邵歡歡

[摘 要]在初中幾何學(xué)習(xí)起始階段，應(yīng)立足學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，注重培養(yǎng)學(xué)生的有序思維，發(fā)展合情推理能力和邏輯推理能力，以使學(xué)生的思維從盲目變?yōu)橛行?

[關(guān)鍵詞]最近發(fā)展區(qū);有序思維;全等三角形

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）11-0003-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.在教學(xué)實(shí)踐中，教師要培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方式，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，在分析和解決問題的過程中逐步形成良好的思維品質(zhì).

有序思維是指思考和解決問題時(shí)遵循一定的順序，按照特定的線索和步驟去探索，步步向前推進(jìn)，直至完成任務(wù)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的一種思維方式.有序思維可以使學(xué)生的思維從盲目變?yōu)橛行?。培養(yǎng)學(xué)生的有序思維是培養(yǎng)學(xué)生思維能力最基本、最重要的途徑，是提高學(xué)生分析和解決問題能力的重要抓手.

筆者曾執(zhí)教過一節(jié)區(qū)級(jí)公開課《全等三角形復(fù)習(xí)》，全等三角形是初中幾何的基礎(chǔ)知識(shí)之一，是七年級(jí)學(xué)生初步學(xué)習(xí)幾何證明，培養(yǎng)“幾何直觀”和邏輯推理能力的起始內(nèi)容。現(xiàn)階段的學(xué)生應(yīng)用合情推理能力和邏輯推理能力不太強(qiáng).授課學(xué)校的學(xué)生剛學(xué)完HL判定定理，對(duì)全等三角形的認(rèn)識(shí)比較淺，學(xué)生幾何基礎(chǔ)水平不高.筆者立足以上學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，將教學(xué)設(shè)計(jì)定位于基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)與鞏固、基本技能的操作與訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的有序思維，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和邏輯推理能力，提高學(xué)生分析與解決幾何問題的能力.

一、體驗(yàn)開放題，培養(yǎng)有序思維

[例1]如圖1，在△ABE中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)C在AE的延長(zhǎng)線上，連接CD，交BE于O，AD=AE，要使△ABE?△ACD，需添加一個(gè)什么條件？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生剛學(xué)完全等三角形的五個(gè)判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS、HL，對(duì)于它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，學(xué)生還不是很清晰，在選擇合適的判定定理證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，還存在困難，因此筆者設(shè)計(jì)了例1，教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生先尋找有利于證明兩個(gè)三角形全等的條件：AD=AE和∠A=∠A，即已知一邊和一角，再對(duì)照五個(gè)判定定理，添加合適的條件，引導(dǎo)學(xué)生思考：想要使用SAS定理，可以添加AB=AC;想要使用ASA定理，可以添加∠AEB=∠ADC;想要使用AAS定理，可以添加∠B=∠C.

通過開放題的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的有序思維：先尋找證明△ABE和△ACD全等的已知條件，再選擇判定定理，最后確定需添加的條件.讓看似感覺無序的題目，在有序思維的指引下，找到解題的思路，同時(shí)也復(fù)習(xí)了SAS、ASA、AAS等判定定理.

練習(xí)：如圖2，已知OB=OC，要使△ABO?△ACO，需添加一個(gè)什么條件？

設(shè)計(jì)意圖：再次練習(xí)開放題，培養(yǎng)學(xué)生的有序思維.先尋找證明兩個(gè)三角形全等的已知條件：OB=OC和OA=OA，即已知兩邊，再對(duì)照五個(gè)判定定理，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果選擇SAS定理，需要添加∠AOB=∠AOC;如果選擇SSS定理，需要添加AB=AC.

開放題的答案有多個(gè)，學(xué)生初次解答感覺沒有頭緒，其實(shí)其蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律是可以探究的.教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生有條理、有序地分析問題，要從呈現(xiàn)解題結(jié)果的教學(xué)，轉(zhuǎn)換到揭示解題思維過程的教學(xué).在體驗(yàn)開放題的學(xué)習(xí)中，學(xué)生逐漸形成有條理的、比較嚴(yán)密的思維習(xí)慣，使思維能夠從無序狀態(tài)向有序狀態(tài)轉(zhuǎn)變.

二、感悟關(guān)聯(lián)性，培養(yǎng)有序思維

[例2]如圖3，在四邊形ABOC中，已知AO平分∠BAC，AO平分∠BOC，點(diǎn)F在AO上，連接BF，CF.

（1）求證：△ABO?△ACO;

（2）求證：BF=CF..

設(shè)計(jì)意圖：本例題的教學(xué)分為兩個(gè)階段，第一階段，依次解答兩個(gè)小題.第（1）題考查學(xué)生應(yīng)用ASA定理判定兩個(gè)三角形全等的能力;第（2）題考查學(xué)生應(yīng)用全等三角形性質(zhì)的能力.引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論開始分析，執(zhí)果索因，進(jìn)行合情推理.要證BF=CF，需證△FBO?△FCO，易證∠FOB=∠FOC和FO=FO，再需證明一個(gè)條件即可.由（1）知△ABO?△ACO，可得BO=CO，從而兩個(gè)三角形全等得證，結(jié)論得證.第二階段，對(duì)例2進(jìn)行變式，刪除第（1）題，保留第（2）題，追問：如何進(jìn)行證明？在第一階段分析的基礎(chǔ)上，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)果索因，要證BF=CF，需證△FBO?△FCO，再需證明一個(gè)條件即可.可根據(jù)已知條件證明△ABO?△ACO，可得BO=CO，從而結(jié)論得證.變式通過刪除第（1）題，增加了題目的難度，延長(zhǎng)了合情推理的過程，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的有序思維.

學(xué)生的思維并沒有固定模式，如果任由其發(fā)展，就很容易走偏.數(shù)學(xué)題目分為條件和結(jié)論兩部分，數(shù)學(xué)題目的解答就是根據(jù)已知條件和數(shù)學(xué)原理推導(dǎo)出結(jié)論，條件與結(jié)論有密切的關(guān)聯(lián).因此，探究這種關(guān)聯(lián)就成為思考數(shù)學(xué)題目的主要任務(wù).七年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，幾何直觀和邏輯推理都處于初步階段，引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)果索因，開展合情推理，感悟條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的有序思維.

三、添加輔助線，培養(yǎng)有序思維

[例3]如圖4，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O分別作OM⊥AB，ON⊥AC，垂足為M、N，求證：OM=ON.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論開始分析，執(zhí)果索因，進(jìn)行合情推理.要證OM=ON，需證△MBO?△NCO，而已知OB=OC和∠BMO=∠CNO，只需要再證一個(gè)條件即可.根據(jù)現(xiàn)有的條件無法得到證明這兩個(gè)三角形全等的條件.由于七年級(jí)學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)等邊對(duì)等角及角平分線定理，因此想到添加輔助線，聯(lián)想到AB=AC和OB=OC，聯(lián)結(jié)AO，易證△ABO?△ACO，從而得到∠B=∠C，則△MBO?△NCO得證，進(jìn)而OM=ON得證.

解答幾何證明題時(shí)，在現(xiàn)有的圖形條件下不能進(jìn)行有效的證明，需要添加輔助線，從而掃清思維障礙，為正確解題提供幫助.輔助線的添加是有規(guī)可循的.《中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與內(nèi)容分析》中指出“數(shù)學(xué)中抽象的對(duì)象絕不是無根之木、無源之水”.幾何證明題的解答，需要找到它的“根”和“源”，它的“根”和“源”是建立在幾何直觀與合情推理的基礎(chǔ)上的，而合情推理的開展又是建立在有序思維的基礎(chǔ)上的.本題在合情推理時(shí)，發(fā)現(xiàn)證明△MBO?△NCO還缺少一個(gè)條件，這就是添加輔助線的“源”，再根據(jù)AB=AC和OB=OC兩個(gè)條件，想到聯(lián)結(jié)AO，證明△ABO?△ACO，從而得到∠B=∠C，補(bǔ)全了證明全等缺少的條件.通過本例題的教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生添加輔助線，厘清思路，找到條件與結(jié)論的關(guān)聯(lián)，既正確解答了數(shù)學(xué)問題，又培養(yǎng)了學(xué)生的有序思維.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要培養(yǎng)學(xué)生的有序思維;要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生開展合情推理，引導(dǎo)學(xué)生有步驟、有條理、漸進(jìn)式地開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，從觀察、表達(dá)、操作以及實(shí)踐等諸多環(huán)節(jié)著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)有序思維，讓學(xué)生的思維從“無序”到“有序”，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，為今后的學(xué)習(xí)、生活和可持續(xù)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān) ）