文|方義倫

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第75、76 頁。

【教學目的】

1.在探索三角形特征的過程中，掌握三角形的特征，會畫三角形底邊上的高，并能運用所學知識解決有關實際問題。

2.在觀察、探索、交流等活動中，培養(yǎng)學生觀察、抽象、概括的能力，發(fā)展其數(shù)學思維。

3.感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，進一步激發(fā)學生的學習興趣。

【教學重點】掌握三角形的特征，會畫指定邊上的高。

【教學難點】畫不同底邊上的高。

【教學過程】

一、在經歷過程中理解三角形的概念

1.聯(lián)系生活，初步感知三角形。

師：新中國成立以來，發(fā)生了翻天覆地的變化，2018年10月24日正式通車的港珠澳大橋，連接香港、廣東珠海和澳門。它就是中國國家綜合國力體現(xiàn)的標志性建筑。在這座大橋上就有我們今天要學習的老朋友——三角形。你能從圖中找出來嗎？指給你的同桌看一看。（出示圖片，教師指名學生上臺指一指）

師：生活中還有哪些地方見過三角形？（學生自由發(fā)言）

師：老師也找了一些生活中的三角形，一起來欣賞一下。為什么生活中有這么多三角形？看來這位老朋友身上有許多的奧秘需要我們一起去研究。從今天起，我們一起再次認識這位老朋友。（板書課題）

【設計意圖：本課從欣賞港珠澳大橋開始，培養(yǎng)學生的民族自豪感。同時在這樣偉大的建筑中去發(fā)現(xiàn)三角形，體會三角形的重要性。學生指一指大橋中的三角形、說一說生活中的三角形以及教師給出補充的三角形素材，喚醒了學生內心深處三角形的表象，為后面理解三角形的概念做好了認知上的鋪墊?！?/p>

2.對比辨析，掌握三角形的內涵。

師：同學們想一想三角形在你的心目中是什么樣子的？想好了在作業(yè)紙上畫一畫。

師：你們畫得非常好，老師也想畫一畫。誰來告訴我該怎么畫？

生：先畫三個點，再畫三條線。

師：是這樣嗎？（如圖1）

圖1

生：不對！三條線必須是直的。

師：直直的線。我們認識了直線、射線和線段，你指的是什么？

生：三條線段。

師：大家同意嗎？老師把它記下來。（板書：三條線段）

師：是這樣嗎？（如圖2）

圖2

生：不對，應該是連起來的。第三條線段必須和第一條線段連起來。

（教師指名學生上臺指一指）

生：線段有兩個端點，第一條線段的一個端點和第二條線段的一個端點相連，第二條線段的另一個端點和第三條線段的一個端點連起來，第三條線段的另一個端點和第一條的另一個端點連起來。

師：我明白你的意思了。你是說每條線段的兩個端點分別是首和尾，第一條線段的尾點與第二條線段的首點連在一起，第二條線段的尾點與第三條線段的首點連在一起，第三條線段的尾點必須與第一條線段的首點連在一起。三條線段就這樣圍起來，是嗎？（全班同意）數(shù)學上我們稱為“首尾相接”。（教師板書）

師：現(xiàn)在你能說一說什么樣的圖形才叫三角形嗎？

生：三條線段首尾相接圍成的圖形叫做三角形。

（教師根據學生的發(fā)言完成板書，并再次指名說一說和同桌互說）

師：這里有一些圖形，哪些是三角形？哪些不是？為什么？

【設計意圖：學生對于三角形的描述表達方式是多樣的，而每種不同的表達體現(xiàn)了學生的幾何思維水平。學生一開始能夠根據生活中的三角形的表象用圖形語言畫出一個三角形，說明學生的思維停留在直觀認識階段，他們還無法真正理解三角形的內涵。通過學生教老師畫三角形，用學生畫出的正例和教師“故意”畫出的反例，讓學生自主辨析，充分認知三角形的兩個重要內涵：三條線段和首尾相接，并且引導學生用精準的文字語言進行表達，從而讓學生的幾何思維發(fā)展水平達到了描述、分析階段，最后讓學生用三角形的概念去進行判斷，用數(shù)學眼光進行分析，固化了學生描述、分析的思維發(fā)展水平?！?/p>

3.觀察總結，歸納三角形的特征。

師：認識一個圖形，還得知道它各部分的名稱（指著圖形）：圍成三角形的三條線段稱為三角形的邊，線段的端點稱為三角形的頂點，一個頂點和兩條邊形成三角形的一個角（手勢遮擋）?，F(xiàn)在請在你的三角形中標出邊、頂點、角，并且說一說有多少邊、頂點和角。

（學生獨立完成后上臺指一指、說一說）

（教師板書：三角形有3 條邊、3 個角和3 個頂點）

師：每條線段有2 個端點，三條線段不是應該有6 個頂點嗎？

生：應該有6 個頂點，但是三條線段首尾相連，每2 個端點會重合在一起，所以只有3 個頂點。

師：三角形有3 個頂點，那么是不是任意3 個點都能畫出一個三角形？方格紙中有4 個點（分別標上A、B、C、D），任選3 個作為頂點，都能畫一個三角形嗎？試一試，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學生根據自己的操作發(fā)現(xiàn)B、C、D 在一條直線上不能畫出一個三角形：其他不在一條直線上的任意三個點都能畫出三角形）【設計意圖：在初中數(shù)學教材中，三角形被定義為“不在同一條直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結所組成的圖形”。這一定義比小學數(shù)學教材給出的定義更加嚴密，強調了“不在同一條直線上”這個前提條件。如何讓小學生也能夠意識到這點呢？學生通過親自動手操作實驗、畫一畫，能夠感受到并且將這種體會清楚地表達出來。這樣的認識說明學生的思維稍微涉及到形成抽象的思維發(fā)展水平，即能夠用文字語言完整地區(qū)分概念的必要條件和前提條件。】

二、直觀抽象，理解三角形的底和高

1.從具體實物認識生活中高的內涵。

師：（出示人字梁的建筑物圖片，圖略）這是建筑物上經常使用到的人字梁，它能夠承載更重的物體，保證屋頂?shù)陌踩?。剛剛從人字梁上我們認識了老朋友——三角形，工人師傅想知道圖中人字梁的高度。應該量哪條線段呢？同桌互相在學習材料上指一指，說一說理由。

生：（上臺指一指）應該是這條線段，因為這個點最高，所以從這里開始。

師：有道理。最高的這個點在三角形中就是頂點。（板書：一個頂點）

師：（指著斜邊）為什么這條線段不行？

生：這里不是90°，說明這條邊和下面的邊不是互相垂直。

師：人字梁的高度不僅需要從最高點出發(fā)，還得符合一個什么條件？

生：從最高點出發(fā)的線段和這條線段互相垂直，是90°才可以。

師：這條線段就是這個頂點的對邊。什么樣的線段才能表示人字梁的高度呢？

生：當然是中間這條線段，因為它符合兩個條件，一個是從最高點出發(fā)，一個是對邊的垂直線段。

師：人字梁的高度就是從它最上面的頂點到對邊的垂直線段。那這條線段是不是垂直于這條邊，請同學們用三角尺驗證一下。

（通過三角尺比一比，發(fā)現(xiàn)是90°，說明這條線段完全符合兩個條件，就是人字梁的高度。通過測量得出是2 厘米）

（教師將人字梁外框中的三角形抽象出來）

2.在幾何圖形中表達數(shù)學意義上高的內涵。

師：你能嘗試著畫出三角形的高嗎？

（學生畫完之后，教師在學生的“引導下”，先找到最高的頂點和對邊，再用三角板畫出經過頂點的對邊的垂直線段，最后標出垂直標志）

師：（課件隱去三角形另外兩條邊）你們有沒有發(fā)現(xiàn)這條線段就是之前我們學過的什么內容？

生：過直線外一點畫直線的垂直線段。

師：掌聲送給他。這位同學一下子明白了這里的高就是四年級上冊學過的過直線外一點畫直線的垂直線段。特別溫馨提醒：這條線段一定要用虛線。

師：同學們不要小瞧了這條線段，它是三角形中非常重要的一個知識點——三角形的高。你們說一說什么樣的線段才是三角形的高呢？

生：符合兩個條件：必須經過頂點，必須是向對邊畫出的垂直線段。

師：說得真好，一下子抓住了三角形高的主要特點，掌聲送給你們。在數(shù)學上，三角形的高就是從三角形的一個頂點到對邊的垂直線段。這條對邊就是三角形的底。請同學們標直角標志的同時寫出高和底。

師：對照一下你們的高畫對了嗎？有沒有標注清楚？自己訂正。同桌互相說一說什么是三角形的底和高。

【設計意圖：三角形高的認知是學生學習的難點，它和生活中的高既有聯(lián)系又有區(qū)別，學生在認識上會產生矛盾和沖突。正如鄭毓信教授所說：學生關于同一數(shù)學概念，內在表征中的各個成分往往沒有構成一個整體，在這些不同成分之間還常常存在一定的矛盾，特別是以前已建立的樸素的認識，往往與概念的嚴格定義直接相矛盾。為此應該充分利用學生先前樸素的認識——人字梁的高度，挖掘學生認識中的閃光點和價值所在，即從最高的頂點出發(fā)以及必須和底邊垂直，將學生的認識進行提煉概括，上升為抽象的認識水平，從而培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看問題。同時從人字梁中抽象出三角形，并將人字梁的高畫出來，在此基礎上教師提出高和底的概念，學生的思維水平就會從具體形象思維向抽象概括思維進行提升，從而產生了高和底的真正認知，這樣的深度真實學習得出的理解是深入骨髓的?！?/p>

3.在動手操作中掌握畫高的方法。

師：老師昨天把畫高的過程拍成了微課，請同學們看一看老師畫高一共分為幾個步驟？

（教師根據學生的回答分別板書“找、畫、標”三個字）

師：這里有三個三角形，畫出底邊上的高。不明白的同學舉手示意。（學生獨立畫高后全班交流）

師：這三個三角形在畫高時有什么不一樣？

（教師引導學生發(fā)現(xiàn)三條高的不同，第一個三角形的高和人字梁的高是一樣的；第二個三角形的高由于頂點在下面，高就畫在底的下面；第三個三角形是直角三角形，因此兩條邊分別是三角形的底和高。教師要求學生同桌互相指一指一副三角板上的底和高分別在哪里）

4.在拓展延伸中領悟高的內涵。

師：三角形能畫出幾條高呢？猜一猜。

生：無數(shù)條高。

生：應該有三條高。三角形有三個頂點，每個頂點向對邊都能畫出一條高，三個頂點就能畫出三條高。

師：我們畫一畫，驗證一下對不對。（課件展示畫三條高的過程）你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：三角形能畫出三條高，并且三條高還相交在一個點上。

生：三角形的三條高和三個底是對應的，不能搞亂了。

師：后面兩個三角形的三條高在哪里呢？課后可以組建學習小組一起畫一畫，研究研究，相信你一定會有大收獲。

【設計意圖：認識人字梁的高讓學生對三角形的高有了空間知覺，經過動手操作畫圖和抽象概括，產生了高的空間表象，如何讓空間表象發(fā)展到空間想象，需要教師引導學生在變式中理解高的本質。學生通過動手操作實驗（動作直觀）發(fā)現(xiàn)不論改變三角形的形狀、底的位置，還是畫出一個三角形所有底邊上的高等，高就是頂點到對邊的垂直線段，這樣從實物識別、圖形識別再到變式識別，學生經歷空間知覺、空間表象再到空間想象，最終慢慢培養(yǎng)了空間思維能力?！?/p>

三、總結反思，梳理三角形的認識體系

師：觀察老師的板書，你有什么收獲？關于三角形，你還想了解什么新知識？

師：這些新知識都是同學們自己通過觀察、畫圖、比較等方法總結出來的。真了不起，給自己一些掌聲。

四、作業(yè)設計，拓展數(shù)學學習的廣度

師：給自己的老朋友——三角形寫一封介紹信，可以將課上對他的了解和課后對他的研究全部寫進去，讓同學、家長對三角形有更多更深的了解。

【設計意圖：學生可以對三角形的認識形成知識體系，課堂總結環(huán)節(jié)教師的引導作用非常重要。先通過板書的作用回顧課堂對三角形的收獲，再激發(fā)學生主動思考三角形還有哪些相關知識，為學生課后學習拓展提供了方向。最后寫介紹信的實踐作業(yè)就是將上課的知識點和課后延伸的知識點通過學生自己獨有的方式形成知識體系，就像是將珍珠串成項鏈的“線”，有了“線”學生的認識就會聯(lián)結成一張網，讓學習變得更加有張力?！?/p>