周 薔

(湘南學院 經(jīng)濟管理學院 物流系,湖南 郴州 423000)

1 問題概述

本文主要探究根據(jù)題目中提供的數(shù)據(jù)信息，對整個同心鼓拓展項目進行數(shù)據(jù)可視化的物理分析.總的來說，一共要解決四個問題：

問題一：首先利用恢復系數(shù)的經(jīng)典力學接觸模型，求出碰撞過程中的能量損失ΔE.其次再根據(jù)基于線性阻尼的動態(tài)接觸模型，求出整個接觸過程中接觸力所作的功W(即為能量損失)，再根據(jù)ΔE=W解出接觸阻尼系數(shù)cn.最后，我們建立了計算鼓與球撞擊過程中速度衰減的復雜物理模型，通過Simulink系統(tǒng)仿真計算出球碰撞鼓面后速度恢復至碰撞前一刻的速度相同耗時0.22s，再通過計算所需合力的大小所得排球反彈時初速度為2.8m/s時，豎直方向上的合力為82.7N.最終解出排球彈起的最佳高度為40cm.

問題二：由第一問解出當高度為40cm時排球作自由落體運動需要耗時0.29s，利用此條件綜合考慮發(fā)力力度大小和發(fā)力時間對鼓面傾斜角度的影響，分別建立了發(fā)力力度大小與傾斜角度關聯(lián)的復雜物理模型和發(fā)力時間對鼓面傾斜角度關聯(lián)的復雜物理模型，得出水平位移和豎直位移的大小影響鼓面傾斜角度的結論.并最終求得兩種模型的傾斜角計算公式.將此傾斜角計算公式代入題目中所提供的9組數(shù)據(jù)最終求得序號1到序號9所對應的鼓面傾角(度)分別為：5.0976、5.7315、5.2802、4.5416、5.2336、4.9387、8.9904、5.8347、2.0533.

問題三：基于第一問第二問的模型，考慮到傾角的問題，所以對問題一策略改進的結果是：增大豎直方向上的合力，使球的反彈高度增加，在增加的時間內(nèi)，人做出對鼓面的調(diào)整.依據(jù)第一問的撞擊模型和問題二的傾斜模型，以第二問的數(shù)據(jù)1作為算例，使小球高度為88.7cm，向上豎直合力為94.78N.

問題四：通過對問題一模型的改進，計算出球的能量損失，使得球水平速度降為0，定義恢復系數(shù)e，能量傳遞率η，得出其均與同心鼓與排球的質(zhì)量比t和恢復系數(shù)e有關.對微分方程求導，t=1時一階導數(shù)為零，二階導數(shù)小于零，為極大值點，η最大.當η達到最大值時，即為10名隊員們該發(fā)力的時機.

連續(xù)顛球的次數(shù)受多種因素的影響，比如同心鼓對球的作用力，團隊成員對同心鼓的作用力以及球的形變導致鼓的單自由度振動的影響等.主要需要解決的問題如下：

(1)在團隊成員可以準確控制力的大小和方向，以及時機的理想條件下，推算出該情形下的最佳協(xié)作策略模型，并求出最佳策略下球顛起的高度.

(2)在團隊成員不能做到發(fā)力時機和力度的精準控制的現(xiàn)實條件下，鼓面與水平面不再平行，即出現(xiàn)了相對于水平地面的傾斜角，在問題二給定的條件下，推算出團隊成員的發(fā)力時機和力度與鼓面傾斜角度的關系模型.

(3)在該模型中，由于理想條件下的模型和現(xiàn)實條件的模型存在一定的差異，故在現(xiàn)實情形中運用問題一所建立的模型需要進行一定的調(diào)整，并給出調(diào)整的方案.

(4)由于鼓面的傾斜，球跳動方向也隨之傾斜，故需要團隊成員調(diào)整拉繩使得球調(diào)整為豎直的彈跳狀態(tài).在問題四給定的條件下，求在理想條件下團隊成員的發(fā)力時機和力度的調(diào)整拉繩模型，以及分析在現(xiàn)實情形條件下調(diào)整策略模型的實施效果[1-3].

以下對上述問題進行分析.

對于問題一：該題涉及到很多的物理知識.根據(jù)題目可得到的初始條件有：球的高度及其質(zhì)量、重力加速度g以及同心鼓的質(zhì)量等，而已知的限制條件主要：有隊員的人數(shù)、隊員之間的最小距離以及球距離鼓面的豎直高度，所以本題的最佳策略的要求是每個隊員要用最小的拉力以及考慮其被抵消后，仍能使排球被顛起的最終高度大于40cm.

由于該問題是在理想的狀態(tài)下進行的，因此每個隊員的用力方向、時機和力度是可以根據(jù)解答的需要去設定的.當對球進行受力分析時可知，球主要受到各隊員沿著繩子向上的作用力，根據(jù)物理知識可分析出抵消后的力最終會使球做上升的運動，則可從它的速度和上升的高度進行分析.要解出最佳協(xié)作策略，還需要求出繩子的長度以及每個隊員的最小用力.

對于問題二：主要涉及到的還是受力分解的知識，即將合力分解為x、y坐標平面上的分力，其合力正好處于z軸上.關于鼓面的傾斜角度問題，首先只需要將8個人的作用力與鼓面的力，平均地分為8個部分(可將每個點視為一個質(zhì)點)，然后根據(jù)每個質(zhì)點作用力和高度的不同，并且每個質(zhì)點的高度(即人抓著繩子末端的高度)也可能不同，此時的最高點與最低點的高度差，可以產(chǎn)生傾斜角度.而這個傾斜的角度即為要求的答案.

此外，本問題存在0.1s與-0.1s、0s時刻，并且該問題中指定了初始位置(排球未與鼓面發(fā)生碰撞導致鼓面下移)為鼓面相對繩子水平高度下降了11cm，這個時候倘若將鼓面與繩子處于同一平面的話，就會有鼓面上升的階段，該階段就具有時刻值的問題.

對于問題三：關于是否要調(diào)整的問題，主要分為兩個方面：

(1)在所有人用力一致的時候，倘若球尚未達到鼓面時，鼓面就已保持了水平狀態(tài)，這種情況即無需調(diào)整；倘若這種情況下鼓面還沒有處于水平狀態(tài)的話，就需要進行調(diào)整.

(2)當所有人用力不一致時，不管球面是否有接觸到鼓面，都需要對其進行調(diào)整，從而使得鼓面保持水平狀態(tài).

在第一問的最佳策略中，只是簡單地人數(shù)分配以及在假設每個人作用的分力相同的條件下進行的，它成功的最關鍵的問題在于每個人作用分力的時間是不一致的，這也是解決第三問的關鍵所在，同時在闡述分析時，也需要對問題一和問題二進行詳細地分析，保持內(nèi)容的完整.

對于問題四：當由于鼓面的傾斜而導致球跳動方向不再豎直時，要找出調(diào)整策略，主要的解題思路有：

(1)當鼓面發(fā)生了一定程度的傾斜時，鼓面在水平方向上的高度差仍然是確定的，這與問題一的力度的分析是一致的，只是隊員人數(shù)、繩子的長度以及球反彈的高度有所改變，要求調(diào)整拉繩策略的必要的發(fā)力時機和力度，可以從問題一建立的模型入手；

(2)由于最優(yōu)的發(fā)力時機和力度是分段進行的，要使傾斜的鼓面在最短的時間內(nèi)變?yōu)樗剑瑒t需要每個人力的作用以及發(fā)力的時間存在差異性，重點解決的問題是發(fā)力的時機以及發(fā)力的持續(xù)時間，這些都與傾斜后的鼓與水平面的高度差有關；

(3)由于現(xiàn)實情況的不可控性，該調(diào)整策略的實施效果可能會出現(xiàn)略差于實驗研究的實施效果的情況，可以通過列舉特例進行對比.

2 同心鼓協(xié)同模型分析

2.1 基本假設

(1)假設忽略空氣因素對球的影響；

(2)假設落點為光滑的水平面，不產(chǎn)生摩擦力；

(3)假設在連續(xù)顛球的過程中每個人的作用力不會發(fā)生突變(避免繩子掉落的情況)；

(4)假設忽略在鼓面震動過程中有外界干擾其震動頻率的因素；

(5)假設排球在接觸鼓面之后立即產(chǎn)生形變和反彈，過程所有的勢能忽略不計；

(6)假設物體發(fā)生形變后，不發(fā)熱、發(fā)聲，且其形變能夠恢復，該過程沒有動能損失.

2.2 符號說明

符號名稱符號意義va-、va+分別表示a物體碰撞前與碰撞后相對于地面的速度vb-、vb+分別表示b物體碰撞前與碰撞后相對于地面的速度δ接觸區(qū)域滲透深度,即接觸形變δ(0)接觸瞬間相對速度en碰撞前后法向相對速度之比rx隊員之間的最小距離,其值不得小于60cm

2.3 模型的建立與求解

2.3.1 問題一的模型建立及問題的求解

(1)恢復系數(shù)的經(jīng)典力學接觸模型

經(jīng)典力學接觸模型主要使用恢復系數(shù)來描述接觸碰撞的過程，這是一種對碰撞過程的簡化處理方法.模型假設接觸過程是在瞬間完成的，物體在碰撞瞬間位置保持不變，速度會發(fā)生突變.碰撞過程中，由于碰撞物體的速度是不連續(xù)的，無法計算接觸力.

古典碰撞理論不考慮碰撞過程中的變形，稱作剛性碰撞.對此模型，僅用一個恢復系數(shù)來表示碰撞前后的狀態(tài)，定義碰撞前后法向相對速度之比，其定義為：

(1)

其中：va-、va+、vb-、vb+分別表示為a、b物體碰撞前后相對于地面的速度.根據(jù)動能定理，碰撞過程中的能量損失ΔE的關系可表示為：

(2)

將(1)式代入(2)式化簡可得：

2.3.2 基于線性阻尼的動態(tài)接觸模型

動態(tài)接觸模型可將接觸現(xiàn)象作為連續(xù)的動力學過程進行處理，能比較簡化地求解碰撞過程中各個物理量的時間變化過程.建立合理的碰撞過程模型，是應用動態(tài)接觸理論的關鍵.本題主要討論的是基于線性阻尼模型的動態(tài)接觸模型，將接觸力等效為接觸物體之間的彈簧阻尼力.

圖1 基于線性阻尼模型的動態(tài)接觸模型圖示

由于排球和鼓面形狀比較規(guī)則且碰撞相對速度不大，根據(jù)赫茲接觸理論，接觸剛度系數(shù)與接觸物體的材料屬性和接觸表面的幾何形狀有關，可得以下計算式：

其中：μ1、μ2、E1、E2、R1、R2分別表示排球和鼓面的材料的泊松比，彈性模量以及曲率半徑.

假設當鼓面與排球相接觸時，取鼓面曲率半徑R2=∞，使用線性阻尼模型模擬接觸過程，可將其近似為一個單自由度系統(tǒng)，表示為：

根據(jù)ΔE=W，可得阻尼比與恢復系數(shù)之間的關系表達式為：

2.3.3 排球的自由下落過程

排球下落的過程中初速度為0，由于速度較低，故其所受的空氣阻力數(shù)值很小，因此可認為排球只受重力作用，根據(jù)動力學公式，有：

根據(jù)圖2可以得到，各個隊員圍成的圓環(huán)半徑計算式為：

其中：rx是隊員之間的最小距離，其值不得小于60cm；N是隊員的個數(shù)，其值最小為8人.

圖2 人與鼓的分布圖

圖3 繩牽引受力分析圖

如圖3所示：鼓和繩子的牽引位置在鼓的中間H/2處.假設顛球過程中，隊員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置，因此，人對鼓的拉力是沿著繩子的方向.所以在顛球過程中，相當于鼓與球做相遇運動.對繩子的拉力進行正交分解后，球與鼓碰撞時改變運動雙方的運動狀態(tài)的應為法向方向上的力.可得：

根據(jù)牛頓第二定律，得：

F∑y-mbg=mba

F∑x=0

F∑y=N·Fcosφ

F∑y表示繩對鼓在豎直方向的合力，且繩對鼓在水平方向的合力F∑x為0.

2.3.4 模型的建立及求解

由于題目假設每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度，而同心鼓項目的目標是使連續(xù)顛球的次數(shù)最多.那么在理想條件下，如果沒有時間限制，連續(xù)顛球的次數(shù)將會是無限多，然而這樣的討論是沒有意義的.所以應假設在單位時間內(nèi)顛球的次數(shù)盡可能多，即為最佳協(xié)作方案，換句話也就是說：在單位時間內(nèi)，降低球顛起的高度來增加顛球的次數(shù)，將球彈起的高度設定為達到40cm即可，這樣就可以做到在單位時間內(nèi)顛球次數(shù)最多，且是連續(xù)顛球[4,5].

(1)鼓與球撞擊過程中速度衰減的計算

假設初始位置即鼓最開始擺放的位置，在鼓面與排球碰撞后鼓面下降高度為持球人手部以下11cm，這個高度正好達到鼓的高度的一半.將球的放置高度為40cm，效果如圖4所示：

圖4 初始位置的確定

同時，設定在鼓面與球相碰撞時，該時刻的碰撞是所在的平面為初始水平面，在此基礎上，可設定該水平面為基準面，球的最低高度不能低于基準面上40cm，效果圖如圖5.

圖5 水平面的定義

在此設定的前提上以及上文所做模型的準備，可知小球撞擊前初速度，通過Simulink系統(tǒng)仿真計算得可到如下結果(如圖6)：

圖6 碰撞臨界速度圖

其中：va表示球的速度，vb表示鼓的速度，v0表示va與vb的相對速度.

如圖6所示，該圖表示在碰撞過程中，從碰撞開始到碰撞結束的球與鼓的速度變化.由圖可知：(1)在碰撞后的0s處，球與鼓的速度分別為2.8m/s，-1.653m/s，速度方向相反.在碰撞過程中，速度不斷衰減；(2)在碰撞后0.1073秒處，兩物體形變量最大，兩物體反向運動，球的速度與初始速度大小相等，方向相反；(3)由于存在人對鼓的拉力作用，最終使鼓做反向的運動，并由于撞擊使得能量逐漸衰減.

由于模型本身的不足，動態(tài)接觸模型計算出的能量為系統(tǒng)損失的總能量，球與鼓接觸時均發(fā)生彈性形變，且撞擊后的兩者分別所損失的能量占總損失能量之比無法確定.由于鼓的質(zhì)量是球的質(zhì)量的13.33倍，動量差距較大，可以近似認為鼓損失了系統(tǒng)的全部能量，于是球將滿足動量守恒定律，最終球恢復速度大小與原來速度相同，整個過程持續(xù)0.22s.

(2)計算所需和力的大小

因為假設前提是所有拉繩的人提供相同大小且持續(xù)不突變的力，力的方向為沿繩方向，由于所有人位置都對稱，那么水平方向上合力始終為零.要使小球彈起高度為40cm，那么小球彈起的速度依然為2.8m/s，方向由豎直向下轉變?yōu)樨Q直向上的勻減速直線運動，如圖7所示.

圖7 豎直方向合力大小與碰撞后排球法量速度的線性關系圖

由于我們已知撞擊后的速度衰減模型，為了能夠使球反彈時初速度為2.8m/s，本文通過Simulink系統(tǒng)仿真模擬圖7撞擊過程，通過不斷施加大小不同的力，得出不同的豎直方向法向的合力作用下，撞擊后的球速度變化.經(jīng)過我們幾次模擬仿真得到的數(shù)據(jù)進行擬合，排球法向速度與豎直方向合力大小呈線性關系.(線性函數(shù)式)所以當排球速度為2.8m/s時，豎直方向上的合力為82.7N.

(3)比較準備時間和球體下落時間(模型檢驗)

由于本問的前提是使高度盡可能小，這樣可能會導致當球體下落時間小于鼓提前準備的時間，使球到達預計撞擊位置(水平面)時，鼓沒有做好準備以相同的位置去撞擊球.這樣本問的策略將會失敗.故本問只需要比較第一次撞擊后球回到最高高度即高度為40厘米的時間與鼓回到初始位置的時間作比較.

由動力學方程：

其中：t1為球的運動時間，t為鼓的運動時間，v0為球的初速，v1為鼓的初速.經(jīng)檢驗t1大于t2.

2.4 問題二模型建立及問題的求解

分析了排球不考慮空氣阻力下的自由落體運動，40cm的距離需要耗時0.29s左右，而在本問題中，需要討論的是隊員們的不同發(fā)力時機和力度下，0.1s時的鼓面傾斜角度，因此在該階段還未涉及到接觸碰撞問題.根據(jù)運動的合成與分解，在不同的發(fā)力時機和力度下，影響鼓面傾斜角度(圖8)的是水平位移和豎直位移的大小[5-8].

圖8 鼓面斜角的示意圖

2.4.1 只考慮發(fā)力力度大小對鼓面傾斜角度的影響

在計算鼓面斜角數(shù)據(jù)時，設1、2、3組數(shù)據(jù)均為同一時刻發(fā)力，相較于所有力均為80N的情況，由于水平方向合力的存在，鼓面會產(chǎn)生傾斜，如圖9所示.

圖9 發(fā)力力度與傾斜角度示意圖

每一個隊員施加在鼓面上的水平分量為：

Fxi=Fisinφ

豎直分量為：

Fyi=Ficosφ

F∑y-mbg=mbay

F∑x=mbax

豎直方向位移為：

水平方向位移：

因此，傾斜角的計算公式為：

2.4.2 只考慮發(fā)力時機對鼓面傾斜角度的影響

在計算鼓面斜角數(shù)據(jù)時，設4、5、6組數(shù)據(jù)均為同樣的發(fā)力力度，相較于所有力均為80N的同時作用情況，由于某些隊員會提前發(fā)力，鼓面會產(chǎn)生傾斜.

每一個隊員施加在鼓面上的水平分量為：

Fxi=Fisinφ

豎直分量為：

Fyi=Ficosφ

在-0.1s～0s過程中：Fy=mbay1

Fx=mbax1

在0s～0.1s過程中：

F∑y-mbg=mbay2

F∑x=mbax2

豎直方向和水平方向位移由-0.1s～0s和0s～0.1s兩部分組成，其中t=0.1s，可得：

(3)

(4)

得傾斜角的計算公式仍為：

(5)

2.4.3 綜合考慮發(fā)力時機和發(fā)力力度大小對鼓面傾斜角度的影響

在計算鼓面斜角數(shù)據(jù)時，設7、8、9組數(shù)據(jù)綜合考慮了不同的發(fā)力時機和發(fā)力力度，相較于之前兩種情況，綜合影響了運動方程里的合力和作用時間，致使豎直方向和水平方向的位移發(fā)生變化，有的作用效果會相互抵消，有的會相互疊加，最后表現(xiàn)在鼓面的傾斜角度差異，最終得到表1.

表1 鼓面斜角數(shù)據(jù)

分析求解出來的表格數(shù)據(jù)可以看出，提前發(fā)力或增大發(fā)力力度會使得鼓面傾角增大.對稱分布的8名隊員中，同一側的作用效果相互疊加，鼓面傾角增大；異側的作用效果相互抵消，鼓面傾角減小.

2.4.4 模型建立及問題的求解

在游戲開始的那一刻由于八名隊員之間的用力大小和時機不同，鼓面會發(fā)生一定程度上的傾斜.這樣一來撞擊的時間和位置都會發(fā)生變化，為了使問題一中的策略依然成立，我們將策略做一些改動.

由于鼓面在發(fā)生撞擊之前就已經(jīng)發(fā)生傾斜，需要時間調(diào)整.由于球的下落時間與球的最高高度成正比，即球在做初速度為0，加速度為g的恒加速運動.

由牛頓第二定律可得：

其中：x為數(shù)值位移，t為運動時間.

由此我們的策略調(diào)整為適當升高球彈起的高度，預留時間去做調(diào)整，使得當球每次落在水平面時，始終可以保持鼓面以水平的姿態(tài)去撞擊，依然使高度盡可能的小，來保證在單位時間內(nèi)擊球的次數(shù)盡可能的多這一大前提不變.

2.4.5 鼓面調(diào)整時間的計算

由問題2傾角計算模型可知數(shù)值位移與水平位移之比計算出在一段時間之后鼓的傾斜角度，由公式(3)、(4)、(5)可得：

根據(jù)前文所述，可知反向加速度矢量和滿足如下關系式：

其中：F-Σy為反向豎直力的矢量和，大小等于FΣy(下同)，F(xiàn)-∑x為反向水平力的矢量和，a-x為反向水平加速度、a-y為反向豎直加速度,并且已知該點的水平速度和位移速度，所以根據(jù)牛頓定律，整理可得，時間t滿足如下關系式：

vx=a-x·t特

vy=a-y·t特

其中:v-y、v-x分別為反向豎直速度和反向水平速度，大小不變，方向均與原方向相反，Φ為第二問中求出的鼓面的傾斜角度.

所以我們將問題抽象為質(zhì)點在水平方向和豎直方向的加速度方向與速度方向反向(圖10所示)的減速運動并使位移求和最終為零.

圖10 由傾斜恢復至水平受力示意圖

2.4.6 數(shù)值向上合力大小的計算

合力計算依據(jù)第二問情況1，作為算例.已知回復時間可算出鼓面恢復水平時間，利用此時間，反推球與鼓撞擊前的速度大小.依據(jù)速度大小，亦可反推豎直合力，故需要給出計算結果，如圖11所示.

圖11 鼓面傾斜下撞擊力示意圖

2.5 問題三模型建立及問題的求解

2.5.1 模型的建立——碰撞速度的矩陣模型

考慮鼓面與排球的碰撞，對碰撞前與碰撞后的速度關系使用矩陣來簡明表達，分析碰撞之前與碰撞之后的能量組成和其關系，求出能量損失和傳遞率的表達式，以便解決鼓面與排球的碰撞問題.

以下為碰撞速度的矩陣模型的表示方法：

根據(jù)動量守恒定理，有：

(6)

因為有恢復系數(shù)e則有：

(7)

即：

u′=-eu

(8)

綜上可得：

(9)

(10)

使用矩陣來表示碰撞前后的速度關系為：

(11)

可得鼓與排球之間碰撞前與碰撞后的關系：

(12)

(13)

使用矩陣表示為：

(14)

由此即建立了碰撞速度的矩陣模型.

2.5.2 模型的求解——能量分析的方式

經(jīng)過分析，碰撞前后，鼓與排球的動能分別為：

(15)

(16)

該碰撞系統(tǒng)的能量損失為碰撞前后的有效動能之差：

(17)

(18)

由碰撞前后的矩陣表示可得：

(19)

(20)

結合上述公式，可得Ed為：

(21)

比較ΔEk可知，Ed=ΔEk，碰撞前后系統(tǒng)的有效動能相等.

鼓傳遞給排球的動能E2g與鼓的動能之比為能量傳遞率η，其為：

(22)

(23)

恢復系數(shù)e的值介于0與1之間，能量傳遞率η與鼓與排球的質(zhì)量比t和恢復系數(shù)e有關，為了使η最大，作如下討論：

(1)若t恒定，則e=1時，發(fā)生完全彈性碰撞，η最大，e=0時，發(fā)生完全非彈性碰撞，η最大.

結合上述公式，使用Matlab編程得到圖12，由此可得：10名隊員在調(diào)整相對于豎直方向傾斜角度為1度的排球時，每位隊員應該發(fā)力的時機，由此可知位于2、4、8號位置隊員需要提前發(fā)力，其余位置的隊員需要晚一拍才發(fā)力，這種策略把排球恢復為相對于豎直方向傾斜角度為0度.

圖12 調(diào)整排球至豎直彈跳每個隊員應該發(fā)力的時間點示意圖

3 結語

(1)本文運用了Matlab工具準確地對數(shù)據(jù)進行了處理，并利用Simulink系統(tǒng)來對數(shù)據(jù)進行仿真和計算，同時進行數(shù)據(jù)擬合.能夠準確得到理想的曲線以及圖像，比如鼓膜與排球發(fā)生碰撞之后，建立豎直方向合力大小與碰撞后排球法量速度的線性關系圖；

(2)建立模型的時候充分考慮了排球和鼓面的材料的泊松比，彈性模量以及曲率半徑，求得的數(shù)據(jù)更為接近實際情況;

(3)采用了經(jīng)典力學接觸模型，這種模型主要使用恢復系數(shù)來描述接觸碰撞的過程，是一種對碰撞過程的簡化處理方法;

(4)動態(tài)接觸模型可將接觸現(xiàn)象作為連續(xù)的動力學過程進行處理，能比較簡化地求解碰撞過程中各個物理量的時間變化過程.

模型的缺點:

(1)由于忽略空氣因素對球的影響，實際上排球彈起在空中時都是帶一定程度的自旋的，這種球體自發(fā)性的旋轉會與空氣產(chǎn)生一定的摩擦，這種摩擦會損耗球體運動的總能量;

(2)建立模型的時候考慮鼓膜表面的振動頻率和排球形變的約束條件時不夠細致，在實際情況中在排球與鼓膜碰撞的那一刻是會互相作用力的，這個力包括鼓膜表層的振動和排球的形變，這個約束條件可以更進一步地去完善模型;

(3)在計算模型的時候由于數(shù)據(jù)量較少，導致仿真和計算時會產(chǎn)生偏差，尤其是求解的時候，倘若數(shù)據(jù)量更多一些的話最終求出來的值和角度會更加的仿真.