shí)點(diǎn)分布零散，學(xué)生對(duì)知識(shí)聯(lián)系的認(rèn)識(shí)不夠，對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)也不能很好地進(jìn)行完善。翻看《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，一道題目引起了我們的關(guān)注。

簡(jiǎn)單有趣的素材，學(xué)生一定會(huì)喜歡。以拼圖將圖畫還原的形式，對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)進(jìn)行練習(xí)，對(duì)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成和空間觀念的培養(yǎng)都很有幫助。于是我們對(duì)此題的教學(xué)展開了討論：習(xí)題說(shuō)明中，只要求使用平移和旋轉(zhuǎn)，那么把當(dāng)前學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)全部納入，是不是更合理，也更容易完善相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)？原題中打亂的有兩張圖片，怎樣更好地引導(dǎo)學(xué)生饒有興致的進(jìn)行還原呢？在運(yùn)用多種方式進(jìn)行還原的過程中，怎么更好地利用這道題幫助學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)并加以內(nèi)化，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念？……討論中教學(xué)方向逐漸明晰，實(shí)踐中更覺網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)讓看不見的空間觀念清晰可見。

一、習(xí)題素材便于網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)

的知識(shí)回顧，引發(fā)主動(dòng)想象

師：同學(xué)們，我們對(duì)圖形的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)不陌生了。你還記得我們都學(xué)過了哪些關(guān)于圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)嗎？

生：平移。

生：旋轉(zhuǎn)。

生：軸對(duì)稱。

師：（出示下圖左）你看到了什么？

生：笑臉！

師：是啊，完整的笑臉我們都愿意看到。這個(gè)笑臉由四塊積木組成?，F(xiàn)在它有兩塊積木被打亂了（出示上圖右）。1 號(hào)要回到原來(lái)的位置，可以怎么運(yùn)動(dòng)呢？

生：平移兩格。

師：平移要關(guān)注方向和距離。

師：還有別的方法嗎？

生：還可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。

（請(qǐng)學(xué)生詳細(xì)講解并演示，強(qiáng)調(diào)中心點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度）

師：除了這兩種方法，你有其他方法嗎？

學(xué)生想不出，教師引導(dǎo)還可以通過軸對(duì)稱還原。課件演示還原過程。

這道題，學(xué)習(xí)素材是“笑臉拼圖”。笑臉學(xué)生見過，拼圖學(xué)生玩過，圖形又很簡(jiǎn)單，學(xué)生比較喜歡，后續(xù)的環(huán)節(jié)也是針對(duì)這個(gè)笑臉展開設(shè)計(jì)，增強(qiáng)了探究的趣味性，為想象提供了有效的支撐。在還原1 號(hào)的過程中，學(xué)生通過觀察和想象，感受到了還原同一圖形的不同運(yùn)動(dòng)方式，完成了對(duì)已知關(guān)于“圖形的運(yùn)動(dòng)”的知識(shí)點(diǎn)的回顧。

選擇貼近學(xué)生空間認(rèn)知基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)素材，挖掘普通素材中適合學(xué)生觀察、操作和想象的元素，有助于學(xué)生在頭腦中建立圖形的模型，有效喚起學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶，促使學(xué)生在腦海中初步形成知識(shí)點(diǎn)的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，加深對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用，促進(jìn)空間想象能力的發(fā)展，培養(yǎng)空間觀念。

二、教學(xué)手段便于網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的知識(shí)運(yùn)用，促使有效想象

師：2 號(hào)要回到原來(lái)的位置，可以怎么運(yùn)動(dòng)？

（學(xué)生僅憑觀察，難以直接回答，放手讓學(xué)生借助材料進(jìn)行操作和探究，然后組織反饋）

生：2 號(hào)方塊原地旋轉(zhuǎn)，然后向左平移2 格，再向下平移1 格。

生：我是把2 號(hào)圖形向下平移1 格，再向左平移1 格，再沿左側(cè)線軸對(duì)稱1 次，就還原成功了。

生：我是先向左平移2 格，再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

師：你說(shuō)的是哪個(gè)點(diǎn)？

［請(qǐng)學(xué)生演示，其他學(xué)生觀察、想象，進(jìn)行確認(rèn)。針對(duì)學(xué)生講不清的那個(gè)“點(diǎn)”，引導(dǎo)用“數(shù)對(duì)”來(lái)說(shuō)明會(huì)更簡(jiǎn)潔明了，如（2，3）］

……

師：看來(lái)同學(xué)們都想到了很多方法進(jìn)行還原。那一起做個(gè)游戲吧。（出示計(jì)分規(guī)則）先計(jì)算一下你剛才的還原方法得了幾分？

（學(xué)生計(jì)算分值，然后統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)?；旧鲜? 分或4 分）

師：都是3 分或4 分，那2 分或1 分能還原嗎？（出示：用分最少者為勝）

（學(xué)生再次借助材料進(jìn)行操作和探究，然后組織交流）

生：2 號(hào)繞（3，3）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，再繞（2，3）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，我這樣是2 分。

師：想象一下，這位同學(xué)的幾個(gè)步驟，能否成功還原？

（其他學(xué)生想象，教師適時(shí)實(shí)物演示支撐，確認(rèn)2 分成功）

生：先繞（3，3）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，然后再繞（2，3）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，也是2 分。

生：我發(fā)現(xiàn)同一個(gè)圖形，繞同一個(gè)點(diǎn)順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，結(jié)果是一樣的。

師：大家再關(guān)注這個(gè)圖形，繞（3，3）向兩個(gè)方向旋轉(zhuǎn)180°，想象一下，結(jié)果是怎樣的？

生：我們是以哪條斜線為對(duì)稱軸進(jìn)行1 次軸對(duì)稱后，再旋轉(zhuǎn)的，也是2 分。

［學(xué)生黑板前點(diǎn)出對(duì)稱軸，即數(shù)對(duì)（4，2）和（2，4）的連線］

師：同學(xué)們，想象一下，沿這條線軸對(duì)稱變換，會(huì)怎么樣？再旋轉(zhuǎn)呢？

生：我們是兩次軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)還原的。先以2 號(hào)的左側(cè)線為軸，軸對(duì)稱1 次，再以（3，2）和（1，4）的連線為軸，軸對(duì)稱1 次，就成功了，2 分。

……

師：笑臉圖已經(jīng)恢復(fù)正常了，現(xiàn)在如果讓你任選其中的一塊拼圖打亂位置，你打算放到哪里？它又可以怎樣還原呢？

（引導(dǎo)全班學(xué)生觀察拼圖，要求僅憑想象，思考它還原的步驟和方法，然后組織交流）

重點(diǎn)環(huán)節(jié)的整個(gè)教學(xué)活動(dòng)，都圍繞“2 號(hào)要回到原來(lái)的位置，可以怎么運(yùn)動(dòng)？”這個(gè)問題展開，在學(xué)生最初交流還原方法和后來(lái)交流2 分還原方法的過程中，教師不斷地用觀察、操作、想象的教學(xué)手段進(jìn)行強(qiáng)化，引導(dǎo)學(xué)生不斷地用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)方式來(lái)完成圖形還原。觀察、操作、想象有機(jī)結(jié)合，教具、學(xué)具、課件合理支撐，教學(xué)手段的豐富多樣，直觀、生動(dòng)、形象地突出教學(xué)重點(diǎn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生多種感官協(xié)同活動(dòng)有利于構(gòu)造直觀支撐想象，使學(xué)生在運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)知識(shí)將2 號(hào)還原的過程中，不知不覺已經(jīng)將知識(shí)點(diǎn)逐漸進(jìn)行了網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的融合與運(yùn)用，逐步提升空間觀念，思維也實(shí)現(xiàn)了從具象到抽象的過渡。

三、學(xué)習(xí)要求便于網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的知識(shí)形成，引領(lǐng)能力遞增

針對(duì)這題的教學(xué)，幾次學(xué)習(xí)活動(dòng)都有明確的要求：

第一次是1 號(hào)圖形要回到原來(lái)的位置，除了平移，還可以怎么運(yùn)動(dòng)？學(xué)生想象后進(jìn)行交流，使學(xué)生初步感受可以靈活地選擇不同的運(yùn)動(dòng)去還原圖形。

第二次是2 號(hào)圖形如何以2分實(shí)現(xiàn)還原？學(xué)生操作后，教師組織交流，但在交流時(shí)都是先讓其他學(xué)生根據(jù)語(yǔ)言的描述進(jìn)行想象，然后再以操作、演示來(lái)驗(yàn)證。

第三次是任意打亂一塊拼圖的還原，教師不提供任何學(xué)具操作，要求學(xué)生依托想象在腦海中進(jìn)行還原。

教學(xué)過程中，不同的學(xué)習(xí)要求，對(duì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力、思維能力以及想象能力的發(fā)展都是不同的。層層遞進(jìn)式的學(xué)習(xí)要求，使學(xué)生便于網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的知識(shí)形成，從而引領(lǐng)能力的遞增。

從第一次要求借助觀察、操作等進(jìn)行想象再還原（直觀支撐），到第二次操作后交流時(shí)根據(jù)語(yǔ)言描述進(jìn)行想象還原（半支撐），到第三次完全依托想象進(jìn)行還原（脫離支撐），學(xué)習(xí)要求拾級(jí)而上，但每一次的要求，學(xué)生是在不斷地強(qiáng)化和運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱這些圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)。在這個(gè)過程中，學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)逐步形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，并內(nèi)化為解決問題的個(gè)體行為，空間觀念也逐步發(fā)展。尤其是最后，在脫離學(xué)具操作的情況下，鼓勵(lì)學(xué)生憑空想象，在大腦中構(gòu)建圖形還原的運(yùn)動(dòng)過程，通過語(yǔ)言描述分享，集體想象驗(yàn)證，達(dá)到了最終提升學(xué)生的空間觀念的教學(xué)目標(biāo)。

【習(xí)題使用后的感想】

從感知到認(rèn)識(shí)，再到領(lǐng)悟，結(jié)構(gòu)化習(xí)題搭建起學(xué)生理解的橋梁，讓學(xué)生的思維有可以依附的思考鏈，降低學(xué)習(xí)難度的同時(shí)，提升學(xué)習(xí)的有效性。結(jié)構(gòu)化習(xí)題，是應(yīng)和學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維腳步的遞進(jìn)式練習(xí)，讓學(xué)生在有限的練習(xí)過程中，建構(gòu)起自己的思維結(jié)構(gòu)、知識(shí)體系。通過一張“笑臉”的變化，演繹出結(jié)構(gòu)化的練習(xí)方式，是我們?cè)诳臻g觀念教學(xué)過程中的探索，也是我們運(yùn)用結(jié)構(gòu)化思維引導(dǎo)學(xué)生空間觀念的成功案例，讓我們對(duì)結(jié)構(gòu)化練習(xí)的應(yīng)用有了更加堅(jiān)定的信念。

布魯納指出，不論我們教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！敖Y(jié)構(gòu)化習(xí)題”，就是在幫助學(xué)生完善知識(shí)體系構(gòu)建的過程中，將某個(gè)知識(shí)點(diǎn)拓寬、延展或?qū)⒍鄠€(gè)知識(shí)點(diǎn)融合加以運(yùn)用，讓學(xué)生加深理解知識(shí)的同時(shí)，完善對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的同化和順應(yīng)。教學(xué)與其說(shuō)是單純地掌握知識(shí)和技巧，不如說(shuō)是教授學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，除了本身包含的知識(shí)、技能等元素還有各個(gè)構(gòu)成元素之間的聯(lián)系，而主動(dòng)地建構(gòu)這種聯(lián)系，就是形成高階的結(jié)構(gòu)化思維的重要表征。對(duì)于學(xué)習(xí)過程中知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，通過“結(jié)構(gòu)化習(xí)題”的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移、分析、概括，引導(dǎo)和幫助學(xué)生用“點(diǎn)”的鏈接逐漸自主完善和建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。