王瑞敏,劉丹東,徐忠鋒

(西安交通大學 物理學院，陜西 西安 710049)

量子力學中，光子干涉是學習和理解光的波粒二象性的重要實驗依據(jù).同時，由于它在量子信息處理方面的應(yīng)用潛力，也是目前量子光學研究的熱點之一[1]. 狄拉克曾指出：每個光子只能和自己干涉，不同光子之間的干涉是不可能發(fā)生的.狄拉克的表述是對一階干涉來說的，而雙光子干涉是二階干涉現(xiàn)象.對二階干涉，乃至高階干涉的解釋，目前存在不同的理論[2].

量子力學有3種表述形式，波動力學、矩陣力學和費曼路徑積分[3].目前國內(nèi)的量子力學教材都在沿用波動力學和矩陣力學兩種最早出現(xiàn)的表述形式，幾乎沒有介紹費曼路徑積分理論的.因為, 多數(shù)人認為對所有路徑求積分是將該理論引入教學的一個難點[4].然而，用費曼路徑積分處理微觀粒子的干涉，不用考慮狄拉克的表述，一階和高階干涉具有統(tǒng)一的理論解釋[5].它使得經(jīng)典力學和量子力學之間的過渡不再有任何困難.我們在教學中指導(dǎo)學生利用費曼路徑積分理論，推導(dǎo)了雙光子二階干涉和三光子三階干涉，讓學生鑒賞到這種新方法的方便、直觀.同時，幫助學生進一步理解量子干涉現(xiàn)象,也了解了目前量子力學的前沿發(fā)展.

1 兩熱光源的二階時間干涉

雙光子二階干涉的理論和實驗研究有很多研究報道[2,6]，包括非經(jīng)典光源和熱光源.我們首先介紹用費曼路徑積分理論得到的二階時間干涉的結(jié)果.圖1是雙光子干涉實驗裝置圖.兩個非簡并的準熱光源S1和S2，發(fā)出兩個光子A和B.光子通過分束器BS后被兩個單光子探測器D1和D2接收，并觸發(fā)雙光子符合計數(shù)系統(tǒng). 實驗中測量分束器輸出端符合計數(shù)率，根據(jù)符合計數(shù)率的極值變化判斷是否發(fā)生干涉. 對于時間干涉，我們規(guī)定兩個光源到兩探測器的距離r相同，并設(shè)兩光源的強度相同，中心頻率分別為ω1和ω2，頻率帶寬都為Δω. 對于多光子干涉，光源和路徑的不可區(qū)分是產(chǎn)生干涉的關(guān)鍵.雖然中心頻率不完全相同，但當時間測量的不確定度小于1/|ω1-ω2|時，可以認為是不可區(qū)分的[7]. 此時，就會出現(xiàn)干涉現(xiàn)象，干涉規(guī)律可以用二階關(guān)聯(lián)函數(shù)，即雙光子波函數(shù)的模方表示. 對于所有可能的積分路徑，我們可以通過列表法來直觀展現(xiàn).如表1，兩個光子A和B可以由同一個光源S1或S2產(chǎn)生，也可以分別由不同光源產(chǎn)生，存在4種情況. 在每種情況下，兩個光子到達兩個探測器又存在兩個不可區(qū)分的路徑. 第1種是光子A到達探測器D1，B到達D2.第2種是光子A到達D2，B到達D1. 根據(jù)費曼路徑積分疊加原理，總的概率波幅是所有可能路徑的概率波幅之和.二階關(guān)聯(lián)函數(shù)Φ(2)(t1,t2)包含上述4種產(chǎn)生光子情況下對概率分布的貢獻.

表1 二階干涉光源和路徑不可區(qū)分的各種情況

圖1 雙光子二階干涉光路圖

Φ(2)(t1,t2)=〈|Φ1j(t1,t2)+Φ2j(t1,t2)+

Φ3j(t1,t2)+Φ4j(t1,t2)|2〉

(1)

其中每一項又包含兩個不同路徑的貢獻，等于兩個路徑的概率分布之和. 如第1項兩光子都由光源S1發(fā)出，光子A到達探測器D1，B到達D2. 或者是光子A到達D2，B到達D1，則

(2)

第2項兩光子都由光源S2發(fā)出時，

(3)

在這里，觸發(fā)一次三光子符合計數(shù)的情況雖然多，但表現(xiàn)在公式里只是角標的輪換，其它項具有完全相同的形式，學生不難理解. 將費曼光傳播算子(4)式代入后可得三階關(guān)聯(lián)函數(shù)

(4)

將其代入式(1)后可得

(5)

在現(xiàn)場作業(yè)工作完成后，要對現(xiàn)場進行仔細清理，并且注意要恢復(fù)現(xiàn)場的有關(guān)安全防護措施，還原原有的設(shè)備定置，防止由于作業(yè)而給現(xiàn)場留下日后的安全隱患。

2 兩熱光源的三階時間干涉

{1+cos[(t1-t2)(ω1-ω2)]+

圖2 三階干涉光路圖

表2 兩光源三階干涉的所有可能路徑

(6)

每種產(chǎn)生光子的情況下，A、B、C三個光子到達3個探測器D1、D2、D3，又存在6種不可區(qū)分的路徑(如表2所示). 因此，式中每一項又等于6種路徑的概率幅之和，如

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式中前3項代表兩光子之間的二階干涉，最后1項代表三光子之間的三階干涉. 由此可見，三階干涉包含二階干涉的所有信息.

(7)

其它項有相同的形式，只是角標變化. 式中φi jA,B表示光子的初相位，當光子經(jīng)BS反射時需要附加π/2的相位. 由于2個熱源是相互獨立的，式(1)中相位求統(tǒng)計平均后為零.Kαβ是光源Sα到探測器Dβ的費曼光傳播算子，它反映光子從Sα到Dβ的概率波幅. 對于熱光源

式中sinc(x)=sinx/x,sinc2[Δω(t1-t2)/2]表示光子聚束項，cos(t1-t2)(ω1-ω2)表示拍頻項.當兩個頻率相近的光子發(fā)生量子干涉時，會出現(xiàn)拍的現(xiàn)象，稱為量子拍.

如圖2，在雙光子二階干涉的實驗基礎(chǔ)上，增加一個分束器將光分為3束. 其中BS1為1:2，BS2為1:1，以保證3個探測器接收的光強度相同. 光源到3個探測器的距離都為r. 3個探測器的光觸發(fā)3光子符合計數(shù)系統(tǒng). 此時光源發(fā)出3個光子存在8種不可區(qū)分的情況，如表2所示. A、B、C三個光子可能由同一個光源S1或S2產(chǎn)生，也可能光源S1產(chǎn)生兩個，S2產(chǎn)生一個，或者S1產(chǎn)生一個，S2產(chǎn)生兩個. 總的概率波幅是這8種情況的概率波幅之和.三階關(guān)聯(lián)函數(shù)等于8項相加

cos[(t2-t3)(ω1-ω2)]+cos[(t3-t1)(ω1-ω2)]}}

對所有患者開展腫瘤組織間碘-125放射性粒子植入術(shù)治療。首先,為患者開展經(jīng)皮穿刺植入法治療。針對肝癌,頸部癌癥,口腔癌,腎癌等患者,于局麻下采用放射性離子穿刺植入針開展手術(shù)。患者于CT定位下按照所需間距及粒子數(shù)經(jīng)皮穿刺植入病灶內(nèi)部,保證粒子縱橫間距在1-2cm之間。針對食道癌患者,可根據(jù)患者食道病變長度和狹窄程度,選擇合適的放射性離子食管覆膜支架,開展植入。方法與普通食管支架方法相同,植入放射性離子為碘-125離子。

(8)

目前,澳大利亞職前體育教師采取階段性的教育實習方式,即各個階段的教育實習并非連續(xù)整體的一個周期, 而是貫穿于本科的四年時間之中，使職前體育教師每年都有機會到合作的中小學進行專業(yè)體驗。以悉尼大學體育教育專業(yè)為例，從大學第一年起，學院每學期都會安排學生到中小學進行實習(總共80天)，實習的時長將隨著學生教學水平的提高而逐漸增加(表5)。

3 三熱光源的三階時間干涉

我們還可以進一步在圖2中增加光源S3，中心頻率為ω3， A、B、C三個光子由3個光源發(fā)出，就可以得到3熱光源的三階時間干涉.用同樣的方法列表統(tǒng)計3個光源發(fā)出3個光子的所有可能情況，如表3所示，此時共存在27種光源不可區(qū)分的情況. 3熱光源的三階關(guān)聯(lián)函數(shù)包含這27種情況下被探測到的3光子概率分布的貢獻，即

表3 三光源三階干涉中光源不可區(qū)分的各種情況

Φ(3)(t1,t2,t3)=〈|Φ1j(t1,t2,t3)+Φ2j(t1,t2,t3)+

…+Φ27j(t1,t2,t3)|2〉

(9)

每種情況下，A、B、C三個光子到達3個探測器D1、D2、D3仍然存在6種不可區(qū)分的路徑，與表2中完全相同. 因此，上式中每一項概率分布表達式的形式與式(7)相同，是6項相加，只是做角標的變化. 將費曼光傳播算子代入后就可得三光子三階關(guān)聯(lián)函數(shù). 由此可見，從雙光子的二階干涉到三光子的三階干涉，乃至更高階的干涉，分析思路相同，具有完全統(tǒng)一的理論解釋. 通過這種方法可以讓學生接觸到高階光子干涉. 對于多個積分路徑的難點，利用列表法更容易使學生理解. 隨著干涉階次增加，關(guān)聯(lián)函數(shù)包含的項數(shù)增多，會變得比較復(fù)雜. 對于多光子干涉比較復(fù)雜的關(guān)聯(lián)函數(shù)，我們可以利用計算機模擬來給學生直觀地展現(xiàn)干涉結(jié)果.

根據(jù)不同的分類標準，研究方法有不同的分類方式。以研究的目標或目的為標準，可分為“基礎(chǔ)研究”和“應(yīng)用研究”；以研究方法為標準，可分為“定性研究”和“定量研究”；以研究方式為標準，可分為“理論研究”“實驗研究”“調(diào)查研究”等。借鑒這些分類，本文將英語詞匯學習研究方法分類兩大類，一類是以實驗為基礎(chǔ)的實證研究，另一類是以理論分析為基礎(chǔ)的理論研究。

4 干涉結(jié)果的模擬

圖3是利用Mathematica軟件對二階和三階時間干涉結(jié)果進行的理論模擬.在圖3(a)雙光子二階干涉的結(jié)果中，可以看到在sinc2函數(shù)曲線的包絡(luò)中存在很多干涉峰，它是光子聚束和拍頻項共同作用的結(jié)果.圖3(b)是三光子的三階時間干涉的結(jié)果.可以看到，在中間主峰兩側(cè)出現(xiàn)了次峰，它是兩光子和三光子聚束之間量子路徑干涉的結(jié)果.我們可以說，多光子干涉是光子聚束和量子拍效應(yīng)共同疊加的結(jié)果. 利用模擬結(jié)果可以讓學生清楚地觀察到多光子干涉和拍的現(xiàn)象. 圖中改變頻率和相對時間延遲，還可以得到更多干涉規(guī)律[8].

圖3 (a)非簡并雙光子二階干涉模擬， (b)非簡并三光子三階干涉模擬 (設(shè)定t3=0，t12=t1-t2為相對時間延遲)

5 總結(jié)

我們利用費曼路徑積分理論推導(dǎo)了雙光子和三光子干涉的關(guān)聯(lián)函數(shù)，并且探討了將費曼路徑積分理論引入本科量子力學教學的可能性.費曼路徑積分對一階和高階干涉具有統(tǒng)一的理論解釋，利用這種方法可以讓學生比較容易接觸和理解高階干涉.對于多個積分路徑的難點，可以通過列表法來分析統(tǒng)計. 對于干涉結(jié)果，可以利用計算機模擬來直觀展現(xiàn).通過上述分析，使學生在其知識水平可以理解的范圍內(nèi)，對光子干涉和量子拍的現(xiàn)象有了深入的認識. 同時，也接觸到了當前量子光學的前沿研究問題. 這是我們教學內(nèi)容前沿性改革的一次嘗試.