雍玉華

【摘 要】在教育不斷發(fā)展的背景下，以往的教學(xué)方式已難以滿足現(xiàn)階段中學(xué)教學(xué)的需求。中學(xué)教師需要不斷提高自身的專業(yè)技能，在解題教學(xué)中引入反證法，開拓學(xué)生的思維，使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，形成正確的解題思路，本文主要圍繞反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用展開討論。

【關(guān)鍵詞】反證法;初中數(shù)學(xué);解題應(yīng)用

數(shù)學(xué)是初中學(xué)科的重要組成部分，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)起著關(guān)鍵作用。在此背景下，中學(xué)教師需要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)理念，在解題教學(xué)中引入反證法，以此創(chuàng)新學(xué)生的思維模式，使學(xué)生形成良好的解題思路。

1? ?反證法的定義及理論依據(jù)

1.1? 反證法的定義

反證法即在將原命題否定后，找出題目中問題的立足點(diǎn)，再反過來證實(shí)原命題。具體求證一個命題時(shí)，可以先假設(shè)兩個相對的命題，如果已經(jīng)有條件證明兩個命題是有矛盾的，或者得出的結(jié)果矛盾，那么就可以證實(shí)假設(shè)不成立，也就是說原命題成立[1]。這種證明命題的方式就叫做反證法。

1.2? 反證法的理論依據(jù)

反證法的理論依據(jù)主要由排中律和矛盾律這兩大內(nèi)容組成，兩者在定義上有所差異。矛盾律主要指的是：證明命題時(shí)，如果有兩個完全對立的結(jié)論，那么其中有一個結(jié)論是不成立的。排中律指的是：針對一個命題，其要么是真命題，要么是假命題，不會有第三種可能出現(xiàn)。排中律要求解題者在思維上必須是清晰和明確的，解題者要能最大限度地將排中律和矛盾律貫徹到數(shù)學(xué)應(yīng)用中。此外，排中律還有一個獨(dú)特的特征，解題者在命題的證明過程中，不僅要有獨(dú)立的思維，還要確定自己的立場，以此更好地證實(shí)命題。

矛盾律和排中律既有聯(lián)系又存在一定差異。聯(lián)系：解題者在證明命題時(shí)，一定不能出現(xiàn)邏輯上的矛盾，如果與排中律背道而馳的話，那么矛盾律也無法應(yīng)用在解題中。差異：矛盾律表示，若兩個結(jié)論處于對立狀態(tài)，那么其中一個不成立;排中律表示，若兩個結(jié)論處于對立狀態(tài)，那么其中有一個結(jié)論是成立的。

2? ?反證法的解題步驟

將反證法引入命題解題，主要由反設(shè)、歸謬以及結(jié)論三部分組成，它們在解題過程中是一個整體，且互相聯(lián)系、缺一不可。首先，反設(shè)。采用反證法進(jìn)行解題時(shí)，反設(shè)是最基礎(chǔ)的內(nèi)容，也是最關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié)。反設(shè)的正確性直接影響解題過程和結(jié)果。在此過程中，解題者一定要充分了解題目給出的已知條件，借用所有條件對問題進(jìn)行假設(shè)，最后再設(shè)出與求證內(nèi)容相反的假設(shè)，以此進(jìn)行下一步的求證。其次，歸謬。歸謬是運(yùn)用反證法解題最關(guān)鍵的內(nèi)容及重點(diǎn)所在。歸謬主要指引入反設(shè)中的問題，使反設(shè)內(nèi)容有一個明確的推理方向。最后，結(jié)論。結(jié)論主要是將反證法引入，通過這種方式得到最終結(jié)果。將反謬推理出的結(jié)果與反設(shè)假設(shè)的內(nèi)容對比，若其產(chǎn)生矛盾，那么假設(shè)內(nèi)容就會被推翻，這樣來證明原來命題的結(jié)論，此時(shí)在得出結(jié)論后，整個命題已完成求證[2]。

在命題證實(shí)的過程中，矛盾是推動整個試題發(fā)展的重要因素之一。通常情況下，矛盾可以分為自相矛盾、公理矛盾等。在解答試題的過程中，利用反證法能夠跳過多種障礙，將正確答案證實(shí)出來，這是反證法的優(yōu)勢所在。

3? ?利用反證法解題時(shí)需要注意的問題

3.1? 正確否定結(jié)論

正確否定結(jié)論主要以反證法為根本出發(fā)點(diǎn)。如“一個三角形的3個內(nèi)角中，最多有1個鈍角。”“最多有1個”表示“可能1個都沒有”或者“只有1個”。在此背景下，反設(shè)可以設(shè)成“2個內(nèi)角為鈍角”“3個內(nèi)角都為鈍角”。

基于以上提出的例子，解題者在證題時(shí)需要抓住題型結(jié)構(gòu)，巧妙地將反證法引入，通過否定假設(shè)內(nèi)容來證實(shí)原有命題成立，有了對立命題也就能更好地得出結(jié)論，高效解題。反證法可以鍛煉學(xué)生的思維能力，豐富其數(shù)學(xué)知識，提高教師的教學(xué)質(zhì)量。

3.2? 明確推理特點(diǎn)

否定結(jié)論和推出結(jié)論是反證法的重要組成部分。由于無法預(yù)測到會發(fā)生何種矛盾、何時(shí)會出現(xiàn)這一矛盾，矛盾的發(fā)生具有不確定因素。一般情況下，解題者可以對矛盾進(jìn)行猜想，將矛盾與命題聯(lián)系進(jìn)行思考（如在解答幾何問題時(shí)，解題者會聯(lián)想到相關(guān)定理或結(jié)論），這也是反證法的重要組成部分之一。通常很難將矛盾定義或猜測，這是解題時(shí)可有可無的部分。解題者只需要全面掌握假設(shè)內(nèi)容，將解題步驟更好地推理出來，自然而然地就能找出其中的矛盾所在，使結(jié)論得到更有力的證實(shí)。

3.3? 了解矛盾種類

在使用反證法論證命題時(shí)，不一定只能解出假設(shè)內(nèi)容的結(jié)論。矛盾存在的結(jié)果具有多樣性特點(diǎn)，其可能與題設(shè)產(chǎn)生對立關(guān)系，抑或是與命題產(chǎn)生沖突。因此，推理出兩種對立的結(jié)果也是有可能的。

4? ?反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

4.1? 反證法在否定性命題中的應(yīng)用

當(dāng)求證試題中出現(xiàn)“沒有……”“不是……”“不能……”等類似詞語時(shí)，用直接證法很難快速、正確地將試題解答出來，引入反證法則能夠高效地將命題證實(shí)出來[3]。

4.2? 反證法在限定式命題中的應(yīng)用

當(dāng)求證試題中出現(xiàn)“至多……”“至少……”“不多……”等類似詞語時(shí)，僅僅憑借直接證法很難將試題解答出來，在此背景下，引入反證法解題，不但可以高效地解出試題，而且還能增強(qiáng)學(xué)生的邏輯性思維，提高其辯證能力。

4.3? 反證法在無窮性命題中的應(yīng)用

將反證法運(yùn)用在無窮性命題的解題中，能快速高效地解出正確答案。

例4：求證是無理數(shù)。

分析：基于題目給出的已知條件過少，此時(shí)，利用直接證法很難將試題解答出來。又因?yàn)闊o理數(shù)屬于無限不循環(huán)的數(shù)值，無限和不循環(huán)在數(shù)學(xué)應(yīng)用中很難用數(shù)字直觀表示出來。對于這一命題，不妨假設(shè)為有理數(shù)，這樣就增加了一項(xiàng)解題條件，那就是用分?jǐn)?shù)將表示出來。

證明：假設(shè)是有理數(shù)，那么就有 a、b 屬于自然數(shù)，a 和 b 互質(zhì)，b≠0 ，使=a2=2b2 ，a 為偶數(shù)，表示為 a=2c ，所以 a2=4c2 ，2c2=b2 ，那么可以判斷 b 為偶數(shù)。那么與 a、b 互質(zhì)矛盾，所以為無理數(shù)。

5? ?反證法在初中數(shù)學(xué)中的作用

5.1? 反證法在初中數(shù)學(xué)中的魅力

逆向思維在反證法中起著關(guān)鍵作用，這一思維模式下解題者可以先從命題中引入，找出其中矛盾所在，隨后再確定它的真實(shí)性。反證法的思維較為特殊，要求靈活思考，初學(xué)者極易對逆向思維不習(xí)慣，進(jìn)而無法掌握其中要點(diǎn)，很少運(yùn)用這一解題方法[4]。事實(shí)上，反證法在解題中占有重要位置，解題者可在此過程中發(fā)掘出更多的解題途徑。在面對不易直接求證的數(shù)學(xué)試題時(shí)，解題者就需要考慮引入反證法。這一方法不僅可在解題中使用，還可以應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中，生活中有時(shí)也需要將問題倒過來看，以更好地解決問題。初中數(shù)學(xué)解題中，有很多問題可以利用反證法來證實(shí)，這一解題方法既方便又靈活，解出的答案準(zhǔn)確性較高。

5.2? 結(jié)合實(shí)際生活，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思維

思維能力的培養(yǎng)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著關(guān)鍵作用，學(xué)生可以對自己做過的題進(jìn)行思考，找到解題思路，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。反證法在數(shù)學(xué)解題中有著重要作用，能夠鍛煉學(xué)生的思維能力，使他們從實(shí)際問題出發(fā)，更好地解決問題。在此過程中，教師需要轉(zhuǎn)變以往的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，充分調(diào)動其學(xué)習(xí)積極性。教師需要在教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)這門學(xué)科。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳正強(qiáng).初中數(shù)學(xué)解題中反證法的應(yīng)用策略探析[J].考試周刊，2020（82）.

[2]黃麗紅.反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬），2020（5）.

[3]馬多貴.反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討[J].學(xué)周刊，2020（12）.

[4]張本陸.反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].文理導(dǎo)航（中旬），2018（11）.