朱敏敏，楊 麗，廖艷華

(湖北理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃石 435003)

在過(guò)去的60年里，研究者們?cè)谟镁Ц衲Ｐ蛠?lái)確定物質(zhì)相變點(diǎn)附近的臨界行為方面做了很多工作，使人們更深入地理解了磁性固體中的有序和無(wú)序現(xiàn)象。自從 Onsager開(kāi)拓性地提出晶格的二維伊辛模型[1]的精確解求解方法以來(lái)，利用推廣的Onsager方法陸續(xù)地得到了其他二維晶格模型的精確解[2]，如三角形蜂窩狀晶格[3-5]以及正方形二維模型[6-7]。

在三角形格點(diǎn)的相關(guān)研究中，幾何阻挫問(wèn)題不可回避[8]，其主要基于三角形和四面體結(jié)構(gòu)。但Waldor等[9]結(jié)合伊辛模型指出，類似Penrose圖案的五邊形晶格里也存在阻挫現(xiàn)象，并利用傳遞矩陣法精確地求出了該模型的解析解。此外，Rousochatzakis等[10]在Cairo的伊辛模型幫助下，對(duì)五邊形格點(diǎn)進(jìn)行了研究，討論了臨界溫度和自發(fā)磁化強(qiáng)度等性質(zhì)。

近年來(lái)，研究者們發(fā)現(xiàn)反鐵磁材料Bi2Fe4O9中的Fe3+晶格具有五邊形晶格結(jié)構(gòu)。Singh等[11]利用五邊形海森堡模型對(duì)其進(jìn)行了討論，發(fā)現(xiàn)這種材料具有明顯的阻挫現(xiàn)象。同時(shí)，利用晶格動(dòng)力學(xué)方法對(duì)Bi2Fe4O9中的聲子結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論模擬，研究結(jié)果也表明其結(jié)構(gòu)中存在阻挫。此外，Bi2Fe4O9的偏振拉曼光譜實(shí)驗(yàn)也證實(shí)該材料在10～300 K時(shí)會(huì)出現(xiàn)阻挫現(xiàn)象[12-13]。Isoda等[14]也通過(guò)推廣的玻色子Hubbard模型，使用數(shù)值量子隨機(jī)級(jí)數(shù)展開(kāi)與蒙特卡羅方法對(duì)五邊形晶格進(jìn)行了理論研究，但采用伊辛模型研究有限格點(diǎn)的量子現(xiàn)象，還鮮有討論。

本文利用伊辛模型，通過(guò)建立熱力學(xué)配分函數(shù)，研究磁場(chǎng)和格點(diǎn)間的交換強(qiáng)度對(duì)磁矩、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和熵的影響，旨在為具有五邊形格點(diǎn)的準(zhǔn)晶的微觀狀態(tài)研究提供幫助。

1 建模與計(jì)算

利用伊辛模型對(duì)正三角形和正方形構(gòu)成的五邊形格點(diǎn)進(jìn)行建模，并通過(guò)熱力學(xué)函數(shù)來(lái)研究該格點(diǎn)間的量子磁化機(jī)制。由正三角形和正方形構(gòu)成的五邊形格點(diǎn)模型示意圖如圖1所示，其中，圓圈處代表具有自旋的格點(diǎn)。假設(shè)該格點(diǎn)受到沿Z軸方向的外加磁場(chǎng)B的作用，則每個(gè)格點(diǎn)的自旋在Z軸方向上的投影有2個(gè)方向，分別是向上(+)或向下(-)，大小均為1/2。

圖1 由正三角形和正方形構(gòu)成的五邊形格點(diǎn)模型示意圖

伊辛模型下，圖1五邊形格點(diǎn)的哈密頓量可表示為：

H=J1SZ(1)SZ(2)+J2SZ(2)SZ(3)+J3SZ(3)SZ(4)+J4SZ(4)SZ(5)+J5SZ(5)SZ(1)-B[SZ(1)+SZ(2)+SZ(3)+SZ(4)+SZ(5)]

(1)

根據(jù)式(1)中的哈密頓量，結(jié)合伊辛模型特點(diǎn)，考慮最近鄰格點(diǎn)間的相互作用，有J1=J2=J3=J4=J5=J,系統(tǒng)的能量本征值由五邊形格點(diǎn)32種自旋組合模式給出：

根據(jù)能量本征值，系統(tǒng)配分函數(shù)為：

(2)

根據(jù)磁矩與配分函數(shù)的關(guān)系，可得磁矩與外加磁場(chǎng)和格點(diǎn)間交換強(qiáng)度關(guān)系為：

(3)

格點(diǎn)間自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)為：

(4)

(5)

系統(tǒng)的熱力學(xué)熵為：

(6)

式(6)中，Ω為狀態(tài)數(shù)；k為玻爾茲曼常數(shù)。

2 五邊形格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)與磁化過(guò)程的微觀機(jī)制

2.1 五邊形格點(diǎn)磁化過(guò)程

根據(jù)式 (2)～(6)，繪制出五邊形格點(diǎn)的磁矩、熱力學(xué)熵和自旋關(guān)聯(lián)分別隨交換強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化曲線如圖2～9所示。由圖2可以看出，對(duì)于一定的磁場(chǎng)強(qiáng)度(如B/kT=5), 隨著交換強(qiáng)度J/kT由負(fù)值變?yōu)檎?，磁矩M越來(lái)越小。

曲線的變化態(tài)勢(shì)說(shuō)明五邊形格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)由鐵磁態(tài)過(guò)渡到反鐵磁態(tài)，最終磁矩變?yōu)橐粋€(gè)電子的剩余磁矩，且為正值，此時(shí)自旋方向和磁場(chǎng)方向保持一致。這一變化過(guò)程也表明，當(dāng)交換強(qiáng)度為負(fù)值時(shí)，系統(tǒng)偏向于鐵磁關(guān)聯(lián)；交換強(qiáng)度為正值時(shí)，系統(tǒng)偏向于反鐵磁關(guān)聯(lián)。由圖2還可以看出，當(dāng)磁場(chǎng)很小時(shí)，如B/kT=1時(shí)，系統(tǒng)的最大磁矩接近2.5，表明此時(shí)的交換強(qiáng)度和磁場(chǎng)使得五邊形中格點(diǎn)的自旋都指向Z軸的正方向。當(dāng)交換強(qiáng)度足夠大時(shí)，磁矩最終會(huì)接近至0.25左右，而不是0.5，這表明格點(diǎn)中存在阻挫，系統(tǒng)是一個(gè)量子混合態(tài)。隨著磁場(chǎng)增大，如B/kT=10時(shí), 系統(tǒng)的最大磁矩為2.5，說(shuō)明此時(shí)磁矩趨于飽和，5個(gè)格點(diǎn)的自旋方向一致；而此時(shí)的最小磁矩接近0.5，表明磁場(chǎng)能消除部分交換強(qiáng)度對(duì)格點(diǎn)形成的反鐵磁的影響，展現(xiàn)了磁場(chǎng)與交換強(qiáng)度的一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制。特別地，我們繪制了B/kT=0的曲線，此時(shí)磁矩為0。這是由于在沒(méi)有外加磁場(chǎng)下，交換強(qiáng)度會(huì)使格點(diǎn)之間形成反鐵磁關(guān)聯(lián)，但格點(diǎn)的自旋方向是隨機(jī)的，所以總磁矩為0。

圖2 不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下，磁矩隨交換強(qiáng)度的變化曲線

由圖3可以看出，當(dāng)磁場(chǎng)足夠大時(shí)，五邊形格點(diǎn)中的自旋均會(huì)朝向磁場(chǎng)方向，完全被磁化，所以曲線中總磁矩最大值為2.5。當(dāng)晶格之間交換強(qiáng)度較小時(shí)，如J/kT=1時(shí)，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度正向增大，磁矩快速變化，表明格點(diǎn)會(huì)被迅速磁化；隨著交換強(qiáng)度變大，如J/kT=15時(shí)，磁矩變化速度放緩。從圖3也能觀察到曲線都通過(guò)坐標(biāo)(0,0)點(diǎn)，且關(guān)于該點(diǎn)對(duì)稱。這是因?yàn)楫?dāng)磁場(chǎng)為0時(shí)，每個(gè)格點(diǎn)的自旋方向是隨機(jī)的，自旋的方向在某一方向上都不比其他方向有優(yōu)勢(shì)，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度來(lái)看，各個(gè)方向的概率相同，故而宏觀體現(xiàn)出來(lái)的是0。同時(shí)，隨著交換強(qiáng)度變大，如J/kT=5，10，15時(shí)，在M=0.5處會(huì)出現(xiàn)臺(tái)階，且臺(tái)階的寬度會(huì)隨著交換強(qiáng)度的增強(qiáng)而變寬，這是由磁場(chǎng)與交換強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)所導(dǎo)致。磁矩為0.5的情況，可以通過(guò)圖4和圖5進(jìn)行解釋。

圖3 不同交換強(qiáng)度下，磁矩隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化曲線

圖4 不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下，熵隨交換強(qiáng)度的變化曲線

圖5 不同交換強(qiáng)度下，熵隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化曲線

圖4和圖5描繪的是一定磁場(chǎng)(交換)強(qiáng)度下熵隨交換(磁場(chǎng))強(qiáng)度的變化情況。利用公式(6)可以觀察系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)數(shù)，運(yùn)算時(shí)取k=1。由圖4可以看出，對(duì)應(yīng)一定的磁場(chǎng)強(qiáng)度，當(dāng)交換強(qiáng)度為負(fù)值時(shí)，系統(tǒng)微觀狀態(tài)為0。這是由于當(dāng)存在正向磁場(chǎng)和負(fù)的交換強(qiáng)度時(shí)，五邊形格點(diǎn)間存在純粹的鐵磁關(guān)聯(lián)，格點(diǎn)的自旋狀態(tài)只有一個(gè)；隨著負(fù)的交換強(qiáng)度減小，格點(diǎn)間的鐵磁關(guān)聯(lián)減弱，五邊形各格點(diǎn)自旋方向狀態(tài)數(shù)增多，熵變大。此外，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度增大，峰值會(huì)隨著交換強(qiáng)度的增加而右移，表明交換強(qiáng)度與磁場(chǎng)存在競(jìng)爭(zhēng)。從圖5可以看出，熵圖呈現(xiàn)了左右對(duì)稱性，這一特性也反映出圖3中磁矩關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況。這里需要特別指出的是，對(duì)于圖4和圖5，當(dāng)J/kT=0，B/kT=0時(shí)，五邊形總的狀態(tài)個(gè)數(shù)是32個(gè)，這是由于在沒(méi)有交換強(qiáng)度和磁場(chǎng)影響下，每個(gè)格點(diǎn)自旋有向上或向下2種情況，5個(gè)格點(diǎn)自旋的組合個(gè)數(shù)就是32種。隨著交換強(qiáng)度增加，格點(diǎn)間形成的鐵磁關(guān)聯(lián)越來(lái)越強(qiáng)，所以狀態(tài)數(shù)會(huì)越來(lái)越少，在B/kT=0處的峰高會(huì)越來(lái)越低。這里我們也注意到，對(duì)應(yīng)一定的交換強(qiáng)度，如J/kT=15時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)會(huì)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化出現(xiàn)振蕩，這是由于系統(tǒng)在磁場(chǎng)增大過(guò)程中，交換強(qiáng)度與磁場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)數(shù)變化；而對(duì)于交換強(qiáng)度沒(méi)有或較小時(shí)，如J/kT=1時(shí)，由于交換強(qiáng)度不足以和磁場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，隨著磁場(chǎng)增大，五邊形格點(diǎn)的自旋會(huì)被快速磁化，向磁場(chǎng)方向偏轉(zhuǎn)，不會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。

2.2 五邊形格點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)

五邊形1，2格點(diǎn)和2，3格點(diǎn)之間的自旋關(guān)聯(lián)隨交換強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化曲線如圖6～9所示。由圖6可以看出，當(dāng)交換強(qiáng)度為負(fù)值時(shí)，由于其作用效果和正向磁場(chǎng)都會(huì)使格點(diǎn)自旋方向與磁場(chǎng)保持一致，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)鐵磁關(guān)聯(lián)，所以關(guān)聯(lián)度為0.5×0.5=0.25。隨著交換強(qiáng)度減小，鐵磁關(guān)聯(lián)隨之減小。當(dāng)交換強(qiáng)度為正值時(shí)，1與2格點(diǎn)間呈現(xiàn)反鐵磁關(guān)聯(lián)，同時(shí)，即使在B/kT=0時(shí)，即沒(méi)有外加磁場(chǎng)時(shí)，較大的交換強(qiáng)度也不能使五邊形格點(diǎn)間達(dá)到完全的反鐵磁關(guān)聯(lián)值-0.25，這是由阻挫所導(dǎo)致。這一現(xiàn)象可以通過(guò)比較圖6和圖7獲得驗(yàn)證。同為全同格點(diǎn)，1與2的關(guān)聯(lián)和2與3的關(guān)聯(lián)應(yīng)該相同，但實(shí)際情況是這2種關(guān)聯(lián)在交換強(qiáng)度為負(fù)值時(shí)相同，但在交換強(qiáng)度取正值時(shí)出現(xiàn)不同，這與文獻(xiàn)[15]討論的三角形阻挫情況類似。根據(jù)能量越低越穩(wěn)定的特點(diǎn)，系統(tǒng)的哈密頓量趨向能量最低，即反鐵磁關(guān)聯(lián)。但由于存在阻挫，2，3格點(diǎn)無(wú)法與1格點(diǎn)同時(shí)形成反鐵磁關(guān)聯(lián)，當(dāng)2，3格點(diǎn)形成反鐵磁關(guān)聯(lián)時(shí)，1與2格點(diǎn)反而存在一定幾率的鐵磁關(guān)聯(lián)(沒(méi)有達(dá)到完全鐵磁或反鐵磁關(guān)聯(lián)度0.25)。這些現(xiàn)象都表明系統(tǒng)存在鐵磁與反鐵磁的混合態(tài)。

圖6 不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下，1與2格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)隨交換強(qiáng)度的變化曲線

圖7 不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下，2與3格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)隨交換強(qiáng)度的變化曲線

圖8 不同交換強(qiáng)度下，1與2格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化曲線

圖9 不同交換強(qiáng)度下，2與3格點(diǎn)間的自旋關(guān)聯(lián)隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化曲線

3 結(jié)論

利用伊辛模型對(duì)由正三角形與正方形構(gòu)成的五邊形格點(diǎn)的晶格進(jìn)行了理論研究。在熱力學(xué)配分函數(shù)的幫助下，通過(guò)研究格點(diǎn)間的磁化強(qiáng)度、自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)和熱力學(xué)熵，得出了五邊形磁化的微觀機(jī)制，指出五邊形格點(diǎn)中會(huì)存在類似正三角形格點(diǎn)中的阻挫現(xiàn)象。同時(shí)，五邊形格點(diǎn)在磁化過(guò)程中呈現(xiàn)的磁化臺(tái)階與三角形個(gè)數(shù)不相同，且熵值出現(xiàn)振蕩，表明系統(tǒng)的微觀態(tài)會(huì)隨著磁場(chǎng)或交換強(qiáng)度的變化而變化。由于格點(diǎn)數(shù)增加后微觀態(tài)數(shù)會(huì)相應(yīng)變多，五邊形格點(diǎn)的磁化過(guò)程中的微觀態(tài)較為復(fù)雜。研究結(jié)果表明，通過(guò)有限格點(diǎn)的伊辛模型精確求解，所得出的五邊形磁化規(guī)律結(jié)論與采用數(shù)值方法獲得的無(wú)限格點(diǎn)的結(jié)論一致[14，16]。