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        物理學(xué)中常用的高斯與類高斯型積分

        2021-04-27 07:51:36陶俊琦程劍劍
        大學(xué)物理 2021年5期
        關(guān)鍵詞:復(fù)數(shù)表象實(shí)數(shù)

        王 蒙,陶俊琦,程劍劍,鄭 華

        (陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,陜西 西安 710119)

        本文旨在基于大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對(duì)常用的高斯及類高斯型積分做系統(tǒng)的闡述,給出相應(yīng)的求解方法和通用積分結(jié)果. 以期助力學(xué)生學(xué)習(xí)與教職人員教授相關(guān)內(nèi)容.

        1 高斯與類高斯型積分

        本節(jié)中,我們將對(duì)不同的高斯與類高斯型積分進(jìn)行計(jì)算與討論,遵循由簡(jiǎn)到難、由特殊到一般的邏輯.

        1.1 高斯型積分I=e-αx2dx,(α>0,α∈R)

        在高斯與類高斯型積分中,非常重要的一個(gè)積分是

        (1)

        考慮α為實(shí)數(shù)的情況.為保證式(1)積分收斂,要求α>0. 式(1)無法利用牛頓萊布尼茲公式求出原函數(shù)對(duì)積分進(jìn)行計(jì)算. 但可以通過構(gòu)造的方法,建立式(1)與二維積分的聯(lián)系,然后利用常用積分就可以計(jì)算了. 具體過程如下

        (2)

        對(duì)式(2)中r的積分進(jìn)行變量代換,容易看出是一個(gè)指數(shù)函數(shù)積分. 因此

        (3)

        此積分過程中體現(xiàn)了一個(gè)重要的思想,在當(dāng)前維度下如果解決不了問題時(shí),可以發(fā)散性的將問題向高維轉(zhuǎn)化.某些特殊函數(shù)的生成函數(shù),也應(yīng)用了這一思想,在此我們不做詳細(xì)論述[7].

        下面討論3個(gè)常用的高斯型積分.

        (a) 當(dāng)α=1時(shí),由式(3)可得

        (4)

        (b) 將式(3)的積分限變成0到正無窮,由式(3)的積分函數(shù)是偶函數(shù)可得

        (5)

        (c) 將式(3)的積分限變成0到正無窮且α=1

        (6)

        1.2 Γ函數(shù)與高斯型積分

        Γ函數(shù)與高斯型積分具有直接的聯(lián)系[8-10].在實(shí)變函數(shù)中,Γ函數(shù)的通常定義如下

        (7)

        Γ函數(shù)具有如下性質(zhì)

        Γ(x+1)=xΓ(x)

        (8)

        將Γ函數(shù)式(7)的積分變量t作積分變量代換,令t=u2.可得

        (9)

        為便于文章后面的討論,將式(9)改寫為

        (10)

        可見,當(dāng)x=0時(shí),式(10)右邊為高斯型積分式(6),故有

        (11)

        這是我們熟知的結(jié)果.

        1.3 高斯型積分

        下面將考慮幾個(gè)不同積分限的高斯型積分.

        與高斯分布相關(guān)的物理量的計(jì)算中,很常用的一類積分為

        (12)

        當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),由于被積函數(shù)為奇函數(shù),可得

        (13)

        當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),取n=2k(k為自然數(shù)),式(12)變成

        (14)

        我們將以k=1為例,通過3種方法來計(jì)算I(2),然后給出積分式(14)的通用公式.

        (a) 計(jì)算積分I(2)常用的方法為分部積分法

        (15)

        已經(jīng)利用了高斯型積分式(3)的結(jié)果.如果k值取更大,用分部積分法計(jì)算式(14)會(huì)比較繁瑣.

        (b) 另一種方法計(jì)算積分I(2),可以將α看成變量

        (16)

        此方法比分部積分法簡(jiǎn)潔,更重要的是其可以很容易給出積分式(14)的通用公式

        (17)

        雙階乘定義:(2n-1)!!≡1·3……(2n-3)(2n-1).

        (c) 更簡(jiǎn)潔的方法是將I(2)與Γ函數(shù)式(10)聯(lián)系,可得

        (18)

        (19)

        最后的結(jié)果已經(jīng)利用Γ函數(shù)的性質(zhì)式(8).此方法避免了(b)中對(duì)α求導(dǎo)的過程.

        綜上所述,式(12)的積分結(jié)果為

        (20)

        其中k為自然數(shù).

        由上節(jié)可知,將高斯積分與Γ函數(shù)聯(lián)系是很簡(jiǎn)潔的方法.與式(20)類似的過程可得

        (21)

        其中k為自然數(shù).

        1.4 類高斯型積分I=e-α(x+c)2dx

        現(xiàn)在來計(jì)算類高斯型積分

        (22)

        其中α與c可以是復(fù)數(shù),考慮到積分的收斂性,要求Re(α)>0. 這與1.1與1.3中要求α為實(shí)數(shù)不一樣,我們稱之為類高斯型積分.

        由于類高斯型積分已經(jīng)涉及到了復(fù)數(shù),有些計(jì)算過程會(huì)用到“數(shù)學(xué)物理方法”中的留數(shù)定理[11].為使討論更為清晰,我們分以下幾種情況:

        (a)α與c均為實(shí)數(shù): 這種情況與1.1的討論很相似,唯一的差別是高斯函數(shù)的對(duì)稱中心在x=-c.可以通過積分變量代換將式(22)變成式(3)

        (23)

        (b)α為實(shí)數(shù),c為純虛數(shù):這種情況下需要用到留數(shù)定理. 不失一般性的可以令c=ib,b為正實(shí)數(shù). 在復(fù)平面上選擇積分路徑如圖1所示.

        圖1 復(fù)平面積分路徑

        被積函數(shù)f(z)=e-αz2在積分區(qū)域內(nèi)是解析的.由留數(shù)定理可得

        ∮e-αz2dz=0

        (24)

        可將積分式(24)沿長(zhǎng)方形閉合區(qū)域?qū)懗?部分之和

        (25)

        在R→∞,第三項(xiàng)與待求積分有簡(jiǎn)單的關(guān)系:

        (26)

        (27)

        當(dāng)b為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),在復(fù)平面上將積分路徑選在下半平面,其余過程與b為正實(shí)數(shù)類似,可以得到同樣的積分結(jié)果.

        (c)α為復(fù)數(shù),c為實(shí)數(shù):α為復(fù)數(shù)時(shí),與1.1中α為實(shí)數(shù)時(shí)類似,可以得到

        (28)

        (29)

        (d)α為復(fù)數(shù),c為純虛數(shù):與1.4 (b)中計(jì)算過程類似并利用1.4(c)的積分結(jié)果,可得

        (30)

        (e)α與c均為復(fù)數(shù):此種情況是最一般的情況. 利用1.4 (a)中的積分變量代換,可以將復(fù)數(shù)c的實(shí)部消除,這時(shí)積分就變成了1.4 (d)中的積分. 因此,積分結(jié)果為

        (31)

        1.5 類高斯型積分I=eim(x+c)2dx

        (32)

        不失一般性的,先考慮m為正實(shí)數(shù). 在復(fù)平面上eimz2解析,利用留數(shù)定理可得

        ∮eimz2dz=0

        (33)

        可在復(fù)平面上選擇如圖2所示積分路徑.

        圖2 復(fù)平面積分路徑

        可將積分式(33)寫成三部分之和

        (34)

        當(dāng)R→∞時(shí),式(34)第一項(xiàng)為I/2, 其中I為待求積分;第二項(xiàng)積分為0,計(jì)算如下

        (35)

        第三項(xiàng)積分為

        (36)

        由式(34)可得

        (37)

        當(dāng)m為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),在復(fù)平面上將積分路徑選在下半平面,其余過程與m為正實(shí)數(shù)類似.為方便,我們讓m=-m′(m′>0),可得

        (38)

        (39)

        (b)c為純虛數(shù):不失一般性的可以令c=ib,b為正實(shí)數(shù). 在復(fù)平面上選擇積分路徑如圖1所示,同1.4(b)類似有

        (40)

        當(dāng)R→∞時(shí),式(40)第一項(xiàng)可以利用1.5(a)的結(jié)果,第三項(xiàng)等于負(fù)的待求積分,考察第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的??梢园l(fā)現(xiàn)總有一項(xiàng)是發(fā)散的. 因此,此種情況下待求積分是發(fā)散的.

        (c)c為復(fù)數(shù):此種情況是最一般的情況. 利用1.4(a)中的積分變量代換,可以將復(fù)數(shù)c的實(shí)部消除,這時(shí)積分就變成了1.5(b)中的積分. 同樣的道理,此時(shí)積分是發(fā)散的.

        1.6 高斯與類高斯型積分的討論

        通過觀察式(3),式(31)與式(39)的積分結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)高斯與類高斯積分結(jié)果均可寫成高斯積分結(jié)果的形式,只是需要限定α的輻角范圍:

        (a) Re(α)>0,α∈C,c∈C

        (41)

        需要限定arg(α)∈(-π/2,π/2), 注意α為實(shí)數(shù)時(shí)其輻角為0.

        (b) Re(α)=0,α∈C,c∈R

        (42)

        需要限定arg(α)=-π/2或arg(α)=π/2.

        2 高斯與類高斯型積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

        為將上面討論的高斯及類高斯型積分與物理學(xué)科中的實(shí)際問題聯(lián)系起來,在此我們將選擇不同物理學(xué)科中的幾個(gè)具體問題,來展示不同形式的高斯及類高斯型積分的應(yīng)用實(shí)例.所選問題的物理內(nèi)涵及重要性,讀者均可從相應(yīng)的教科書中查閱.

        2.1 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理[3]

        熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理中,在討論麥克斯韋速度分布律及能量均分定理時(shí),需要計(jì)算分子速率的平均及分子速率平方的平均 (見文獻(xiàn)[3]中197-200頁(yè)).為避免重復(fù)計(jì)算,我們可先得到速率n次方的平均的通用式

        (43)

        (44)

        (45)

        因此方均根速率為

        (46)

        2.2 量子力學(xué)[1,2,12]

        在量子力學(xué)中,高斯與類高斯型積分有著廣泛應(yīng)用.

        (b) 量子力學(xué)中,對(duì)同一個(gè)問題,可以選擇在不同的表象中求解. 一般情況下,解薛定諤方程是在坐標(biāo)表象中進(jìn)行的,但對(duì)有些問題在動(dòng)量表象中求解更方便(見文獻(xiàn)[12]中卷一108-113頁(yè)). 一維諧振子既可以在坐標(biāo)表象也可以在動(dòng)量表象中精確求解,且在坐標(biāo)表象中得到的波函數(shù)與在動(dòng)量表象中得到相應(yīng)的波函數(shù)之間可以通過傅立葉變換聯(lián)系. 以一維諧振子在動(dòng)量表象中的基態(tài)波函數(shù)與其在坐標(biāo)表象中的基態(tài)波函數(shù)為例

        (47)

        由于一維諧振子在坐標(biāo)表象中基態(tài)波函數(shù)是高斯函數(shù),傅立葉變換時(shí)會(huì)出現(xiàn)類高斯型積分

        (48)

        (c) 費(fèi)曼路徑積分作為量子力學(xué)(矩陣力學(xué)與波動(dòng)力學(xué)之外)的另一種理論形式,其核心是如何計(jì)算量子系統(tǒng)的傳播子.在費(fèi)曼路徑積分計(jì)算自由粒子傳播子的過程中,會(huì)用到1.5中討論的類高斯型積分.自由粒子傳播子的計(jì)算需要計(jì)算兩個(gè)高斯函數(shù)乘積的積分(見文獻(xiàn)[12]卷二176頁(yè)),如下

        (49)

        其中為α、β純虛數(shù).

        3.3 光學(xué)[6,11,13]

        (50)

        分別對(duì)比式(50)中等式左邊與右邊的實(shí)部與虛部可得

        (51)

        (52)

        2.4 量子光學(xué)[14]

        (53)

        (54)

        (55)

        3 小結(jié)

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