林高遠，黃 磊，高詩婕，王君杰，黃涵之，李朝陽

(杭州師范大學(xué) 物理系，浙江 杭州 311121)

溶液離子擴散是溶液的基本性質(zhì)，是因微粒的熱運動而產(chǎn)生的物質(zhì)遷移現(xiàn)象. 離子的濃度差是引起離子擴散的重要原因，研究濃度差引起的離子擴散，一直是物理、化工、生物和地質(zhì)等領(lǐng)域的研究熱點. 在建筑領(lǐng)域，Cl—的擴散系數(shù)是反映混凝土Cl—侵蝕的重要參量之一[1]. Haluszczak等研究發(fā)現(xiàn)，頁巖儲層中鹽離子的擴散是引起返排液的礦化度升高的重要原因[2]. 在教學(xué)上，常用電解液的導(dǎo)電性能來演示離子的擴散[3-4]. 但該方法功能單一，且不能連續(xù)反映離子的擴散位置. 在定量衡量擴散快慢方面，G. Sese等在室溫下測得質(zhì)量分數(shù)20%NaCl溶液在清水中的擴散系數(shù)為1.22×10-9m2/s[5]，顧江華等測得的擴散系數(shù)為0.932×10-9m2/s[6]，二者相差較大. 本文利用激光在梯度溶液中彎曲傳播的特性，設(shè)計了離子擴散演示儀，可以模擬演示海市蜃樓現(xiàn)象，反映離子的擴散快慢，并測量離子的擴散系數(shù).

1 實驗儀器與原理

1.1 實驗儀器

離子擴散演示儀實物圖如圖1所示，由水槽(長50.40 cm，寬21.85 cm，高60.00 cm)、激光光源、硅光電池、萬用表和絲桿等組成. 激光光源和硅光電池保持在同一水平線上，并固定在同一支架兩側(cè). 通過旋轉(zhuǎn)儀器背后的升降調(diào)節(jié)旋鈕，可以實現(xiàn)激光光源和硅光電池的同步升降.

圖1 離子擴散演示儀

1.2 梯度溶液的配制

在水槽內(nèi)加入1/3容積的清水約20 kg和3 kg NaCl，攪拌均勻使其充分溶解，得到質(zhì)量分數(shù)為13%的NaCl溶液. 在溶液上方鋪1層保鮮膜，通過虹吸的方法在保鮮膜上緩慢地注入清水至2/3容積. 保鮮膜將NaCl溶液與清水隔離，虹吸法注水可以避免清水擾動NaCl溶液. 完成注水后，將上浮至水面的保鮮膜緩慢抽出. 此時，清水層和NaCl溶液之間可觀察到明顯的分界線. 讓溶液靜置一段時間，下層的離子向上層清水擴散，會形成如圖2所示的溶液結(jié)構(gòu). 最底層是原有的NaCl均勻溶液，中間是因為離子向上擴散形成的、自下而上質(zhì)量分數(shù)不斷減小的梯度溶液，最上面是離子未擴散到的清水層.

圖2 光在梯度溶液中的彎曲傳播

光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播，若遇到其他介質(zhì)，會發(fā)生折射. 圖2中，梯度溶液的折射率與NaCl溶液的質(zhì)量分數(shù)有簡單的線性關(guān)系[6]，自下而上折射率不斷減小，光在梯度溶液中將連續(xù)折射而彎曲傳播. 假設(shè)光從左側(cè)A處水平射進梯度溶液，彎曲傳播后到達右側(cè)B處. 根據(jù)光路可逆原理，位于B處的物體發(fā)出的光通過梯度溶液后將到達A處. 人總是認為光線沿直線傳播，當人眼從A處觀察，就會在B的上方，與A同高度的C處觀察到B處物體的虛像. 這與海面或沙漠上空因大氣密度不均勻產(chǎn)生的海市蜃樓原理一致[7].

1.3 梯度溶液上表面的確定

在圖1中，旋轉(zhuǎn)絲桿讓激光光源和硅光電池由上向下同步移動. 光源上限制激光出射的小孔直徑為2 mm，通過水槽后出射光斑的最大線度約為6 mm，硅光電池上限制激光入射的小孔直徑為2 mm. 在清水層，激光直線傳播，射出水槽后將照射在右側(cè)的硅光電池上，與硅光電池連接的微安表將檢測到光電流. 當激光光源和硅光電池下降至梯度溶液上表面時，光線彎曲傳播. 因為水槽較長，只要激光產(chǎn)生輕微偏折，光斑就將遠離硅光電池的入射孔，微安表上電流讀數(shù)降為零. 根據(jù)此原理，可確定梯度溶液上表面的位置.

由于存在濃度差，離子會不斷向上擴散，梯度溶液的上表面會不斷上升. 因此，測量梯度溶液上表面的上升速率，可間接反映離子擴散的快慢.

1.4 測量NaCl溶液的擴散系數(shù)

如圖3所示，在配制好NaCl和清水的雙層溶液后，以分界線左側(cè)為原點，豎直向下為y軸正向，水平向右為x軸正向建立直角坐標系. 當激光從分界線附近水平入射時，在梯度溶液中彎曲傳播，從容器出射后將照射在光屏上. 因分界線附近濃度差最大，光斑在光屏上有最大的偏折距離ymax. 隨著離子的擴散，溶液將趨于均勻，最后光線將在均勻的NaCl溶液中直線傳播，最大偏折距離ymax將趨向于0.

圖3 擴散系數(shù)測量原理

假設(shè)清水折射率為n1，NaCl溶液濃度為c，初始折射率為n2，容器寬度為a，容器右側(cè)到光屏的距離為b，則根據(jù)菲克第二定律可得

(1)

式中D為離子的擴散系數(shù). 因NaCl濃度與折射率n存在線性關(guān)系，(1)式又可表示為

(2)

初始時刻t=0時，在y<0處有n=n1，在y>0處有n=n2，解此方程可得

(3)

因此，折射率在豎直方向上的梯度為

(4)

特別地，當y趨向于0時，折射率梯度有最大值

(5)

如果用L表示激光束在梯度溶液中的光程，s表示幾何路徑，則

不同類型的尾礦在粒度組成、力學(xué)強度、耐磨性、堆存穩(wěn)定性和輻射強度等物理性質(zhì)差別大，同時其有價礦物(元素)含量、有害礦物(元素)含量和利用技術(shù)條件等諸多方面，也存在較大差異。應(yīng)該科學(xué)地對尾礦進行合理的分類分級，為尾礦利用、保護或者處置提供依據(jù)?，F(xiàn)階段，還沒有與尾礦分級分類相對應(yīng)的標準。由于采選冶技術(shù)進步，早期未綜合利用的尾礦可能具備再選的價值，而對于現(xiàn)階段產(chǎn)生的有價礦物(元素)含量低于入選原礦品位的尾礦，在未來也可能成為一種資源。我們應(yīng)該對此制定相關(guān)的標準予以考慮。

式中

根據(jù)費馬原理可得

(6)

所以拉格朗日函數(shù)為

(7)

根據(jù)哈密頓原理有

(8)

得到拉格朗日方程

(9)

由拉格朗日函數(shù)可得

(10)

(11)

將(10)和(11)式代入(9)式并化簡得

(12)

對于近軸光線有ds≈dx，所以(12)式可近似為

(13)

即

(14)

(15)

對偏折角θ求積分得

(16)

(17)

2 實驗結(jié)果

配制好雙層溶液靜置約10 min，即可在分界線附近同時看到物體(塑料蓋子)通過梯度溶液折射形成的海市蜃樓虛像(上方)、物體通過NaCl均勻溶液后形成的實像(下方)，如圖4所示. 用激光水平照射梯度溶液，可看到光線在梯度溶液中是彎曲的.

圖4 模擬海市蜃樓成像

激光穿過清水層進入硅光電池后產(chǎn)生的光電流約200 μA. 通過絲桿同步下降激光光源和硅光電池，當光電流驟降至0時，定義此時激光光源的位置為梯度溶液的上表面. 每隔3 min測1次梯度溶液上表面的位置，其上升高度h與時間t的關(guān)系如圖5所示. 在溶液配制好的初始階段，曲線較陡，說明梯度溶液上表面上升速率較大，離子擴散快. 此后，溶液的濃度差變小，離子擴散趨緩，曲線斜率逐漸變小.

圖5 梯度溶液上升高度隨時間的變化

圖隨時間t的變化

3 結(jié)束語

本文制作了離子擴散演示儀，配制梯度溶液，可以演示海市蜃樓現(xiàn)象，間接演示離子的擴散運動. 儀器還可以測量梯度溶液上表面的上升速率，測量離子的擴散系數(shù). 儀器結(jié)構(gòu)簡單，制作成本低，實驗原理涉及光的折射、光電轉(zhuǎn)換、菲克定律和費馬原理等，可根據(jù)學(xué)生層次和教學(xué)需要開設(shè)不同難度的實驗.