翟彥春， 梁 森， 馬 軍， 任玉艷， 王紹清

(1. 濰坊科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，山東 壽光 262700； 2. 青島理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，山東 青島 266520)

復(fù)合材料是由兩種或以上材料組成，且其比強(qiáng)度、比模量等性能都優(yōu)于其組成材料，因此已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到軌道交通、航天及船舶工程等各工業(yè)領(lǐng)域[1-2]。鑒于此，學(xué)者們一方面通過試驗(yàn)研究對(duì)其振動(dòng)特性進(jìn)行分析[3-5]；另一方面，提出許多數(shù)值理論，例如經(jīng)典板理論、一階剪切理論以及高階剪切變形理論等，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究[6-8]。

由于經(jīng)典板殼理論未考慮剪切變形的影響，導(dǎo)致對(duì)中厚板的計(jì)算精度不高，Timoshenko[9]對(duì)梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)研究，考慮了橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。之后，Mindlin[10]和Reissner[11]分別將Timoshenko的剪切理論應(yīng)用到中厚板的分析中，分別發(fā)展了以位移和應(yīng)力為基礎(chǔ)的一階剪切變形理論，并得到廣泛應(yīng)用。Touratier[12]在一階剪切理論基礎(chǔ)上，提出了一種可以滿足自由邊界條件和表面零剪力條件的位移理論：該函數(shù)采用正弦函數(shù)與特定點(diǎn)處應(yīng)變相乘的形式。Thai等[13]在經(jīng)典的五變量一階剪切理論的基礎(chǔ)上，提出一種類似經(jīng)典板殼理論的四變量位移模型。假設(shè)法向位移分別由彎曲變形和剪切變形引起，并且面內(nèi)轉(zhuǎn)角分別與彎曲變形和剪切變形有關(guān)，且互不影響。在此基礎(chǔ)上，對(duì)功能梯度板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)等進(jìn)行了研究。Park等[14]基于改進(jìn)的一階剪切變形理論對(duì)各項(xiàng)同性復(fù)合材料層合板的彎曲、屈曲和自由振動(dòng)進(jìn)行研究。

在之前研究的基礎(chǔ)上，本文基于一階剪切變形理論，推導(dǎo)了復(fù)合材料夾芯板結(jié)構(gòu)復(fù)數(shù)形式的振動(dòng)微分方程；采用納維法得到滿足位移邊界條件的理論解，通過有限元建模仿真對(duì)理論解進(jìn)行驗(yàn)證，從理論上探索振動(dòng)特性隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，為大阻尼高剛度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)。

1 控制方程的推導(dǎo)

1.1 本構(gòu)關(guān)系

取總厚度為h的三層黏彈性復(fù)合材料阻尼板進(jìn)行分析。為了得到振動(dòng)方程，作出如下假設(shè)：層間結(jié)合良好；忽略沿厚度方向的正應(yīng)變。

理論推導(dǎo)時(shí)，將板結(jié)構(gòu)作為二維結(jié)構(gòu)，根據(jù)一階剪切位移理論和分段位移模型，提出各層板的位移模型為

(1)

式中,i取1，2和3，分別為約束層、阻尼層以及基層。

基于式(1)，可得到第i層板的應(yīng)變公式，如式(2)所示。

(2)

進(jìn)而得到沿坐標(biāo)軸方向的第i層板本構(gòu)關(guān)系

(3)

式中，i取1，2和3。

由于黏彈性材料層的彈性模量和剪切模量為復(fù)模量，采用常復(fù)數(shù)模型，其表達(dá)式為

(4)

1.2 控制方程

基于哈密爾頓原理得到變分形式的控制方程

(5)

式中,T和U分別為結(jié)構(gòu)動(dòng)能和應(yīng)變能。

將式(2)～式(4)代入式(5)，進(jìn)行整理，結(jié)合層間位移連續(xù)性關(guān)系，可推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)控制方程為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

通過計(jì)算四邊簡支黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和損耗因子來檢驗(yàn)所推導(dǎo)方程的有效性。為滿足位移邊界條件，采用納維法進(jìn)行求解，位移表達(dá)式為

式中，a和b分別為結(jié)構(gòu)長度和寬度。

將位移表達(dá)式(17)代入運(yùn)動(dòng)方程式(6)～式(14)中，將運(yùn)動(dòng)方程改寫成一般特征值方程的形式

([K]-(ω*)2[M]){X}=0

(18)

式中：向量{X}為位移常數(shù)項(xiàng);矩陣[K]和[M]為9×9矩陣。

求解程序框圖，如圖1所示。

圖1 程序框圖

2 算例分析

本算例為各向異性黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)，其長度和寬度為0.348 m×0.304 m，約束層和基層的材料參數(shù)為：彈性模量E1=57.1 GPa，E2=60.3 GPa，剪切模量G13=G23=4.47 GPa，G12=5.32 GPa，泊松比υ12為0.038，密度為1 600 kg/m3，約束層和基層厚度為1.1 mm；黏彈性材料的彈性模量為15.5 MPa，泊松比為0.498，密度為985 kg/m3，損耗因子為0.5，阻尼膜厚度為0.1 mm。

ANSYS模型以及部分模態(tài)振型,如圖2所示。在ANSYS有限元仿真模型中，使用的是8節(jié)點(diǎn)SOLID185單元，仿真過程中劃分單元情況為：長度方向90個(gè)單元，寬度方向78個(gè)單元及厚度方向3個(gè)單元。

本文自編程序的理論解與有限元仿真結(jié)果的對(duì)比情況，如表1所示。由表1可知，本文計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果具有較高的一致性，說明本文所作假設(shè)及推導(dǎo)的理論公式是有效的，下面將采用驗(yàn)證過的模型從理論上對(duì)黏彈性復(fù)合材料阻尼板的振動(dòng)特性進(jìn)行深入研究。

圖2 板結(jié)構(gòu)的ANSYS模型及模態(tài)振型圖

表1 模態(tài)頻率和損耗因子的理論解和有限元結(jié)果

3 復(fù)合材料阻尼板振動(dòng)特性分析

3.1 阻尼膜位置對(duì)振動(dòng)特性的影響

圖3和圖4給出了黏彈性復(fù)合材料阻尼板在保持結(jié)構(gòu)總厚度不變的條件下，一階模態(tài)頻率和損耗因子在不同阻尼膜厚度下，隨約阻尼膜位置的變化情況。

圖3 b/h=70時(shí)約束層和基層厚度比對(duì)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

由圖3和圖4可知，隨著阻尼膜位置的變化，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)，其值在小幅范圍內(nèi)變動(dòng)；而損耗因子表現(xiàn)出與模態(tài)頻率完全相反的變化趨勢(shì)，呈下凹拋物線狀分布；損耗因子極大值和振動(dòng)頻率極小值都出現(xiàn)在阻尼膜處于結(jié)構(gòu)中間位置時(shí)。同時(shí)，增大阻尼層厚度，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)對(duì)稱布置時(shí)，在一階模態(tài)頻率相對(duì)較小的變化幅度下，一階模態(tài)損耗因子成倍的增大。

因此，當(dāng)阻尼膜處于結(jié)構(gòu)中間位置時(shí)，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)可獲得較為理想的振動(dòng)特性。后續(xù)分析中，都以對(duì)稱布置的黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象。

圖4 b/h=80時(shí)約束層和基層厚度比對(duì)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

3.2 邊長比對(duì)板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

在給定的寬度與總厚度比下，邊長比對(duì)黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響，如圖5和圖6所示。

3.創(chuàng)優(yōu)現(xiàn)代化的和美環(huán)境。建立健全科學(xué)決策形成機(jī)制、社情民意調(diào)查制度和利益平等協(xié)商機(jī)制，統(tǒng)籌協(xié)調(diào)各方利益關(guān)系。深化“法治諸暨”建設(shè)，廣泛開展政務(wù)、社會(huì)、企業(yè)誠信和司法公信建設(shè)，建設(shè)服務(wù)型、法治型、誠信型、陽光型政府。完善社會(huì)矛盾調(diào)解體系，更好地將維護(hù)公平正義、協(xié)調(diào)各方利益和應(yīng)對(duì)新情況新問題三方面有機(jī)統(tǒng)籌起來。依法逐步建立“權(quán)利公平、機(jī)會(huì)公平、規(guī)則公平、分配公平”為主要內(nèi)容的社會(huì)公平保障體系。不斷創(chuàng)優(yōu)生態(tài)環(huán)境，精心打造宜居宜業(yè)的生態(tài)城市，讓市民望得見山，看得見水，記得住鄉(xiāng)愁。

從圖5和圖6可知，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率和損耗因子在不同阻尼膜厚度下的變化趨勢(shì)基本不發(fā)生變化；在給定邊長比下，增大阻尼膜厚度，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率逐漸減小，一階模態(tài)損耗因子逐漸增大。

圖5 b/h=100時(shí)邊長比對(duì)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

圖6 b/h=90時(shí)邊長比對(duì)一階頻率和損耗因子的影響

隨著邊長比增大，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子都表現(xiàn)出逐漸減小的趨勢(shì)。當(dāng)邊長比小于某一數(shù)值前，模態(tài)頻率減小速度較快；之后其減小趨勢(shì)較為平緩，對(duì)邊長比的變化不再敏感；而損耗因子的下降速率基本保持不變。邊長比在某一數(shù)值附近取值時(shí)，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)可獲得較理想的結(jié)構(gòu)剛度和阻尼性能。

3.3 寬度與總厚度比對(duì)板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

圖7給出了不同阻尼膜厚度下，寬度與總厚度比對(duì)黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響。

圖7 b/h對(duì)一階模態(tài)頻率和損耗因子影響

由圖7可知，隨著寬度與總厚度比的增大，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率和損耗因子都表現(xiàn)出逐漸減小的趨勢(shì)，且不同阻尼膜厚度下，逐漸減小的趨勢(shì)基本不發(fā)生變化。在給定的寬度與總厚度比下，增大阻尼膜厚度，可顯著提高一階模態(tài)損耗因子，同時(shí)一階模態(tài)頻率有相對(duì)較小幅度的減小。因此，為使黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)獲得較大的結(jié)構(gòu)剛度和較為合適的阻尼性能，應(yīng)盡量縮小寬度與總厚度比。

3.4 彈性模量比對(duì)板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

在給定的幾何參數(shù)下，阻尼膜彈性模量與復(fù)合材料彈性模量的比值e對(duì)黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響，如圖8所示。為了增大彈性模量比的取值范圍，圖8中橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)刻度。

圖8 彈性模量比對(duì)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

從圖8可知，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率和模態(tài)損耗因子呈現(xiàn)出完全相反的變化趨勢(shì)：隨著彈性模量比的增大，一階模態(tài)頻率開始時(shí)增加速度較快，之后對(duì)彈性模量比的變化不再敏感；一階模態(tài)損耗因子先快速減小，減小到某一數(shù)值后，其值基本保持不變；一階模態(tài)頻率和模態(tài)損耗因子的變化趨勢(shì)基本不變。彈性模量比過大，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)損耗因子較?。环粗?，一階模態(tài)頻率較低。

3.5 約束層和基層厚度比對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響

圖9給出了基層保持不變時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性隨約束層和基層厚度比的變化情況。

從圖9可知，隨著復(fù)合材料層厚度比的增大，振動(dòng)頻率逐漸增大，且阻尼膜厚度的增加；這是因?yàn)榛鶎雍穸炔蛔儯谝欢ǖ淖枘崮ず穸认?，增大約束層厚度，使得結(jié)構(gòu)剛度增大，導(dǎo)致頻率增大。同時(shí)，損耗因子隨著厚度比的增大，表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，存在一個(gè)最佳的厚度比，使結(jié)構(gòu)阻尼性能最佳。這是因?yàn)榧s束層厚度較薄時(shí)，增大其厚度使黏彈性材料在振動(dòng)過程中，剪切變形越充分，表現(xiàn)出損耗因子增大；但是當(dāng)約束層厚度達(dá)到一定值后，繼續(xù)增大約束層厚度使得結(jié)構(gòu)整體剛度過大，抑制了黏彈性材料的剪切變形，導(dǎo)致?lián)p耗因子越來減小。

圖9 復(fù)合材料層厚度比對(duì)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

4 結(jié) 論

(1)將阻尼膜置于黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的中性層時(shí)，該結(jié)構(gòu)可獲得較大的一階模態(tài)損耗因子和相對(duì)較低的一階模態(tài)頻率。

(2)在給定寬度與總厚度比下，隨著邊長比的增大，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子都呈現(xiàn)出逐漸減小趨勢(shì)。

(3)固定邊長比下，幾何結(jié)構(gòu)對(duì)稱的黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子隨著寬度與總厚度比的增大都表現(xiàn)出逐漸減小的發(fā)展趨勢(shì)。

(4)在給定的幾何參數(shù)下，隨著阻尼膜彈性模量與復(fù)合材料彈性模量比值的增大，黏彈性復(fù)合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率先逐漸增大再保持基本穩(wěn)定；一階損耗因子先逐漸減小后基本保持不變。

(5)基層厚度保持不變，增大約束層厚度，一階振動(dòng)頻率逐漸增大，一階模態(tài)損耗因子先增大后減小，存在最佳的厚度比使得結(jié)構(gòu)阻尼性能最佳。