王勝軍

(青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，青海 西寧 810008)

1 引言

文獻(xiàn)[1]首先建立Heisenberg群上的Picone恒等式

(1)

其中:u≥0，v>0，同時(shí)u，v是可微函數(shù).接著建立了Heisenberg群上的Hardy不等式

(2)

(3)

最近，文獻(xiàn)[3]在歐式空間上，關(guān)于p-laplace算子給出了如(4)式的更加一般的Picone恒等式

(4)

本文首先使用類似文獻(xiàn)[3]的方法將公式(4)推廣到各項(xiàng)異性Heisenberg群上，得到一類廣義Picone型恒等式(這個(gè)結(jié)果包含了公式(1))；接著利用這個(gè)結(jié)果，使用類似于文獻(xiàn)[4]的方法建立了各項(xiàng)異性Heisenberg上的廣義Hardy型不等式(得到了類似公式(3)的結(jié)果)，建立了各項(xiàng)異性Heisenberg群上的Barta不等式、廣義Liouville型定理及廣義Sturmian比較型定理.

下面陳述了有關(guān)各項(xiàng)異性Heisenberg群的一些基本知識(shí)，更多詳細(xì)的內(nèi)容以及證明可參考文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[4]-[7]及其中的參考文獻(xiàn).

(ξ，t)=(ξ1，ξ2，…，ξ2n，t)，(η，s)=(η1，η2…，η2n，s)∈R2n+1.對(duì)于(x，y，t)∈R2n+1，x=(x1，x2，…，xn)，y=(y1，y2，…，yn)，下列向量場(chǎng)

(5)

構(gòu)成了其李代數(shù)的基底.容易得到向量場(chǎng)X1，…，Xn，Y1，…，Yn滿足Heisenberg交換關(guān)系

而且是左不變的.

由(5)式中的向量場(chǎng)X1，…，Xn，Y1，…，Yn構(gòu)成H(a)上的次Laplace算子

(6)

是亞橢圓的和左不變的，相應(yīng)的水平梯度和散度分別為

▽H=(X1，…，Xn，Y1，…，Yn)，

H(a)上的p次Laplace算子形為

相應(yīng)于(6)式中的算子△H的一族各項(xiàng)異性的伸縮為

δτ(x，y，t)=(τx，τy，τ2t)，τ>0，(x，y，t)∈R2n+1.

(7)

由(7)式誘導(dǎo)的擬距離為

2 各項(xiàng)異性Heisenberg群p-退化橢圓算子的一類廣義Picone恒等式

下文中，總是假設(shè)g滿足下列條件，g：(0，∞)→(0，∞)是局部Lipchitz函數(shù)，且在(0，∞)上

(8)

幾乎處處成立.

定理2.1(廣義Picone恒等式)若10，且g滿足(8)式，設(shè)

則L(u，v)=R(u，v)≥0.而且在Ω上L(u，v)=0幾乎處處成立的充要條件是在Ω上u=kv幾乎處處成立，其中k∈R.

證明直接計(jì)算

得到L(u，v)=R(u，v).應(yīng)用Young不等式及(8)式，有

這樣L(u，v)=R(u，v)≥0.

由以下三個(gè)等式同時(shí)成立，

L(u，v)=R(u，v)，

可以得到：

(9)

令

當(dāng)v∈ω，由(9)得到

從而，有

(10)

當(dāng)v∈ωc，設(shè)

由L(u，v)=0，得

上式中，取g(v)=vp-1，得

(11)

注2.1 在定理2.1中，當(dāng)Ω=H(a)時(shí)，結(jié)論仍然成立.

注2.2 在定理2.1中，取g(v)=vp-1，u≥0，得到(1)式.

3 各項(xiàng)異性Heisenberg群上的廣義Hardy型不等式、Barta型不等式、廣義Liouville型定理及廣義Sturmian比較型定理

定理3.1(廣義Hardy型不等式)若v∈C1(H(a))，在Ω上v>0，并且滿足

-△H，pv≥λhg(v)，

(12)

等號(hào)成立的必要條件是u=kv.

令φ→u，就得到(12).由以上推導(dǎo)知道

2.2 兩組患者治療前后胎兒生長(zhǎng)指標(biāo)比較 治療前，兩組患者孕20周時(shí)胎兒BPD及FL比較，差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P>0.05)；治療后，用藥8周后胎兒BPD及FL顯著高于治療前(P<0.05)，且治療組明顯高于對(duì)照組(P<0.05)。見表2。

利用定理3.1，取g(v)=vp-1，容易得到類似于文獻(xiàn)[2]中的Hardy不等式.

定理3.3(Barta型不定式)若v滿足(12)及其條件，則下列不等式成立

等號(hào)成立時(shí)，有u=kv.

證明設(shè)

有

由定理3.1，得到

定理3.4(Liouville型定理)若c>0，g滿足(8)，則不等式

-ΔH，Pv≥cg(v)

(13)

證明假定v是(13)的一個(gè)正解，φ1是相應(yīng)于第一特征值λ1(Ω)的第一特征函數(shù)且λ1(Ω)

從而，得到

這是一個(gè)矛盾式，故定理3.4得證.

u=0，ξ∈?Ω

的一個(gè)正解，則方程

-△H，pv=f2(ξ)g(v)，ξ∈Ω

v=0，ξ∈?Ω

(14)

的任意非平凡解一定改變符號(hào).

證明假設(shè)v>0是(14)的一個(gè)解，由廣義Picone恒等式，有

這是一個(gè)矛盾式.因此假設(shè)錯(cuò)誤.即v在Ω上改變符號(hào).