劉鎧銘，周亞杰，趙述敏，王紅理

(西安交通大學(xué) 物理學(xué)院，陜西 西安 710049)

輕質(zhì)物體能在向上噴射的自由射流柱的邊緣部分處于穩(wěn)定的懸浮狀態(tài)，并在懸浮的同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)，稱此現(xiàn)象為流體懸浮. 物體在流體中的懸浮現(xiàn)象是目前備受關(guān)注的新興的物理問題，此問題涉及流體力學(xué)前沿的相關(guān)研究，如Navier-Stokes方程、邊界層理論等. 流體懸浮的應(yīng)用也很廣泛，比如核領(lǐng)域中國內(nèi)液體懸浮式非能棒控制系統(tǒng)[1]和國際上較為成熟的液體懸浮式非能動(dòng)停堆系統(tǒng)[2]，現(xiàn)代工業(yè)中液質(zhì)懸浮式永磁多自由度電機(jī)，等等.

1 流體懸浮模型

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

由水龍頭接軟管構(gòu)成供水系統(tǒng)，將軟管出水端固定，固定裝置由2個(gè)相同的鐵三角和鐵桿作為支撐，用可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字夾固定出水口，由磁鐵和鐵塊作為十字夾的穩(wěn)定裝置，使噴水的角度固定.

1.2 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)中，將圓柱體靜止地放在自由射流邊緣，脫手后在1 s內(nèi)，圓柱體會(huì)開始旋轉(zhuǎn)，高度趨于固定值，轉(zhuǎn)速基本保持恒定.

1.3 模型構(gòu)建及理論分析

懸浮模型如圖1所示，其中G為圓柱體重力，F(xiàn)1為水流沖力，F(xiàn)2為壓強(qiáng)梯度力，M1為水流黏滯力矩，Mf為空氣黏滯力矩.

圖1 圓柱體的懸浮模型

圓柱體懸浮時(shí)會(huì)圍繞平衡點(diǎn)輕微上下振動(dòng)，振幅近似不變，定義該點(diǎn)為輕質(zhì)物體的穩(wěn)定懸浮高度，此時(shí)圓柱體受力平衡：

F1+F2+G=0，

(1)

圓柱體穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速近似恒定，圓柱體受到的合力矩

M1+Mf=0,

(2)

無物體懸浮時(shí)，水柱的高度為h0. 每秒噴水質(zhì)量為mt，水流初始速率為vb，懸浮高度處水流速率為v0，由于過輕的物體無法懸浮，而稍重的物體懸浮高度h較低，所以實(shí)驗(yàn)中的vb與v0較為接近，可近似認(rèn)為水柱的半徑Rw等于水管的半徑Rl，在水柱擊打在圓柱體側(cè)面的瞬間，其動(dòng)量可以分為沿圓柱體橫截面的徑向和法向，其中沿圓柱體徑向的沖量全部轉(zhuǎn)化為對(duì)圓柱體的沖擊力F1，其大小為p0cosθ0，θ0為沖擊面中心點(diǎn)與圓柱體軸心的連線與豎直方向的夾角，稱為偏心角.

F1=p0Scosθ0,

(3)

將p0和S表達(dá)式代入(3)式，得：

(4)

式中h為穩(wěn)定懸浮高度，由于康達(dá)效應(yīng)，圓柱體側(cè)面形成繞流，繞流在向上的過程中由于黏滯阻力和重力作用速率會(huì)逐漸衰減、寬度增加、厚度逐漸變薄，繞過最高點(diǎn)后速率又逐漸增加、寬度增加、厚度繼續(xù)變薄，形成繞流.

先求解二維的速率分布(繞流范圍為平面不規(guī)則圓環(huán))，由于圓柱體側(cè)面左右對(duì)稱性，可以近似認(rèn)為處在同一高度、同一角度、同一厚度處的繞流速率相等，于是可以將二維模型拓展到三維. 設(shè)繞流覆蓋角度θ的范圍為2π，寬度為a，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，視其為定常流動(dòng)，任取一流體微元，其所處的厚度為d(θ)，速度為v(d,θ)，如圖2所示.

(a)側(cè)視圖 (b)俯視圖圖2 圓柱體的懸浮

當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，圓柱體側(cè)面任意位置處流體微元的速度和繞流的厚度不隨時(shí)間變化，用N-S方程描述繞流系統(tǒng)：

(5)

聯(lián)立連續(xù)性方程：

引入邊界層理論[1]描述繞流系統(tǒng)，不考慮外層黏滯阻力和無滑移條件，N-S方程可簡(jiǎn)化為

使用有限差分法得到微分方程組的數(shù)值解，時(shí)間步長(zhǎng)取0.1 s，空間步長(zhǎng)取10-5m，角度步長(zhǎng)取2π/100 ，確認(rèn)初始條件后對(duì)時(shí)間進(jìn)行迭代. 當(dāng)相鄰兩代之間的數(shù)據(jù)相差小于1%時(shí)停止迭代.

對(duì)于邊界層內(nèi)的流動(dòng)，其雷諾數(shù)[2]的數(shù)值為

式中，ρ為水流密度，取103kg/m3；v為繞流速度，v<10 m/s；L為特征長(zhǎng)度，這里指柱體的直徑,L在10-2m量級(jí)；μ為水的動(dòng)力黏度，在20 ℃時(shí)取1.01×10-3Pa·m. 由于雷諾數(shù)小于5×105,則可以將邊界層內(nèi)的流動(dòng)當(dāng)作層流來分析，δ表示邊界層厚度，則y處的速度可以寫成

泰勒展開并取一階近似，得：

V(y)=a0V.

將邊界層繞流與外層繞流速率分布結(jié)合得到完整的側(cè)面水流繞流速度場(chǎng)，如圖3所示.

圖3 水流繞流的速度場(chǎng)

圖3中緊貼圓柱體側(cè)面的1層水流速度降低不明顯，但水膜的厚度隨圓柱體旋轉(zhuǎn)變薄，動(dòng)量和能量的傳遞體現(xiàn)為水流動(dòng)量層厚度的損失，這部分水的動(dòng)量和能量變成圓柱體旋轉(zhuǎn)的角動(dòng)量和能量. 通過流速場(chǎng)求解壓強(qiáng)分布，邊界層內(nèi)壓強(qiáng)在垂直于壁面方向存在梯度,滿足動(dòng)量積分方程[3]：

使用思韋茨解法[1]求解，動(dòng)量厚度為t,則

U(x)為繞流流速分布，通過前面的有限差分法即可解得. 定義量綱為1的動(dòng)量厚度

結(jié)合流速分布和動(dòng)量厚度求解出各流體微元的黏滯力分布

對(duì)所有與圓柱體直接接觸的流體微元求和，得到黏滯力矩為

(6)

當(dāng)邊界層非常薄時(shí)，可忽略垂直于固體邊界的流速，則邊界層內(nèi)的N-S方程可以簡(jiǎn)化為

(7)

可得圓柱體側(cè)面的壓強(qiáng)分布p*(并且考慮繞流附加重力)，對(duì)所有微元求和得到壓強(qiáng)梯度力為

(8)

通過水流速度場(chǎng)可以求解得到空氣流速場(chǎng).

圖4是空氣流速場(chǎng)在5 min內(nèi)變化趨勢(shì)，空氣黏滯力矩在10-9N·m量級(jí)，圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在10-5kg·m2量級(jí)，因此可忽略空氣黏滯力矩.

平衡方程可以寫成：

F1+F2+G=0,

(9)

圖4 空氣速度場(chǎng)

1.4 數(shù)值模擬

設(shè)初始數(shù)組(ω,h)為(0，0)，分別以0.1 r/s和0.01 m為步長(zhǎng)增加(ω,h)，求出每個(gè)數(shù)組對(duì)應(yīng)的流速場(chǎng)，求出合力與合力矩，取合力與合力矩最接近0的數(shù)組，此時(shí)(ω，h)就是給定圓柱體的理想轉(zhuǎn)速和理想懸浮高度，如圖5所示. 初始條件：高3 cm，直徑12 cm，質(zhì)量4.63 g，水柱初始高度設(shè)置為1.60 m. 數(shù)值模擬結(jié)果：理論轉(zhuǎn)速為5.33 r/s，理論懸浮高度為1.09 m.

圖5 理論穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速和懸浮高度

2 懸浮高度和轉(zhuǎn)速的測(cè)定

用Tracker軟件測(cè)量圓柱體穩(wěn)態(tài)懸浮高度he和穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速ωe，得到he，ωe與圓柱體直徑D和厚度l的關(guān)系，并與理論懸浮高度ht、理論穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速ωt對(duì)比.

2.1 ω和l的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)測(cè)得ω與l如表1和圖6所示，ωt與l呈二次函數(shù)關(guān)系，二次項(xiàng)系數(shù)小于0，且ω″<0，實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合較好.

表1 ω，h與l的數(shù)據(jù)

圖6 轉(zhuǎn)速ω和厚度l的關(guān)系

2.2 ω和D的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)測(cè)得ω和D如表2和圖7所示，ωt與D呈二次函數(shù)關(guān)系，二次項(xiàng)系數(shù)大于0，且ω″>0,實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合較好.

表2 ω和h與D數(shù)據(jù)

圖7 轉(zhuǎn)速ω和直徑D的關(guān)系

2.3 h和l的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)測(cè)得h與l如表1和圖8所示，ht與l呈二次函數(shù)關(guān)系，二次項(xiàng)系數(shù)大于0，且h″>0，實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合較好.

圖8 懸浮高度h和厚度l的關(guān)系

2.4 h和D的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)測(cè)得h和D如表2和圖9所示，實(shí)驗(yàn)測(cè)量ht與D呈二次函數(shù)關(guān)系，二次項(xiàng)系數(shù)大于0，且h″>0，實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線吻合較好.

圖9 懸浮高度h和直徑D的關(guān)系

3 流體懸浮的穩(wěn)定性

3.1 穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn)探究

懸浮物體的穩(wěn)定性和生態(tài)系統(tǒng)的抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性特征十分契合，都與自身的結(jié)構(gòu)特征和外界的干擾強(qiáng)度有關(guān)[7]，所以引入生物學(xué)的概念，探究懸浮物的抵抗力和恢復(fù)力穩(wěn)定性.

3.1.1 抵抗力穩(wěn)定性

懸浮物體受到持續(xù)性擾動(dòng)，強(qiáng)度不斷增大，將其能承受的最大擾動(dòng)強(qiáng)度作為衡量抵抗力穩(wěn)定性的標(biāo)準(zhǔn). 水柱初始高度為h0，懸浮物體質(zhì)量m，緩慢改變水柱與地面夾角θ，隨著水柱與豎直方向的夾角增大，擾動(dòng)的強(qiáng)度也逐漸增大. 當(dāng)水柱與豎直方向的夾角增大到一定值時(shí)，物體恰好到達(dá)平衡極限掉落，立刻停止改變水柱與豎直方向的夾角，測(cè)量射流出射點(diǎn)和落點(diǎn)的水平距離δx，δx與δθ關(guān)系為

1)圓柱體

圖10是圓柱體從穩(wěn)定懸浮到平衡極限過程. 實(shí)驗(yàn)測(cè)量δx和l，如表3和圖11所示，圓柱體抵抗力穩(wěn)定性在l=3.02 cm時(shí)最強(qiáng).

(a)增大出射角 (b)臨界角 (c)掉落 圖10 改變出射角(圓柱體)

D/cml/cmδx/cmθs/(°)11.812.0243.312.511.813.0267.618.311.794.0049.515.411.835.0135.310.611.806.0327.39.4

圖和l的關(guān)系

表和與D數(shù)據(jù)(圓柱體)

圖和D的關(guān)系(圓柱體)

2)球體

(a)增大出射角 (b)臨界角 (c)掉落圖13 改變出射角(球體)

表和與D數(shù)據(jù)(球體)

圖和D的關(guān)系(球體)

3.1.2 恢復(fù)力穩(wěn)定性

懸浮物經(jīng)過瞬間擾動(dòng)后，能重新回到懸浮狀態(tài)，稱其為恢復(fù)力穩(wěn)定性. 將砝碼用輕質(zhì)細(xì)線系在懸臂上，懸線長(zhǎng)度L=1.000 m，懸線與豎直方向夾角為5°，靜止釋放砝碼撞擊懸浮物側(cè)面，若物體未掉落，則增大懸線與豎直方向的角度θs，步長(zhǎng)5°，砝碼儲(chǔ)存的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化成的撞擊能量增大，當(dāng)釋放角度增加到一定值時(shí)，物體被撞擊后無法恢復(fù)到平衡狀態(tài)，將此角度稱為臨界角度θl. 砝碼釋放角度與重力勢(shì)能Eg、撞擊能量Ek的關(guān)系(忽略空氣阻力影響)為

Eg=mgsinθs，Ek=ηEg，

其中η可近似認(rèn)為是常數(shù)，其與碰撞過程中能量損耗有關(guān).

Ek=ηmgsinθs,

1)圓柱體

(a)靜止 (b)拉開砝碼 (c)臨界釋放角圖15 砝碼撞擊(圓柱體)

圖和l的關(guān)系

圖和D的關(guān)系(圓柱體)

2)球體

(a)靜止 (b)拉開砝碼 (c)臨界釋放角圖18 砝碼撞擊(球體)

圖和D的關(guān)系(球體)

對(duì)比2種穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)球體和圓柱體的抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性具有一致性，即抵抗力穩(wěn)定性越強(qiáng)，恢復(fù)力穩(wěn)定性也越強(qiáng)，則綜合穩(wěn)定性越強(qiáng).

3.2 穩(wěn)定性的解釋

圓柱體和球體在受到擾動(dòng)后，必然會(huì)發(fā)生豎直方向和水平方向的偏移，側(cè)面繞流產(chǎn)生的壓強(qiáng)變化會(huì)給圓柱體水平方向的回復(fù)力，水柱沖量的變化會(huì)給圓柱體豎直方向的回復(fù)力，

3.2.1 水平方向的回復(fù)力

伯努利方程適用于理想流體的穩(wěn)定流動(dòng)，當(dāng)圓柱體最終處于穩(wěn)定懸浮的狀態(tài)時(shí)，其側(cè)面的水流可以視為穩(wěn)定流動(dòng)：

(10)

式(10)中，C為常量，將圓柱體拿掉時(shí)水柱的最高高度為h0，則

C=ρgh0,

(11)

對(duì)于同一圓柱體，當(dāng)其水平偏移量不同時(shí)，受到的水平回復(fù)力大小也不同，分為2類情況討論：

圖20表示水柱在不同時(shí)刻沖擊圓柱體的點(diǎn)不同，導(dǎo)致在圓柱體側(cè)表面形成不同的繞流，(a)和(b)情況都不是穩(wěn)定情形，由式(10)和(11)得：

(12)

(13)

(a)向左 (b)向右圖20 水平回復(fù)力

水柱到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的能量損耗主要包括重力勢(shì)能損耗、黏滯阻力損耗和轉(zhuǎn)化為沖擊力的損耗，重力勢(shì)能損耗相同，黏滯阻力和轉(zhuǎn)化沖擊力損耗且都是點(diǎn)A大于點(diǎn)B，所以剩余動(dòng)能EkA

pA>pB.

(14)

考慮圓柱體側(cè)面的總體壓強(qiáng)分布結(jié)合大氣壓，最終得到壓強(qiáng)梯度力方向向右，為

dFA=[p0-(p0-pA)]dS,

dFB=[p0-(p0-pB)]dS,

其中，F(xiàn)A為圖20(a)情況由壓強(qiáng)分布產(chǎn)生的水平回復(fù)力

FB為圖20(b)情況由壓強(qiáng)分布產(chǎn)生的水平回復(fù)力

結(jié)合式(14)得到：

FA

(15)

FA和FB方向向右，形象地說，在一定范圍內(nèi)，偏心角越大，圓柱體受到被水柱吸附的力越大.

再考慮沖擊力沿水平方向的分力，由式(4)，得到?jīng)_擊力F1的表達(dá)式，此時(shí)偏心角θ是時(shí)變的：

沖擊力沿水平方向的分力F1x為

再考慮圖20中2種情況，F(xiàn)Ax為圖20(a)情況下沖擊力沿水平方向的分力(起到的作用與回復(fù)力相反)：

FBx為圖20(b)情況下沖擊力沿水平方向的分力：

FAx>FBx,

(17)

結(jié)合式(15)和式(16)得到

FAxback=FA-FAx<0

(16)

圖20(a)中偏心角較大，圓柱體受到的水平回復(fù)力向左，圖20(b)圓柱體受到向右的水平回復(fù)力，由零點(diǎn)存在定理，一定存在讓圓柱體剛好達(dá)到平衡的點(diǎn)，不受回復(fù)力，即?θ∈(θA,θB),使

F(θ)xback=0.

3.2.2 豎直方向的回復(fù)力

由式(4)得到?jīng)_擊力F1沿豎直方向的分力

h表示實(shí)時(shí)的懸浮高度，是時(shí)變量.FAy為圖21(a)情況下沖擊力沿豎直方向的分力：

FBy為圖21(b)情況下沖擊力沿豎直方向的分力

顯然FAy

FAyback=FAy-G<0;

圖21(b)中豎直回復(fù)力為FByback，方向向上：

FByback=FBy-G>0,

由零點(diǎn)存在定理，一定存在使圓柱體剛好達(dá)到平衡的點(diǎn)，不受回復(fù)力，即?h∈(hA,hB),使

F(h)yback=0.

(a)向下 (b)向上圖21 豎直回復(fù)力

3.2.3 勢(shì)能最低點(diǎn)

勢(shì)能最低點(diǎn)(θ,h)，其物理含義是圓柱體受到擾動(dòng)后所趨向的點(diǎn). 數(shù)值模擬使用迭代試探的方法，得到圓柱體穩(wěn)定時(shí)的懸浮高度和轉(zhuǎn)速. 對(duì)于受到擾動(dòng)后的圓柱體，其周身水流速度場(chǎng)是時(shí)變的，所以無法求出勢(shì)能最低點(diǎn)的具體位置. 但是不影響理論上存在勢(shì)能最低點(diǎn)，此點(diǎn)的存在對(duì)圓柱體受到擾動(dòng)后能回歸穩(wěn)定點(diǎn)提供了合理解釋.

如圖22所示，對(duì)于抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性的一致性,也可以從勢(shì)能的角度解釋，由于勢(shì)能最低點(diǎn)(θ,h)的存在，并且勢(shì)能曲線是連續(xù)的，導(dǎo)致勢(shì)能曲線存在低谷區(qū)，谷的深度與勢(shì)能最小值U(θ,h)負(fù)相關(guān)，懸浮時(shí)的勢(shì)能最小值越小，谷越深. 物體掉落后，其勢(shì)能為外部環(huán)境的勢(shì)能，即從峰頂?shù)袈涞酵鈧?cè)的平直的勢(shì)能曲線上.

圖22 勢(shì)能曲線圖(定性)

為了理解方便，可以類比谷底有一小球，抵抗力穩(wěn)定性的實(shí)驗(yàn)是不斷增大射流偏轉(zhuǎn)角，等同于勢(shì)能最低點(diǎn)不斷變大，即谷底緩慢抬升，如圖23所示，當(dāng)谷底上升到超過峰頂后，懸浮物掉落到外界環(huán)境中.

圖23 勢(shì)能最低點(diǎn)的抬升

恢復(fù)力穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)是對(duì)小球進(jìn)行撞擊，而整個(gè)懸浮系統(tǒng)是不變的，所以谷底的深度不變，而是把小球緩慢地從谷底拉到峰頂，小球到達(dá)封頂后，即懸浮物掉落到外界環(huán)境中. 所以谷底的初始深度越深，懸浮物的抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性都越大，論證了抵抗力穩(wěn)定性和恢復(fù)力穩(wěn)定性具有一致性.

4 結(jié) 論

定解了圓柱體繞流的流速場(chǎng)，求出圓柱體的理論懸浮高度和理論轉(zhuǎn)速，實(shí)驗(yàn)與理論符合程度良好. 探討了懸浮物體的穩(wěn)定性，研究了影響球體和圓柱體穩(wěn)定性的因素，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：轉(zhuǎn)速與厚度l、直徑D呈正相關(guān)，懸浮高度與厚度l、直徑D呈負(fù)相關(guān)，對(duì)于泡沫材質(zhì)的圓柱體，抵抗力和恢復(fù)力穩(wěn)定性具有一致性，其在l=3.02 cm，D=11.81cm時(shí)穩(wěn)定性最強(qiáng).對(duì)于泡沫材質(zhì)的球體，抵抗力和恢復(fù)力穩(wěn)定性也具有一致性，在D=14.37 cm時(shí)最強(qiáng)，直徑相同的球體比圓柱體恢復(fù)力穩(wěn)定性強(qiáng).