李潮銳

(中山大學(xué) a.物理學(xué)院; b.物理國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，廣東 廣州 510275)

利用導(dǎo)體或半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)，可以測(cè)定材料的導(dǎo)電類型和載流子濃度. 通過測(cè)量霍爾系數(shù)隨溫度變化關(guān)系，可以確定半導(dǎo)體的禁帶寬度、雜質(zhì)的電離能及遷移率的溫度特性等. 從微觀角度，可研究材料的磁性質(zhì)和磁相變. 霍爾效應(yīng)測(cè)量中總伴隨著愛廷豪森效應(yīng)、能斯特效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和不等位電勢(shì)差等各種副效應(yīng)[1-4]，從而影響霍爾電壓測(cè)量準(zhǔn)確性. 霍爾效應(yīng)最基本實(shí)驗(yàn)技術(shù)是直流電測(cè)量法[5-9]，即采用直流樣品電流和穩(wěn)恒外磁場(chǎng)測(cè)量材料霍爾系數(shù)(電壓)，通過對(duì)樣品電流和外磁場(chǎng)分別換向測(cè)量取平均以消除主要副效應(yīng). 對(duì)于變溫霍爾效應(yīng)測(cè)量，由于每溫度點(diǎn)需要改變4次實(shí)驗(yàn)條件產(chǎn)生測(cè)量采樣延時(shí)，樣品溫度穩(wěn)定性將直接影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果可靠性. 調(diào)制磁場(chǎng)交流霍爾電壓測(cè)量方法既可達(dá)到變溫快速測(cè)量，又能實(shí)時(shí)消除若干副效應(yīng). 原理上，建立霍爾電場(chǎng)(電壓)所需時(shí)間極短，為10-8～10-7s. 一般認(rèn)為，頻率不高于1 kHz交流樣品電流的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與直流實(shí)驗(yàn)結(jié)果反映了相同的物理過程(霍爾效應(yīng))，因而使用交流樣品電流取代直流換向是合理的測(cè)量方法. 當(dāng)采用調(diào)制磁場(chǎng)取代直流磁場(chǎng)換向時(shí)，使用低頻交流勵(lì)磁電流以確保產(chǎn)生低畸變的同頻調(diào)制磁場(chǎng)(用于霍爾測(cè)量). 利用數(shù)字鎖相放大器對(duì)被測(cè)信號(hào)的完整周期離散傅里葉分析技術(shù)特點(diǎn)，確保調(diào)制磁場(chǎng)交流霍爾電壓測(cè)量的準(zhǔn)確性. 以使用范德堡法碲鎘汞樣品變溫測(cè)量為例，展示調(diào)制磁場(chǎng)交流霍爾電壓測(cè)量方法的技術(shù)優(yōu)勢(shì)及其科學(xué)性.

1 測(cè)量技術(shù)原理

愛廷豪森效應(yīng)的實(shí)質(zhì)是溫差電勢(shì). 由于載流子速度并不相等，在外磁場(chǎng)作用下，較快載流子和較慢載流子所輸運(yùn)能量不同，從而建立橫向溫度差，并由此產(chǎn)生溫差電勢(shì). 愛廷豪森效應(yīng)隨磁場(chǎng)和電流變化關(guān)系與霍爾效應(yīng)情形相同.

另一方面，由于樣品電流在兩端電極產(chǎn)生焦耳熱使沿電流方向形成溫度梯度，載流子將傾向于從熱端擴(kuò)散到冷端. 當(dāng)有磁場(chǎng)存在時(shí)，載流子擴(kuò)散過程分別成為對(duì)應(yīng)于霍爾效應(yīng)和愛廷豪森效應(yīng)的2個(gè)效應(yīng)：能斯特效應(yīng)和里紀(jì)-勒杜克效應(yīng). 不同的是，它們與電流方向無關(guān)，但與電流二次方成正比[10-11].

第1種情形：考慮穩(wěn)恒磁場(chǎng)B0和樣品電流I0直流測(cè)量方法. 磁場(chǎng)和電流換向測(cè)量組合為

(1)

(2)

(3)

(4)

其中，UH,UE，UN和UR分別表示由霍爾效應(yīng)、愛廷豪森效應(yīng)、能斯特效應(yīng)和里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)所產(chǎn)生的電壓(或附加電壓)，而U1則為不等位電勢(shì)差. 由上述4次換向獨(dú)立測(cè)量結(jié)果，可得

UH+UE=(U1-U2+U3-U4)/4,

(5)

通常認(rèn)為，UE?UH，那么

UH≈(U1-U2+U3-U4)/4.

(6)

文獻(xiàn)[12]采用上述直流方法，通過穩(wěn)恒磁場(chǎng)和樣品電流換向?qū)嵤┳儨鼗魻枩y(cè)量.

第2種情形：考慮穩(wěn)恒磁場(chǎng)B0與交流樣品電流I0cos (ωt+φ)實(shí)驗(yàn)條件. 若測(cè)量采樣積分(或累加)歷遍交變電流的完整周期，其結(jié)果等效于完成電流換向測(cè)量. 由于能斯特效應(yīng)和里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)源于電流電極焦耳熱效應(yīng)，UN和UR在樣品輸出電壓附加直流偏移量和倍頻分量，它們都對(duì)基頻交流分量沒有貢獻(xiàn),因此交流電流的作用相當(dāng)于將式(1)和式(2)兩者合并，其有效值可表示為

(7)

同理，式(3)和式(4)可合并為

(8)

由式(7)和(8)可得

UH+UE=(U+-U-)/2，

(9)

其中，U+和U-為樣品輸出電壓交流分量有效值.

愛廷豪森效應(yīng)所產(chǎn)生的附加電壓UE，其本質(zhì)是電流所產(chǎn)生的溫差電勢(shì)，且(如霍爾效應(yīng))跟磁場(chǎng)和電流都有關(guān)系. 如上所述，建立霍爾電場(chǎng)(電壓)所需時(shí)間極短(約10-7～10-8s)，但建立穩(wěn)定溫差需要較長時(shí)間(可達(dá)幾s)[10]. 當(dāng)樣品電流頻率為102Hz時(shí)，盡管UE無法產(chǎn)生如霍爾電壓UH般的電流同頻響應(yīng)，但仍存在與穩(wěn)恒磁場(chǎng)所對(duì)應(yīng)溫差電勢(shì). 由此可見，在穩(wěn)恒磁場(chǎng)和交流電流情形中，UE貢獻(xiàn)減小但不能完全消除. 一旦以樣品電流的完整周期對(duì)響應(yīng)電壓采樣(離散傅里葉)分析，即可減弱愛廷豪森效應(yīng)影響. 由此可見，當(dāng)采用(適當(dāng)頻率)交流樣品電流時(shí)，由穩(wěn)恒磁場(chǎng)換向的2次測(cè)量平均可得霍爾電壓(有效值)依然為

UH≈(U+-U-)/2.

(10)

第3種情形：考慮磁場(chǎng)B=B0cos (ω1t+φ1)，樣品電流I=I0cos (ω2t+φ2). 霍爾電壓可表示為

UH=KHI0B0cos (ω1t+φ1)cos (ω2t+φ2)=

(11)

為便于實(shí)驗(yàn)測(cè)量，選擇ω2=nω1=nω，其中n為非零正整數(shù). 式(11)可改寫為

(12)

(13)

(14)

由此可見，當(dāng)采用調(diào)制磁場(chǎng)與交流樣品電流時(shí)，通過測(cè)量調(diào)制磁場(chǎng)的完整周期的樣品輸出電壓和頻與差頻分量有效值，可實(shí)時(shí)消除UE,UN和UR等附加電壓，從而快速獲得準(zhǔn)確的霍爾電壓有效值.

固緯APS1102A電源DC或AC輸出分別提供穩(wěn)恒磁場(chǎng)B0或簡諧調(diào)制磁場(chǎng)B0cos (ωt+φ1)所需的勵(lì)磁電流，使用中大科儀OE1022數(shù)字鎖相放大器同步測(cè)量樣品輸出電壓不同諧波分量. 泰克AFG5232信號(hào)源通道1和通道2分別設(shè)置為頻率ω和nω簡諧輸出，前者同步輸出為APS1102A和OE1022提供觸發(fā)或參考信號(hào)，后者用于控制中大科儀OE4004壓控電流源提供幅值恒定的樣品工作電流I0cos (nωt+φ2). 或者，使用吉時(shí)利6221電流源提供樣品簡諧電流，以其同步信號(hào)(相標(biāo))經(jīng)分頻的方波輸出為APS1102A和OE1022觸發(fā)或參考信號(hào). 對(duì)復(fù)旦天欣微波電子自旋共振實(shí)驗(yàn)所用磁體進(jìn)行改造，卸去原有永磁體并將兩側(cè)勵(lì)磁線圈同相串聯(lián)，根據(jù)測(cè)量需要產(chǎn)生穩(wěn)恒磁場(chǎng)或簡諧調(diào)制磁場(chǎng). 考慮到該磁體可為電子自旋共振實(shí)驗(yàn)提供50 Hz低畸變簡諧掃場(chǎng)，適當(dāng)選擇低于50 Hz簡諧勵(lì)磁電流以滿足調(diào)制磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)要求. 使用東方晨景SV-15液氮恒溫器，且由普源DM3068多用表測(cè)量樣品溫度. 所有儀器通過USB或GPIB接口實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)(遠(yuǎn)程)測(cè)控分析，還可用于遠(yuǎn)程課堂示教[13]. 實(shí)驗(yàn)使用范德堡法測(cè)量碲鎘汞樣品霍爾電壓，采用自液氮溫區(qū)至室溫自然升溫改變樣品溫度.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

使用中大科儀OE4004壓控電流源和吉時(shí)利6221電流源2種方案的實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明，整數(shù)n取值[3,9]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致. 以下選用OE4004壓控電流源方案且n=3數(shù)據(jù)進(jìn)行分析. 設(shè)定調(diào)制磁場(chǎng)頻率ω1=ω=42 Hz，既滿足低于50 Hz的實(shí)驗(yàn)要求，又處于APS1102A有效外同步頻率范圍. 樣品簡諧電流頻率ω2=nω=126 Hz，且I0=25 mA等實(shí)驗(yàn)參量.

圖1和圖2分別為穩(wěn)恒磁場(chǎng)與交流樣品電流情形，樣品輸出電壓有效值和相位隨穩(wěn)恒磁場(chǎng)強(qiáng)度變化情況. 圖1明顯可見，穩(wěn)恒磁場(chǎng)換向的2次測(cè)量電壓有效值(紅色線和藍(lán)色線)存在差異，由式(7)和式(8)可知來自不等位電勢(shì)差的貢獻(xiàn). 圖2顯示穩(wěn)恒磁場(chǎng)換向時(shí)，樣品輸出電壓相位也隨之反相，進(jìn)一步說明式(7)和式(8)的合理性. 綜合上述結(jié)果及分析，根據(jù)有效值(或模量)和相位的物理涵義，利用穩(wěn)恒磁場(chǎng)換向的2次測(cè)量值，由式(10)可得如圖1(黑色線)所示的霍爾電壓(有效值).

需要說明的是，圖1中(藍(lán)色線)在反向穩(wěn)恒磁場(chǎng)較弱區(qū)域，樣品輸出電壓有效值隨磁場(chǎng)強(qiáng)度減小而增大，結(jié)合圖2對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)強(qiáng)度的輸出電壓相位變化，說明其實(shí)際信號(hào)為負(fù)值. 式(7)和式(8)表明存在不等位電勢(shì)差平移量，負(fù)值來自的貢獻(xiàn)和2次測(cè)量時(shí)樣品溫度已發(fā)生變化的影響(以下將進(jìn)一步說明). 同理，圖2相位變化表明當(dāng)穩(wěn)恒磁場(chǎng)換向時(shí)，樣品輸出電壓也隨之反相. 實(shí)驗(yàn)所用數(shù)字鎖相放大器是以參考信號(hào)完整周期對(duì)被測(cè)信號(hào)進(jìn)行采樣，進(jìn)而通過離散傅里葉分析準(zhǔn)確獲得各個(gè)諧波分量[14]. 這一技術(shù)方法，是上述測(cè)量結(jié)果及分析科學(xué)性的根本保證. 由此可見，理解測(cè)量技術(shù)原理并合理運(yùn)用其方法，對(duì)實(shí)驗(yàn)研究具有重要意義.

圖1 電壓有效值隨穩(wěn)恒磁場(chǎng)變化

圖2 電壓相位隨穩(wěn)恒磁場(chǎng)變化

勵(lì)磁電流產(chǎn)生焦耳熱使磁體及周圍環(huán)境溫度升高，樣品溫度也隨之變化. 實(shí)驗(yàn)事實(shí)顯示，保持樣品電流參量不變，勵(lì)磁電流由低向高再返回的電壓測(cè)量值并不重合. 由于磁體溫度變化，相同勵(lì)磁電流產(chǎn)生不等值的磁場(chǎng)強(qiáng)度；當(dāng)樣品溫度變化，即使相同磁場(chǎng)也可產(chǎn)生不同霍爾電壓. 因此，往返等強(qiáng)度磁場(chǎng)時(shí)樣品溫度不同，其平均值(黑色)還包含了樣品溫漂影響. 圖1中，往返磁場(chǎng)都為零但霍爾電壓不為零現(xiàn)象，就是由于2次測(cè)量的樣品溫度發(fā)生變化(溫漂)所引起. 事實(shí)再次說明，為確保磁場(chǎng)和電流換向測(cè)量達(dá)到消除附加電壓影響，需要在實(shí)施換向測(cè)量過程中維持樣品恒溫.

分析表明，在調(diào)制磁場(chǎng)的完整周期中，磁場(chǎng)正半周與負(fù)半周作用等效于磁場(chǎng)換向，而式(12)和式(13)說明和頻和差頻分量幅值與調(diào)制磁場(chǎng)和交流樣品電流初相位(或相對(duì)相位)無關(guān). 選擇勵(lì)磁電流反接實(shí)現(xiàn)調(diào)制磁場(chǎng)相位反相為例檢驗(yàn)上述推斷. 圖3為調(diào)制磁場(chǎng)與交流樣品電流情形的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 圖中包含了樣品輸出電壓的和頻與差頻分量有效值，以及調(diào)制磁場(chǎng)反相的測(cè)量結(jié)果. 如式(12)和式(13)所示，和頻與差頻分量電壓有效值(或模量)一致；磁場(chǎng)反相，和頻與差頻分量電壓有效值也幾乎完全重合. 由此說明，測(cè)量采樣歷遍調(diào)制磁場(chǎng)的完整周期，由和頻與差頻分量電壓有效值都可準(zhǔn)確獲得霍爾電壓(有效值)，而無需磁場(chǎng)換向. 換句話說，調(diào)制磁場(chǎng)與交流樣品電流組合的測(cè)量方法可實(shí)時(shí)準(zhǔn)確得到霍爾電壓，為變溫霍爾效應(yīng)快速準(zhǔn)確測(cè)量提供解決方案.

圖3 電壓和頻與差頻分量隨調(diào)制磁場(chǎng)變化

圖4顯示了在調(diào)制磁場(chǎng)為10 mT(有效值)條件下，樣品輸出電壓的和頻與差頻分量有效值隨溫度變化情況. 2個(gè)分量有效值幾乎完全重合，表明與式(12)和式(13)分析結(jié)果一致. 2個(gè)分量(相對(duì)于調(diào)制磁場(chǎng))的相位隨溫度變化如圖5所示.

圖4 變溫霍爾電壓和頻與差頻分量有效值

圖5 變溫霍爾電壓和頻與差頻分量相位

由圖4和圖5原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)合電壓有效值及其相位變化情況，利用式(14)可得到圖6實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其物理分析參考文獻(xiàn)[7].

圖6 調(diào)制磁場(chǎng)交流霍爾電壓隨溫度變化

3 結(jié) 論

由于霍爾效應(yīng)測(cè)量中伴隨著多種副效應(yīng)，從而影響霍爾電壓測(cè)量準(zhǔn)確性. 霍爾效應(yīng)最基本實(shí)驗(yàn)技術(shù)是直流法，它也是霍爾測(cè)量的原理性方法. 采用磁場(chǎng)和樣品電流分別換向測(cè)量平均雖可消除主要副效應(yīng)，但由于改變4次實(shí)驗(yàn)條件產(chǎn)生測(cè)量采樣延時(shí)，樣品溫度穩(wěn)定性將直接影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果可靠性. 顯然，在變溫霍爾測(cè)量中，直流法存在難以克服的技術(shù)缺點(diǎn). 技術(shù)原理上，采用交流樣品電流且測(cè)量采樣歷遍完整周期時(shí)，等效于樣品電流換向測(cè)量. 因此，通過穩(wěn)恒磁場(chǎng)換向2次測(cè)量平均即可消除主要副效應(yīng)所產(chǎn)生的附加電壓. 同理，若采用調(diào)制磁場(chǎng)且測(cè)量采樣歷遍完整周期時(shí)，也等效于磁場(chǎng)換向. 當(dāng)樣品電流頻率為調(diào)制磁場(chǎng)頻率的整數(shù)倍時(shí)，只要調(diào)制磁場(chǎng)交流電流霍爾測(cè)量滿足測(cè)量采樣歷遍調(diào)制磁場(chǎng)完整周期，這一測(cè)量技術(shù)等效于磁場(chǎng)與樣品電流都實(shí)現(xiàn)分別換向. 利用數(shù)字鎖相放大器對(duì)被測(cè)信號(hào)完整周期采樣并通過離散傅里葉分析獲得各個(gè)諧波分量的信號(hào)處理方法符合本研究的測(cè)量要求. 通過實(shí)驗(yàn)事實(shí)檢驗(yàn)了上述技術(shù)方案的合理性，并利用變溫霍爾測(cè)量結(jié)果展示調(diào)制磁場(chǎng)交流樣品電流方法的科學(xué)性. 本文工作不僅說明物理測(cè)量不可忽視深刻理解實(shí)驗(yàn)技術(shù)原理，也再次表明相位測(cè)量的物理意義.