智鵬鵬，王悅東，汪忠來，李永華，張 明

（1.電子科技大學 機械與電氣工程學院，四川 成都 611731；2.大連交通大學 機車車輛工程學院，遼寧 大連 116028；3.中車唐山機車車輛有限公司技術(shù)研究中心，河北 唐山 063035）

轉(zhuǎn)向架構(gòu)架作為軌道車輛結(jié)構(gòu)設計中的大型復雜部件，通常依靠確定性的有限元分析預判結(jié)構(gòu)在設計階段是否滿足標準要求。然而，無論是靜強度分析，還是疲勞強度分析，分析結(jié)果均較為理想化，與試驗數(shù)據(jù)偏差較大。其原因在于分析中采用的確定性有限元模型忽略了構(gòu)架在設計與制造過程中的不確定性因素，例如：材料屬性、設計公差、加工偏差和試驗載荷等[1]。因此，將可靠性理論與有限元分析相結(jié)合，利用可靠度評判構(gòu)架在設計階段的靜態(tài)性能，可以更好地反映設計的合理性。

針對結(jié)構(gòu)可靠性分析方法如何更好地應用于工程實際，部分學者進行了深入研究。盧耀輝等[2]考慮了影響構(gòu)架最大主應力的隨機變量，采用概率設計方法建立參數(shù)化模型，采用Monte Carlo 模擬（MCS）方法計算轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的可靠度及靈敏度。滑林等[3]分別從區(qū)間變量隨機化和隨機變量區(qū)間化的角度，對船體進行可靠性分析，提高了可靠性分析的準確性和實用性。楊瑞剛等[4]鑒于起重機金屬結(jié)構(gòu)不確定性設計變量的隨機性、模糊性和非概率性，提出一種多源不確定性混合可靠性分析方法，使可靠度結(jié)果更加符合工程實際。黃洪鐘等[5]為解決現(xiàn)有方法進行數(shù)控機床不確定性問題可靠性分析時的局限性，基于不精確概率理論提出一種混合不確定性量化方法。此外，為解決大型復雜結(jié)構(gòu)存在的物理模型難以獲取、可靠度求解難度大等問題，姜潮等[6]在考慮不確定性因素的基礎(chǔ)上，采用徑向基函數(shù)代理模型表征工程機械臂參數(shù)與其固有頻率之間的函數(shù)關(guān)系，采用概率-區(qū)間混合可靠性分析方法對失效概率進行估計；Zhi 等[7]建立轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的多級響應面代理模型，運用Monte Carlo 模擬計算轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的可靠度。為提高復雜結(jié)構(gòu)可靠性分析的精度，Echard 等[8]提出一種結(jié)合Kriging模型和MCS的主動學習可靠性分析方法（AK-MCS）；Huang 等[9]采用基于Kriging模型和子集模擬（Subset Simulation，SS）的主動學習小失效概率評估方法（AK-SS），對某盾構(gòu)隧道的可靠性進行分析。然而，上述研究僅能反映結(jié)構(gòu)在單工況下的可靠性水平，未考慮結(jié)構(gòu)的多工況和多隨機響應特性。

Li等[10]提出改進的SS方法，解決了實際工程中結(jié)構(gòu)多隨機響應的可靠性問題。該方法雖然能夠?qū)Χ嚯S機響應的失效概率進行快速求解，但是計算結(jié)果受每層樣本個數(shù)和初始條件概率等參數(shù)隨機性的影響，并且僅適用于隨機變量相同的性能函數(shù)。Xiao等[11]提出一種基于主動Kriging模型的混合變量結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，解決了復雜結(jié)構(gòu)中子結(jié)構(gòu)的失效概率問題，但是未考慮各工況之間的相關(guān)性，并且不便于多個獨立隨機變量結(jié)構(gòu)的工程應用。

本文以某型轉(zhuǎn)向架構(gòu)架為研究對象，采用改進差分進化粒子群算法（IDEPSO）獲取最優(yōu)的每層樣本個數(shù)和初始條件概率，以提高SS 方法的求解精度，進而采用幾何分析確定聯(lián)合失效概率，計算多工況下構(gòu)架的可靠度及最優(yōu)失效次序，并與傳統(tǒng)方法進行對比，驗證基于IDEPSO-SS可靠性分析的準確性，為設計階段轉(zhuǎn)向架構(gòu)架在多種組合工況下的總體性能分析方法由傳統(tǒng)的確定性分析向不確定性分析轉(zhuǎn)變提供理論參考。

1 基于IDEPSO-SS的多工況可靠性分析

1.1 基于SS方法的失效概率求解

SS方法的基本思想是將小失效概率的求解過程，通過馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法生成條件樣本，進而轉(zhuǎn)換為一系列較大條件失效概率乘積的模擬過程，解決了MCS方法在求解工程小失效概率時效率較低的問題。

若自適應引入的中間事件滿足嵌套關(guān)系，L1L2…Lm=L，則目標失效概率PL為

式中：L為目標失效事件；Li為第i層的中間失效事件；P(L1)為首次失效的概率；P(Li|Li-1)為Li對應的條件概率。

在采用SS 方法求解之前，首先需要設置所有條件概率P(Li|Li-1)的初始值P0，進而確定各中間失效事件。若第i層模擬中使用的樣本個數(shù)為N，則第i層條件概率的估計值為

式中：為第i層模擬得到的失效概率估計值；ILi+1為示性函數(shù)；{xk|k=1，2，…，N}為獨立同分布樣本集合。

將式（2）帶入式（1）得

式中：P0(i-1)為第i層的初始條件概率；NL(i)為第i層落入失效域的樣本個數(shù)。

1.2 基于IDEPSO算法的失效概率優(yōu)化

通過以上分析可知，每層樣本個數(shù)和初始條件概率對失效概率估計值的影響較大。傳統(tǒng)依據(jù)經(jīng)驗確定的每層樣本個數(shù)和初始條件概率很難得到結(jié)構(gòu)的最優(yōu)失效概率。基于此，采用IDEPSO算法優(yōu)化高階響應面代理模型，獲得最優(yōu)每層樣本個數(shù)和初始條件概率，從而計算單工況最優(yōu)失效概率。

假設1個D維的搜索空間中包含了B個粒子，則第i（i=1，2，…，m）個粒子可表示為1個D維向量：Xi=(xi1xi2…xiD)，個體最優(yōu)位置為Z=(Zi1Zi2…ZiD)，群體最優(yōu)位置為G=(Gi1Gi2…GiD)。當2個最優(yōu)位置確定后，可根據(jù)式（4）更新粒子的速度和位置。

式中：vid′為迭代過程中的粒子速度；t為迭代次數(shù)；Zid′為迭代過程中的個體最優(yōu)位置；Xid′為迭代過程中的粒子位置；ZGd′為迭代過程中的群體最優(yōu)位置；ω為慣性權(quán)重；c1和c2為學習因子；r1和r2為[0，1]內(nèi)的均勻隨機數(shù)。

PSO算法雖然能夠以較大的概率收斂于全局最優(yōu)解，并且避免復雜的遺傳操作，但是由于最優(yōu)粒子的速度和位置更新后可能為零，沒有自主進化機制，因此極易陷入局部最優(yōu)解，出現(xiàn)早熟停滯現(xiàn)象。

為解決這一問題，采用改進差分進化算法（IDE）優(yōu)化PSO算法。研究表明，采用不同的變異策略使得算法的搜索能力不同，文獻[12]采用的變異策略具有較強的全局搜索能力，而文獻[13-14]采用的變異策略具有較強的局部搜索能力。為增強PSO算法的綜合搜索能力，避免不同變異策略出現(xiàn)尋優(yōu)早熟現(xiàn)象，提出IDE算法的混合變異策略為

其中，

式中：H i為變異操作中任一變異個體集；J為縮放因子，J∈(0，1)；Xbest為當前代中最優(yōu)個體；Xr1，Xr2和Xr3為當前代中隨機選取的個體，其中r3為[0，1]內(nèi)的均勻隨機數(shù)；ζ為（0，1）之間均勻分布的隨機數(shù)；f(xi)為第i個粒子的適應度；xmin和xmax為粒子中的最小值和最大值。

1.3 多工況結(jié)構(gòu)失效概率計算

對于轉(zhuǎn)向架構(gòu)架而言，在設計階段需要滿足的工況較多，僅對單一工況進行可靠性分析得到的設計結(jié)果局限性較大。為全面分析結(jié)構(gòu)設計的合理性，基于最優(yōu)失效概率，采用二階窄邊界法（Ditlevsen法）和最優(yōu)準則計算多工況下結(jié)構(gòu)的最優(yōu)失效次序和可靠度。

二階窄邊界法[15]由于考慮了各工況失效的相關(guān)性，被廣泛應用于多工況下的可靠度計算。多工況失效概率Pf的表達式為

式中：Pij為工況i與工況j同時失效的概率，即聯(lián)合失效概率。

由式（7）可知，Pij的計算精度直接影響多工況下失效概率的界寬。雖然采用數(shù)值積分和MCS方法能夠較為精確地計算Pij值，但是不利于工程應用。

為了兼顧聯(lián)合失效概率的求解精度和效率，采用基于幾何分析的聯(lián)合概率計算方法確定Pij[16]。Pij的表達式為

其中，

式中：φ為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)；Qn(n=i，j)為幾何關(guān)系確定的2個工況間的失效概率，其求解表達式相同；βn為工況i和工況j的最優(yōu)失效概率對應的可靠性指標；ρ為工況失效時的相關(guān)系數(shù)；β0為中間參數(shù)；θn為各工況可靠性指標間的夾角。

將最優(yōu)失效概率代入式（8）計算得到聯(lián)合失效概率Pij，并代入式（7）得到多工況下失效概率的界寬估計值。雖然該值在計算精度上有所提高，但是受多工況下結(jié)構(gòu)失效次序的影響較大。

1.4 最優(yōu)失效次序的確定

由式（7）可知，多工況下失效概率界寬的最大下界即為最優(yōu)可靠度（可靠度的最小上界）。為保證計算結(jié)果不受工況失效次序的影響，若對任意事件i不等式成立，則式（7）的下界可改寫為

由式（9）可知：相比采用式（7）求解的多工況失效概率，采用式（9）求解時，工況的失效次序?qū)ij的值沒有影響，其最大值即為所需的最大下界。為此，給出采用最優(yōu)準則法求解式（9）的最大值，具體步驟如下：

（1）結(jié)合第1.1 和1.2節(jié)計算各工況的最優(yōu)失效概率，根據(jù)1.3節(jié)計算各工況的聯(lián)合失效概率Pij；

（2）選擇失效概率中的最大值，并將其排序為λ；在余下的失效概率中選擇工況序號ξ，使得pξ-pλξ的值最大，并將其排序為λ′；

（3）在除最大失效概率外的其他失效概率中選擇工況序號ξ，使得pξ-pλξ-pλ′ξ最大，并將其排序為λ′′；

（4）重復上述步驟，直至剩余的失效概率滿足不等式pξ-pλξ

綜上所述，可得基于IDEPSO-SS的多工況下轉(zhuǎn)向架構(gòu)架可靠性分析流程如圖1所示。

圖1 多工況下轉(zhuǎn)向架構(gòu)架可靠性分析流程

2 基于SS的構(gòu)架失效概率響應面代理模型

2.1 構(gòu)架靜強度響應面函數(shù)

考慮不確定性因素對構(gòu)架靜強度的影響，建立不確定性參數(shù)關(guān)于靜強度的響應面函數(shù)，是對構(gòu)架進行可靠性分析的基礎(chǔ)和前提。以某型轉(zhuǎn)向架構(gòu)架為對象進行分析，該構(gòu)架由橫梁、縱梁、牽引座等組成，分別采用殼單元和實體單元建模。考慮一系懸掛對轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的影響，建立COMBIN14 單元模擬彈簧，單元剛度與一系懸掛相同，有限元模型如圖2所示。

根據(jù)標準UIC 615-4《移動動力裝置-轉(zhuǎn)向架和走行裝置-動力轉(zhuǎn)向架構(gòu)架強度試驗方法》和EN 13749《鐵路應用-輪對和轉(zhuǎn)向架-轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)要求的規(guī)定方法》分別計算構(gòu)架主體超常載荷、牽引拉桿縱向沖擊載荷、電機振動沖擊載荷、電機短路載荷和制動座載荷。依據(jù)設計需求對載荷進行組合，限于篇幅，僅選取4種組合工況為例進行分析，具體見表1和表2。

圖2 轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的有限元模型

表1 超常工況載荷

表2 特殊超常工況載荷

轉(zhuǎn)向架構(gòu)架結(jié)構(gòu)靜強度采用當量應力表示，在超常載荷工況下，母材當量應力應小于相應材料安全系數(shù)S=1.0時的許用應力，焊縫當量應力應小于相應材料安全系數(shù)S=1.1時的許用應力[17]。轉(zhuǎn)向架構(gòu)架組成材料及其力學性能見表3。

表3 構(gòu)架組成材料的力學性能

根據(jù)構(gòu)架的有限元模型及其組合工況計算靜強度，基于分析結(jié)果確定對最大應力影響較大的設計參數(shù)，其統(tǒng)計特征見表4。表中：d1-d5為對各工況下對靜強度影響較大的尺寸參數(shù)；F1-F5為對各工況下對靜強度影響較大的載荷。

表4 設計參數(shù)的統(tǒng)計特征

基于表4提供的不確定性設計參數(shù)，建立各工況對應的構(gòu)架靜強度響應面函數(shù)，其表達式S1-S4分別為

2.2 靜強度響應面函數(shù)的精度檢驗

為檢驗各工況下構(gòu)建靜強度響應面函數(shù)的擬合精度，對式（10）—式（13）進行方差分析（Analysis of Variance，ANOVA），其中工況1和工況4的部分分析結(jié)果分別見表5和表6。

表5 工況1下構(gòu)架靜強度響應面函數(shù)ANOVA結(jié)果

表6 工況4下構(gòu)架靜強度響應面函數(shù)ANOVA結(jié)果

通過方差分析可知，以上列舉的2個工況下構(gòu)架的響應面函數(shù)擬合精度較高，可以用于表征不確定性設計參數(shù)與輸出的響應函數(shù)間的關(guān)系；且各設計參數(shù)的顯著性較為明顯，驗證了不確定性設計參數(shù)選擇的合理性。

2.3 構(gòu)架失效概率響應面代理模型的建立

根據(jù)文獻[18]確定每層樣本個數(shù)和初始條件概率的取值范圍，對構(gòu)架進行D-最優(yōu)試驗設計?；谑剑?0）—式（13）、表3和試驗設計，采用SS方法求解對應的失效概率，其中工況1和工況4下的試驗設計結(jié)果分別見表7和表8。

表7 工況1下構(gòu)架D-最優(yōu)試驗設計及響應值

表8 工況4下構(gòu)架D-最優(yōu)試驗設計及響應值

采用麥夸特法對各工況下試驗數(shù)據(jù)進行插值擬合，得到每層樣本個數(shù)和初始條件概率關(guān)于失效概率的高階響應面代理模型，如圖3所示。為驗證構(gòu)架失效概率響應面模型的擬合精度，得到試驗值與預測值的殘差分布如圖4所示。圖4中：樣本點表示由試驗設計得到的試驗值，灰色平面表示響應面的預測標準面。

由圖3可知：每層樣本個數(shù)和初始條件概率的不確定性對失效概率的影響較大，雖然與SS 方法的基本表達式相吻合，但是在采用SS方法過程中，依據(jù)經(jīng)驗確定每層樣本個數(shù)和初始條件概率取值范圍，由此計算得到的失效概率未必最優(yōu)，降低了可靠性分析的精度。因此，尋求最優(yōu)的每層樣本個數(shù)和初始條件概率取值范圍，對確定最優(yōu)失效概率、保證可靠性分析的準確性具有重要的意義。

圖3 不同工況下P0和N關(guān)于PL的響應面代理模型

圖4 不同工況下響應面代理模型的殘差分布

由圖4可知：各工況殘差的數(shù)量級均為10-4，說明響應面代理模型的擬合精度較高，可用于后續(xù)的最優(yōu)失效概率的求解。

3 基于IDEPSO-SS的單工況下構(gòu)架可靠性分析

3.1 IDEPSO算法最優(yōu)控制參數(shù)的確定

在IDEPSO算法中，縮放因子J、變異概率P、種群規(guī)模M及慣性權(quán)重的最大值ωmax和最小值ωmin等控制參數(shù)對其優(yōu)化的效率和精度具有顯著的影響[19]。為此，采用正交試驗設計獲取IDEPSO算法最優(yōu)的控制參數(shù)組合。各控制參數(shù)及其水平值見表9，正交試驗表L25(55)見表10。

表9 不同水平下IDEPSO算法控制參數(shù)值

表10 各控制參數(shù)正交試驗設計值

為驗證IDEPSO算法的求解精度，基于圖3所示各工況下高階響應面代理模型計算得到的失效概率，并將其與MCS的差值定義為適應度函數(shù)。將表10中的數(shù)據(jù)代入IDEPSO算法中，對適應度函數(shù)進行尋優(yōu)，并對正交試驗設計結(jié)果進行分析，得到各工況下最優(yōu)控制參數(shù)水平組合分別為：J=0.6，P=0.4，M=50，ωmax=1.3，ωmin=0.3；J=0.7，P=0.7，M=30，ωmax=1.5，ωmin=0.3；J=0.7，P=0.7，M=50，ωmax=1.2，ωmin=0.4；J=0.7，P=0.3，M=30，ωmax=1.1，ωmin=0.3。

3.2 構(gòu)架單工況下最優(yōu)失效概率計算

采用各工況下最優(yōu)控制參數(shù)再次對適應度函數(shù)進行優(yōu)化，得到各工況下最優(yōu)失效概率及每層樣本個數(shù)和初始條件概率。不同優(yōu)化算法下各工況的迭代曲線如圖5所示。圖中：GA為遺傳算法；GAPSO為遺傳算法優(yōu)化的粒子群算法。

由圖5可知：各工況下每層樣本個數(shù)和初始條件概率的最優(yōu)值分別為（805，0.25）（803，0.26）（801，0.11）和（770，0.182），可見由于適應度函數(shù)不同，得到的每層樣本個數(shù)和初始條件概率最優(yōu)值也不同，若按照經(jīng)驗對其取值得到的失效概率很難保證最優(yōu)；與GAPSO，PSO 和GA算法比，IDEPSO算法在收斂速度和精度上最優(yōu)，尤其在收斂速度上具有明顯優(yōu)勢，同時避免了優(yōu)化過程陷入局部最優(yōu)解的情況。

圖5 不同優(yōu)化算法下各工況的迭代曲線

各工況下基于最優(yōu)失效概率的構(gòu)架累積分布函數(shù)如圖6所示。IDEPSO-SS算法與MCS算法的結(jié)構(gòu)失效概率（模擬精度）和調(diào)用函數(shù)次數(shù)（模擬效率）對比分別見表11和表12。

圖6 各工況下基于最優(yōu)失效概率的構(gòu)架累積分布函數(shù)

表11 IDEPSO-SS與MCS精度對比

表12 IDEPSO-SS與MCS效率對比

由表11和表12可知：與采用MCS算法相比，采用IDEPSO-SS算法得到的最優(yōu)失效概率誤差較小，精度較高，且計算效率顯著提高，可以較為準確地表示構(gòu)架在設計參數(shù)波動下的可靠性水平。

4 多工況下構(gòu)架可靠性分析及最優(yōu)失效次序確定

多工況結(jié)構(gòu)可靠性分析的前提是獲得各工況的聯(lián)合失效概率。為分析相關(guān)系數(shù)對失效概率的影響，將圖6得到的最優(yōu)失效概率代入式（7）和式（8），計算得到相關(guān)系數(shù)ρ≥0.6時各工況下的聯(lián)合失效概率，計算結(jié)果見表13。

根據(jù)表11和表13，采用Ditlevsen 方法計算多工況下構(gòu)架的結(jié)構(gòu)可靠度，并利用最優(yōu)準則法確定最大下界及結(jié)構(gòu)最優(yōu)失效次序，計算結(jié)果如圖7所示。圖中：陰影部分為相關(guān)系數(shù)取0.6～0.9時多工況下構(gòu)架失效概率界寬。

表13 各相關(guān)系數(shù)下工況間聯(lián)合失效概率

圖7 多工況下構(gòu)架可靠度

由圖7可知：隨著相關(guān)系數(shù)的增加，失效概率呈現(xiàn)下降趨勢，表明考慮各工況間的相關(guān)性后，各工況類似于并聯(lián)系統(tǒng)，導致失效概率降低；優(yōu)化得到的失效概率界寬較窄，說明最優(yōu)失效次序下的可靠度計算結(jié)果較為保守，降低了在設計階段按照工況順序依次失效導致過高估計結(jié)構(gòu)可靠度的風險。對比圖6可知，單工況的結(jié)構(gòu)可靠度均高于多工況結(jié)構(gòu)可靠度，表明僅進行單工況可靠性分析，計算結(jié)果過高，設計偏于危險。

相關(guān)系數(shù)ρ=0.6時最優(yōu)準則法的求解過程見表14。表中：*代表構(gòu)架各工況的最優(yōu)失效次序。

表14 相關(guān)系數(shù)為0.60時最優(yōu)準則法求解過程

由表14可知，采用最優(yōu)準則法得到的最優(yōu)失效次序為工況1、工況4、工況2 和工況3，基于該次序計算得到的最優(yōu)可靠度減少了Ditlevsen 方法的界寬，而且偏于安全。

5 結(jié) 論

（1）采用IDEPSO算法優(yōu)化SS的每層樣本個數(shù)和初始條件概率，提出基于改進SS 方法即IDEPSO-SS的單工況下最優(yōu)失效概率計算方法，并且將其與Ditlevsen 方法、最優(yōu)準則結(jié)合，提出多工況下最優(yōu)可靠度及最優(yōu)失效次序計算方法。

（2）采用IDEPSO-SS算法對轉(zhuǎn)向架構(gòu)架進行單工況下的可靠性分析，得到各工況下的最優(yōu)失效概率。通過與傳統(tǒng)方法對比，表明采用IDEPSOSS算法在保證計算精度的前提下，計算效率明顯提高。

（3）構(gòu)架的多工況下可靠性分析實例表明，本文方法較單工況下的可靠性分析，結(jié)果不僅更貼近工程實際，而且更加安全；獲得的最優(yōu)失效次序有利于獲得結(jié)構(gòu)在多種組合工況下的最優(yōu)可靠度，為提高軌道車輛關(guān)鍵零部件的設計水平，保證可靠性分析的準確性提供了方法支撐。