陳長紅， 田 苗， 孫美景

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 蘭州 730070)

空間上具有不同周期性的聲子晶體[1-2](phononic crystals,PC)由于在傳輸譜上具有良好的禁帶特性，引起了人們的關(guān)注。但大量研究主要集中于PC中體波的特性[3-4]，對半無限基底PC中聲表面波(surface acoustic waves，SAW)帶隙的研究處于初期[5-7]。實(shí)際上，SAW帶隙可以用于對聲能進(jìn)行過濾、限制或引導(dǎo)等[8-10]，因此將具有不同頻段SAW帶隙的PC引入到各種設(shè)備中可以一定程度的改善其聲學(xué)性能，如基于PC的SAW濾波器。

為調(diào)節(jié)SAW帶隙，需要尋找合理的PC材料和結(jié)構(gòu)以達(dá)到目的。通過改變PC中單元的材料參數(shù)、幾何參數(shù)、晶格形式等[11-14]，帶隙頻率會(huì)被調(diào)制。Benchabane等[15]研究了二維正方壓電PC中SAW傳播，實(shí)驗(yàn)和理論上兼證明了SAW完全帶隙的存在。Sun等[16]采用有限元法計(jì)算了圓錐型PC中SAW的帶隙特性并研究了SAW的各向異性傳播。Hsu等[17]實(shí)驗(yàn)上利用倒圓錐體模型呈蜂窩狀排列在壓電基底表面上，通過加大倒圓錐的質(zhì)量來降低SAW局域共振帶隙。Tanaka等[18]理論上研究了二維三角晶格PC中SAW與體波的帶隙分布，并利用平面波展開法解釋了SAW和偽聲表面波的能帶結(jié)構(gòu)。Achaoui等[19]研究了圓柱成三角晶格、蜂窩狀晶格、隨機(jī)排列PC的SAW傳播特性，得出低頻局域共振帶隙與柱體的晶格形式無關(guān)，但Bragg帶隙在隨機(jī)排列中消失。Yudistira等[20]仿真了二維蜂窩狀壓電空洞型PC在不同方向的非輻射完全SAW帶隙特性，并討論了空洞幾何參數(shù)對帶隙的影響。Ash等[21]在壓電基底表面蝕刻有限深度環(huán)形孔洞型PC，通過模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型能夠產(chǎn)生高衰減低頻SAW帶隙的結(jié)論。最近，Coffy等[22]實(shí)驗(yàn)和采用有限元法仿真同時(shí)證明了在一維PC中存在一個(gè)相對帶寬達(dá)94%的寬大Lame波帶隙，原因是在PC中引入了超薄環(huán)氧樹脂造成。受此啟發(fā)，目前無論是數(shù)值模擬還是實(shí)驗(yàn)研究，在二維壓電型聲子晶體中添加環(huán)氧樹脂來研究其SAW帶隙特性的相關(guān)文獻(xiàn)還很少。

為此，本文提出一種微米級尺度的復(fù)合型PC，復(fù)合柱體以正方晶格的形式排布在半無限壓電基底表面。該結(jié)構(gòu)能夠有效的降低SAW完全帶隙，擴(kuò)寬XM方向帶隙。首先，給出了模型的幾何圖、及精度高、適應(yīng)于復(fù)雜PC能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算的有限元法理論；計(jì)算傳輸損失的模型及方法。其次，主要討論了復(fù)合型PC的帶隙特性，并結(jié)合模態(tài)分析進(jìn)一步研究了帶隙的形成機(jī)理。通過計(jì)算傳輸損耗，討論了其傳輸特性。最后，通過改變散射體的幾何參數(shù)來調(diào)節(jié)帶隙。與傳統(tǒng)純柱型PC相比，新設(shè)計(jì)的PC在其體積及質(zhì)量幾乎不變的情況下即可有效調(diào)制禁帶。

1 物理模型及計(jì)算方法

1.1 能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型及方法

圖1(a)為復(fù)合型PC的原胞圖、正方晶格排列的俯視圖，原胞中柱體由不同材料的底部和頂部組成，沉積在一個(gè)半無限壓電基底上。晶格常數(shù)為a，柱體的半徑為r，頂部和底部柱體高度分別為hc和hb。圖1(b)為正方晶格的簡約布里淵區(qū)(BZ)。原胞柱體頂部是金屬材料鎳Ni，底部是彈性材料環(huán)氧樹脂(epoxy)，基底為強(qiáng)壓電YX-128°LiNbO3材料。參數(shù)如表1、表2所示。

基于有限元法來求解聲子晶體中聲波的機(jī)電耦合方程

(i,j,k,l=1,2,3)

(1)

(2)

式中：u為應(yīng)變張量;φ為電勢張量；cijkl,eikl,εik,ρ分別為剛度張量、壓電應(yīng)力張量、介電張量、密度。由于PC具有周期性，只需計(jì)算一個(gè)原胞的帶隙特性即可。在單胞的四個(gè)側(cè)面使用Bloch-Floquet周期性邊界條件(periodic boundary condition，PBC)

ui(x+a,y+a)=ui(x,y)exp(-i(kxa+kya))

(3)

式中：i=x,y;kx和ky為Bloch波失。通過掃描簡約布里淵區(qū)邊界的波失k并求解特征值問題，即可獲得SAW聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)和振動(dòng)模態(tài)。

圖1 復(fù)合聲子晶體的三維幾何圖和正方晶格的簡約布里淵區(qū)

表1 鈮酸鋰LiNbO3壓電材料與金屬鎳Ni的參數(shù)

表2 環(huán)氧樹脂的物理參數(shù)

1.2 傳輸損失的計(jì)算模型及方法

同樣使用有限元法來計(jì)算傳輸損失，為節(jié)省計(jì)算時(shí)間，模型中不考慮空氣介質(zhì)，模型如圖2(a)所示。其中設(shè)基底高度H=10a，在PC的前段添加線位移激勵(lì)來模擬矢狀面(x,z)線源，該線源能夠激發(fā)出瑞利波模式。Bloch-Floquet周期性邊界條件添加在模型的y軸兩側(cè)。為阻止聲波在邊界發(fā)生無必要的反射，x軸兩側(cè)及底部添加了完美匹配層(perfect matching layer,PML)。數(shù)值計(jì)算中，在ΓX方向使用有限個(gè)單元胞，用N表示單胞的個(gè)數(shù)，通過計(jì)算入射波在基底左側(cè)表面的位移U0及透射波在基底右側(cè)表面的位移U1來獲得傳輸損失，如式(4)所示。

(4)

圖2 計(jì)算傳輸損耗及復(fù)合單柱體共振頻率的模型

2 計(jì)算結(jié)果及討論

2.1 能帶結(jié)構(gòu)

圖3(a)、圖3(b)為純鎳柱PC的能帶結(jié)構(gòu)，圖3(c)、圖3(d)為復(fù)合柱體即鎳柱底部有環(huán)氧樹脂PC的能帶結(jié)構(gòu)，灰線為相速度最慢的體波模態(tài)用于區(qū)分體波和SAW，稱為聲線。聲線以上的灰色區(qū)域?yàn)檩椛鋷Ｊ郊大w波，聲線以下為非輻射帶模式即SAW。通過對比圖3(a)與圖3(b)，當(dāng)鎳柱體高度hc增加0.15 μm時(shí)，能帶圖中所有的頻帶都隨之降低，第一SAW完全帶隙下邊界由127 MHz降為122 MHz，但頻帶降低效果不太明顯，僅降低了5 MHz。相似的現(xiàn)象對比圖3(c)、圖3(d)也能看出?，F(xiàn)在，我們來對比圖3(a)、圖3(c),即頂部柱體hc= 3 μm時(shí)，柱底有無epoxy時(shí)頻帶的變化。圖3(c)中所有頻帶明顯下降，第一SAW完全帶隙由127 MHz變?yōu)?0 MHz ,變化值為47 MHz，是直接增加頂部柱體高度0.15 μm降低5 MHz的10倍。同樣，該現(xiàn)象通過對比圖3(b)、圖3(d)也能觀察到。則通過在柱體底部添加薄epoxy能夠造成帶隙的有效降低。

下面我們觀察復(fù)合型PC的振動(dòng)模態(tài)，圖4(a)～圖4(g)給出了hc= 3 μm,hb= 0.13 μm聲子晶體在BZ高對稱點(diǎn)X處的振動(dòng)位移場(圖3(c)中已標(biāo)記)，其中箭頭的大小和方向分別表示位移幅值大小和矢量方向。為了更加精確的解釋帶隙的打開機(jī)理，還計(jì)算了基底上單個(gè)復(fù)合柱體的共振頻率LR(見圖2(b))。模型計(jì)算中，在復(fù)合單柱的前面應(yīng)用矢狀面(x,z)線源來激發(fā)瑞利波。PML和PBC都被用來防止x軸和y軸側(cè)面邊界的反射。同時(shí)，為了防止復(fù)合柱體之間的相互作用，將基底寬設(shè)為5a。通過記錄柱體頂部五個(gè)點(diǎn)的位移分布，能夠獲得位移峰值即為單個(gè)復(fù)合柱體的共振頻率，為了方便分析，將獲得的共振頻率用水平線繪制于圖3(c)中。

從圖4(a)、圖4(b)看出，這兩個(gè)模態(tài)分別沿ΓX,XM方向作一階彎曲振動(dòng)。從圖3(c)發(fā)現(xiàn)，單柱的共振頻率LR出現(xiàn)在前兩個(gè)頻帶附近,且在PC中發(fā)生了一種典型的模式排斥行為：LR將能帶結(jié)構(gòu)中兩條最低的頻帶分支開。由于一階彎曲振動(dòng)在BZ邊緣X處的主導(dǎo)作用，第一和第二頻帶形成與LR緊密結(jié)合的弱色散平坦頻帶。仔細(xì)檢查發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)分支低于LR，與文獻(xiàn)[23-24]相同，但由于一階彎曲振蕩的極化對稱性，第二個(gè)分支克服了LR。同時(shí)，Graczykowski等表明，柱體的一階彎曲振動(dòng)與基板中的瑞利模式相位相同。LR之上第三條頻帶的起始頻率從聲線處離開輻射區(qū)，此時(shí)柱體的一階彎曲振動(dòng)與基底中瑞利模式相位相反。因此，在80～93 MHz頻段內(nèi)打開了第一條SAW完全帶隙即局域共振帶隙，這比布拉格帶隙要低得多，后者的中心頻率由f=c1/2a定義(c1=3 978.2 m/s)，即198.9 MHz。模態(tài)c為柱體內(nèi)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)(見圖4(c)),該模態(tài)與基底之間不會(huì)發(fā)生耦合，從而該模態(tài)對帶隙的位置沒有任何影響。

從圖4(d)看出,此模態(tài)表現(xiàn)為柱體的上下拉壓式一階振動(dòng)，但在圖3(c)d處并無單柱的共振頻率。實(shí)際上，基底中的瑞利波與此模態(tài)發(fā)生了相互作用導(dǎo)致群速度減慢，但它不會(huì)產(chǎn)生類似于LR的平直帶。因此，在155～186 MHz頻率范圍內(nèi)打開的第二條SAW完全帶隙，應(yīng)歸為Bragg散射機(jī)理，但柱體的上下拉壓式振動(dòng)也是有一定貢獻(xiàn)。圖4(e)、圖4(f)模態(tài)在ΓX、XM方向上顯示出了柱體的二階彎曲振動(dòng)，圖3(c)中e、f處也無單柱的共振頻率，因此在183～204 MHz頻段內(nèi)第三條SAW完全帶隙的打開也歸為Bragg散射機(jī)理，但柱體的二階彎曲振動(dòng)也是有一定貢獻(xiàn)的。g模態(tài)的能量有一部分在柱體內(nèi)，還有一部分在基底內(nèi)，深度正好在g本征頻率對應(yīng)的一個(gè)波長范圍內(nèi)，即g模態(tài)為瑞利波。

圖3 不同尺寸聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)

圖4 不同本征模態(tài)的振動(dòng)位移場

現(xiàn)在來分析帶隙降低的原因，以圖3(c)中最低的兩條頻帶為例，根據(jù)圖4(a)、圖4(b)模態(tài)，可以把復(fù)合單胞看成單自由度質(zhì)量塊—彈簧系統(tǒng)(只考慮拉壓剛度)，共振頻率的計(jì)算公式為

(5)

式中：keff為有效彈性模量，由鎳和epoxy共同決定；meff為有效質(zhì)量，由于epoxy很薄，相對于鎳柱的質(zhì)量非常小(約為0.58%)，因此meff可看成僅由鎳柱決定。

keff可認(rèn)為是兩個(gè)不同剛度系數(shù)彈簧的串聯(lián)，如

(6)

式中:ENi，Eepoxy分別為鎳和epoxy的楊氏模量；S為兩柱體間的接觸面積。由于Eepoxy要比ENi小兩個(gè)數(shù)量級且hb也很小，則式(6)簡化為

(7)

由以上計(jì)算分析，推斷可使用彈性模量更小的材料來替換epoxy，從而使能帶結(jié)構(gòu)產(chǎn)生更明顯的變化。但這將會(huì)使基底與柱體之間的耦合減小，將會(huì)大大的減小控制SAW的效率。

2.2 傳輸損失的計(jì)算

圖5(a)為純鎳柱PC沿ΓX方向的傳輸損失，N=10。由圖可得：當(dāng)hc=3 μm (圓點(diǎn)線)時(shí)，在三段衰減區(qū)域120～150 MHz, 163～179 MHz, 180～204 MHz中出現(xiàn)了三個(gè)低谷(T<-22.5 dB)，分別為130 MHz，169 MHz，180 MHz。與圖3(a)ΓX方向的帶隙結(jié)果保持一致。且注意到第一個(gè)衰減谷低于第三個(gè)衰減谷，正如圖4中的a、b振動(dòng)矢量場所示，第一帶隙是由具有高品質(zhì)因素Q柱體的彎曲振動(dòng)引起，彈性能不能很好的局域在柱體中；當(dāng)hc=3.15 μm(方點(diǎn)線)時(shí)，同樣，出現(xiàn)了三段衰減區(qū)域，與圖3(b)ΓX方向的帶隙結(jié)果保持一致。通過對比圖5(a)方點(diǎn)線和圓點(diǎn)線，發(fā)現(xiàn)方點(diǎn)線的三個(gè)衰減谷都低于圓點(diǎn)線的，這與圖3(a)、圖3(b)顯示的帶隙頻率向低頻移動(dòng)的趨勢一樣。

圖5(b)為復(fù)合柱體PC沿ΓX方向的傳輸損失，N=10。由圖顯示：當(dāng)hc=3 μm時(shí)(圓點(diǎn)線)，在76～93 MHz頻率范圍內(nèi)出現(xiàn)了衰減谷為80 MHz的窄禁帶，應(yīng)歸為復(fù)合柱體的一階彎曲振動(dòng)的高Q值導(dǎo)致，如圖3(c)中前兩條頻帶呈平直帶；在141～185 MHz頻段出了第二條禁帶，衰減谷為145 MHz；在183～203 MHz頻段內(nèi)出現(xiàn)了另外一個(gè)衰減谷為185 MHz的窄禁帶，原因可能是柱體的二階彎曲振動(dòng)與基底中傳播的Rayleigh波耦合作用減弱，聲能量不能被柱體很好的聚集。三個(gè)衰減頻段與圖3(c)中的帶隙位置一致。相類似的現(xiàn)象也存在于hc=3.15 μm時(shí)(方點(diǎn)線)，相比于圓點(diǎn)線，方點(diǎn)線整體頻率都稍向下移動(dòng)，這與能帶結(jié)構(gòu)圖3(c)、圖3(d)顯示的移動(dòng)趨勢也一樣。然而，更明顯的特征是：對比圖5(a)圓點(diǎn)線與圖5(b)方點(diǎn)線，當(dāng)有epoxy時(shí)，衰減谷向低頻方向有較大的移動(dòng)，但衰減率都降低。例如，第一禁帶的衰減率由-22.5 dB降為-10 dB，這是因?yàn)閺?fù)合柱體與基底之間的耦合作用減弱了。

圖5(c)給出了具有不同單胞數(shù)目N=0,5,10聲子晶體的傳輸損失(與圖3 (c)中ΓX相對應(yīng))?？梢钥闯鯪=0時(shí)，振動(dòng)比較平緩，幾乎沒有衰減。當(dāng)N=5時(shí)，振動(dòng)就出現(xiàn)了較為明顯的衰減，而當(dāng)N=10時(shí)，三段衰減區(qū)已經(jīng)十分明顯了，因此，隨周期數(shù)的增加，振動(dòng)衰減逐漸增大。

圖5 傳輸損失

經(jīng)上述分析，發(fā)現(xiàn)圖5(b)中圓點(diǎn)線的第一衰減區(qū)域下邊界(76 MHz)稍低于圖3(c)中ΓX方向第一帶隙起始頻率(80 MHz)，方點(diǎn)線類似。為解釋該現(xiàn)象圖6給出了模式a、模式b不同方向的位移場分量，注意，所有位移場都使用了相同的刻度。由圖可得：模式a的能量主要分布在ux和uz方向，該模態(tài)具有矢狀面偏振特性，且由于本文采用了能夠激發(fā)出Rayleigh波的矢狀面(x,z)線源來計(jì)算傳輸損失，因此第一條頻帶表現(xiàn)為通帶；模式b能量主要分布在uy和uz方向，在結(jié)構(gòu)的x-z中間面內(nèi)uz位移場成反對稱性，當(dāng)采用矢狀面(x,z)線源時(shí)，聲能量不能通過該模態(tài)傳播，從而導(dǎo)致傳輸損失中第二條頻帶的缺失。但uy和uz位移場在結(jié)構(gòu)的y-z中間面內(nèi)具有對稱性，該模態(tài)能夠被剪切水平極化線源激發(fā)。

圖6 模式a與模式b不同方向的振動(dòng)位移場

2.3 柱體半徑對帶隙的影響

圖7(a)為保持hc= 3 μm，hb=0.13 μm不變，柱體半徑r變化時(shí)對SAW完全帶隙影響。隨著r的增加第1 完全帶隙的起始、截止頻率都移向高頻，寬度逐漸拓寬。第2 完全帶隙的起始、截止頻率都移向低頻，但寬度先變大再減小，最大帶寬為24 MHz。第3 完全帶隙的寬度先持續(xù)擴(kuò)寬直至定值。

通過觀察圖3(c)、圖3(d)中XM方向帶隙，發(fā)現(xiàn)該方向存在較寬的帶隙，因此，我們還研究了r變化時(shí)XM方向帶隙的變化。如圖7(b)所示，第1帶隙的截止頻率與第2帶隙的起始頻率共頻帶，且該頻帶基本保持平直帶，從而形成了一條寬大帶隙，帶寬隨r的減小逐漸擴(kuò)寬，當(dāng)r=1.0 μm時(shí)，帶寬達(dá)到了123 MHz。第3XM方向帶隙的寬度則是先變寬再逐漸變窄。第4XM方向帶隙的寬度則在小于r=2.5 μm時(shí)存在但很窄，大于r=2.5 μm時(shí)帶隙寬度緩慢擴(kuò)寬。

2.4 環(huán)氧樹脂厚度對帶隙的影響

圖8(a)為保持hc=3 μm,r=3.2 μm不變，epoxy厚度hb增加時(shí)SAW完全帶隙的變化圖，隨著hb的增加所有禁帶的起始、截止頻率都向低頻域移動(dòng)。第1完全帶隙寬度逐漸減小，直到hb=0.5 μm后帶寬基本保持不變。第2完全帶隙(即頻段最窄的帶隙)寬度被逐漸壓縮，最終會(huì)消失，PC只會(huì)存在兩條帶隙，即原來的共振系統(tǒng)被破壞，帶隙由原來的三條壓縮成為兩條，因此為了得到較多的完全帶隙，hb的值不能太厚。第3完全帶隙的寬度先增加后逐漸減小，最大帶寬出現(xiàn)在hb=0.3 μm，帶隙最大值為40 MHz。

圖7 柱體半徑r對帶隙的影響

圖8(b)為hb增加時(shí)SAW沿XM方向帶隙的變化圖，該方向有4條帶隙，第 1、第 2、第 3 帶隙的起始、截止頻率都移向低頻，且?guī)挾际窍戎饾u減小，直到hb=0.4 μm時(shí)基本保持不變。第4帶隙起始頻率移向低頻，截止頻率基本不變，因此帶寬明顯逐漸拓寬，當(dāng)hb=0.8 μm時(shí)，帶寬高達(dá)100 MHz。同時(shí)，隨著hb的增加第2與第3帶隙之間的通帶逐漸減小。當(dāng)hb=0.7 μm時(shí)，4條方向帶隙將會(huì)發(fā)生融合，產(chǎn)生一個(gè)帶寬為158 MHz的寬大帶隙。

圖8 環(huán)氧樹脂厚度hb對帶隙的影響

3 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種在鎳柱體底部增添薄epoxy并沉積在鈮酸鋰基底的二維復(fù)合壓電型PC。基于有限元法計(jì)算了能帶結(jié)構(gòu)、傳輸損失及振動(dòng)位移場。結(jié)果表明，通過在共振體中引入epoxy來減小其有效彈性模量，即可有效降低SAW完全帶隙；同時(shí)，在30～225 MHz頻段內(nèi)打開了多條XM方向帶隙；通過振動(dòng)模態(tài)分析了帶隙的形成機(jī)理，得除第1帶隙為局域共振外，其余為Bragg帶隙。通過分析傳輸特性顯示，復(fù)合型PC的透射率低于純柱體型PC的，起因是共振體與基底之間的耦合減小。最后，研究了散射體幾何參數(shù)對SAW帶隙特性的影響。結(jié)果表明，共振體半徑越大、環(huán)氧樹脂厚度越小，第一SAW完全帶隙寬度越寬；同時(shí)，隨epoxy厚度的增加，XM方向數(shù)條帶隙將會(huì)融合成一條寬為158 MHz的寬大帶隙。研究結(jié)果為調(diào)控微米尺度聲子晶體的SAW帶隙特性提供了可靠的理論依據(jù)。也為微型結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了嶄新思路。同時(shí)，為設(shè)計(jì)高性能聲學(xué)器件提供一定參考。