馬雅麗，劉國超，危家勇，李燦燦，梁 晨

(大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引言

螺栓連接性能的主要指標(biāo)之一就是其剛度，它直接影響結(jié)構(gòu)性能甚至于機(jī)器整機(jī)性能或精度，所以各國學(xué)者開展了大量研究。螺栓連接剛度主要由螺栓剛度和被連接件剛度兩部分串聯(lián)而成[1]。對于螺栓剛度而言，在德國、英國等各大標(biāo)準(zhǔn)中，均將螺栓等效為均質(zhì)的圓柱進(jìn)行剛度計(jì)算，計(jì)算方法已經(jīng)基本達(dá)到統(tǒng)一。而國內(nèi)外學(xué)者對被連接件剛度的研究主要從其受壓層應(yīng)力分布和受壓層面積變化兩方面入手。常用的方法有解析法、有限元法和實(shí)驗(yàn)法。CRC Press[2]在建立被連接件剛度求解的解析公式時，基于實(shí)驗(yàn)和有限元分析結(jié)果，提出了兩點(diǎn)假設(shè)：被連接件的受壓層應(yīng)力沿其徑向均勻分布；被連接件的受壓層面積沿軸向呈空心圓柱體變化。在被連接件的受壓層應(yīng)力沿徑向均勻分布的基礎(chǔ)上，F(xiàn)ritsche G 等[3]提出受壓層面積沿軸向呈空心圓錐體變化，并且求解了圓錐角為45°時的被連接件剛度。Budynas R G等[4]先后求解了圓錐角為45°和30°時的被連接件剛度，提出圓錐角為30°時被連接件剛度計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確。德國工程師協(xié)會(VDI)通過實(shí)驗(yàn)建立了被連接件受壓層面積變化的圓錐角的經(jīng)驗(yàn)公式[5]。Juvinall R C等[6-7]對螺栓連接進(jìn)行了有限元和實(shí)驗(yàn)分析，建立了被連接件受壓層面積關(guān)于螺栓直徑和被連接件厚度變化的經(jīng)驗(yàn)公式。Motosh Nabil[8]通過有限元分析螺栓與被連接件接觸區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移求解了被連接件的剛度，并建立了其經(jīng)驗(yàn)公式。 Wileman J[9]根據(jù)實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果，提出了被連接件受壓層應(yīng)力并非均勻分布，而是近似滿足于徑向距離的4次關(guān)系式。Cao J[10]使用I-Scan壓力分布系統(tǒng)測試被連接件受壓層應(yīng)力分布，得出被連接件受壓層應(yīng)力與螺栓的接觸區(qū)域和非接觸區(qū)域分布并不相同，在與螺栓接觸區(qū)域內(nèi)受壓層應(yīng)力滿足徑向距離的2次關(guān)系式，而只有在與螺栓的非接觸區(qū)域，才滿足徑向距離的四次關(guān)系式。

目前大部分學(xué)者在研究預(yù)緊力作用下被連接件受壓層應(yīng)力和受壓層面積變化時，多考慮被連接件厚度相同和材料屬性相同的情況，實(shí)際上這兩類參數(shù)都會影響被連接件受壓層應(yīng)力分布和受壓層面積變化，從而影響剛度計(jì)算結(jié)果?；谟邢拊椒ǎ芯苛吮贿B接件的彈性模量和厚度因素對被連接件剛度的影響，改進(jìn)了螺栓連接剛度計(jì)算方法。

1 螺栓連接的有限元模型與分析

1.1 構(gòu)建螺栓連接的有限元模型

為了更準(zhǔn)確分析被連接件的彈性模量與厚度對被連接件剛度的以及螺栓連接剛度的影響，文中采用常規(guī)螺栓連接的有限元建模方法，構(gòu)建了螺栓連接的有限元模型，如圖1所示。

圖1 螺栓連接有限元模型

模型分為被連接件A、被連接件B、螺桿和螺母4部分。將被連接件A左端和被連接件B右端全部固定，螺母與螺桿之間的旋合部分完全粘接，螺母與被連接件A之間、 被連接A與被連接件B之間、被連接件B與螺桿頭之間建立有摩擦接觸對，摩擦系數(shù)全部設(shè)定為0.3。在螺桿上建立預(yù)緊單元，施加預(yù)緊載荷8500 N。被連接件A、被連接件B、螺桿和螺母全部選用八節(jié)點(diǎn)的solid186單元，同時為了避免邊緣效應(yīng)，被連接件A和被連接件B接觸區(qū)域的長度和寬度取為螺栓直徑的9倍。螺桿和螺母的材料屬性彈性模量設(shè)定為216 000 MPa和泊松比設(shè)定為0.3保持不變。

(a) 剛度隨被連接件厚度與螺栓直徑比變化 (b) 剛度隨彈性模量比值變化

1.2 被連接件材料的彈性模量對其剛度的影響

采用常規(guī)的被連接件剛度的研究方法，將被連接的剛度、厚度和彈性模量轉(zhuǎn)化為無量綱的量，分析被連接件剛度隨被連接A、被連接B的彈性模量和厚度的變化規(guī)律，并建立其解析公式，如式(1)所示：

(1)

式中，Kc為被連接件剛度；EA和EB分別為被連接件A和被連接件B的材料彈性模量，Em為被連接件A和被連接件B的等效材料彈性模量，Em=EAEB/(EA+EB)[4-5]；TA和TB分別為被連接件A和被連接件B的厚度，T為被連接件總厚度，T=TA+TB；d為螺栓直徑。

采用參數(shù)化分析方法分析剛度比Kc/Emd隨被連接件材料彈性模量比EA/EB的變化規(guī)律?？刂票贿B接件厚度比TA/TB不變。為了比較被連接件A和被連接件B的材料彈性模量不同對被連接件剛度的影響，將被連接件A和被連接件B的材料彈性模量分為三種組合方式：控制被連接件A和被連接件B的關(guān)系分別為EA=EB、EA=2EB和EA=3EB。被連接件厚度與螺栓直徑比T/d變化范圍從1.2～4，由于T/d<2.4時，被連接件剛度比變化幅度較大，而當(dāng)T/d>2.4時，被連接件剛度比變化幅度較小，所以T/d的每次變動范圍被非均勻化處理，T/d<2.4時，每次變動0.2，T/d>2.4時，每次變動0.4。三種被連接件材料彈性模量組合方式的剛度計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 材料影響下的被連接件剛度 (N/μm)

被連接件A和被連接件B的材料彈性模量不同會影響被連接件的剛度，無論T/d為何值，被連接件A和被連接件B的材料彈性模量比值越大，被連接件的剛度也就會越小。T/d越小，被連接件A和被連接件B的材料彈性模量不同對被連接件的剛度影響越大，當(dāng)T/d=1.2時，組合3的被連接剛度相對于組合1下降了11.3%，當(dāng)T/d=4時，組合3的被連接剛度相對于組合1下降了1.3%，如圖2a所示。

進(jìn)一步分析被連接件A和被連接件B的材料彈性模量比值對其剛度的影響。控制被連接件B的材料彈性模量和T/d=2不變。被連接件A的材料彈性模量以被連接件B的倍數(shù)均勻化增大，每次增大0.25倍?？紤]到工程螺栓連接實(shí)際情況，被連接件A的材料彈性模量最大值為被連接件B的3倍取EA=3EB。被連接件的剛度隨著被連接件A和被連接件B的材料彈性模量比值的變化規(guī)律如圖2b所示。根據(jù)上述分析結(jié)果，擬合出剛度比與其兩被連接件彈性模量之比的解析式：

Kc/Emd=-0.058EA/EB+1.309

(2)

1.3 被連接件厚度對其剛度的影響

采用參數(shù)化分析方法分析剛度比Kc/Emd隨被連接件厚度比TA/TB的變化規(guī)律?？刂票贿B接件厚度比EA/EB不變。為了比較被連接件A和被連接件B的厚度不同對被連接件剛度的影響，控制被連接件厚度T不變，將被連接件A和被連接件B的厚度分為三種組合方式：控制被連接件A和被連接件B的厚度的關(guān)系分別為TA=TB、TA=2TB和TA=3TB。被連接件厚度與螺栓直徑比T/d變化范圍從1.2～5.4，每次變動0.3。三種被連接件厚度組合方式下的剛度計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 厚度影響下的被連接件剛度(N/μm)

被連接件A和被連接件B的厚度不同會影響被連接件的剛度，無論T/d為何值，被連接件A和被連接件B的厚度比值越大，被連接件的剛度也就會越小。T/d越小，被連接件A和被連接件B的厚度不同對被連接件的剛度影響越小，當(dāng)T/d=1.2時，組合3的被連接剛度相對于組合1下降了3.5%，當(dāng)T/d=5.4時，組合3的被連接剛度相對于組合1下降了12.8%，如圖3a所示。

(a) 剛度隨被連接件厚度與螺栓直徑比變化 (b) 剛度隨厚度比值變化

進(jìn)一步分析被連接件A和被連接件B的厚度比值對其剛度的影響?？刂芓/d=3.6不變。被連接件A的厚度以被連接件B的倍數(shù)均勻化增大，每次增加0.25倍?？紤]到工程螺栓連接實(shí)際情況，被連接件A的厚度最大值為被連接件B的3倍取TA=4TB。被連接件的剛度隨著被連接件A和被連接件B的厚度比值的變化規(guī)律如圖3b所示。根據(jù)上述分析結(jié)果，擬合出剛度比與其兩被連接件厚度之比的解析式：

Kc/Emd=-0.031EA/EB+1.047

(3)

2 螺栓連接剛度的解析模型

通過第1節(jié)螺栓連接有限元模型分析結(jié)果可知，被連接件材料的彈性模量和厚度對其剛度有影響，并且被連接件剛度與其材料的彈性模量比和厚度比近似滿足工程線性關(guān)系。所以根據(jù)螺栓剛度的理論公式、被連接件剛度及其材料的彈性模量和厚度的關(guān)系建立螺栓連接的解析式。螺栓連接剛度由螺栓剛度和被連接件剛度兩部分串聯(lián)而成[1]：

(4)

式中，K為螺栓連接剛度；Kb為螺栓剛度；Kc為被連接件剛度。根據(jù)德國工程師協(xié)會(VDI)標(biāo)準(zhǔn)，螺栓剛度通常將螺栓等效為均質(zhì)的圓柱進(jìn)行求解[5]。

(5)

假設(shè)預(yù)緊力作用下的被連接件其受壓層應(yīng)力徑向均勻分布，其受壓層面積軸向圓錐體變化[2]。如圖4所示。

圖4 被連接件受壓層面積的軸向變化

被連接件材料的彈性模量和厚度通過影響被連接件受壓層面積來影響其剛度，而受壓層面積的大小由圓錐角θm決定，聯(lián)合所擬合式(2)、式(3)，建立圓錐角θm隨被連接件材料的彈性模量和厚度變化的解析式：

(6)

被連接件的受壓層面積

(7)

根據(jù)胡克定律應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，被連接件的剛度為：

(8)

聯(lián)合式(4)～式(8)，螺栓連接的剛度為：

(9)

本節(jié)根據(jù)螺栓剛度的理論公式、被連接件剛度與其材料的彈性模量和厚度的關(guān)系建立螺栓連接的解析式。在相同的T/d的情況下，將通過式(9)的螺栓連接剛度計(jì)算結(jié)果與德國工程師協(xié)會(VDI)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，如圖5所示。

圖5 螺栓連接剛度解析模型的對比驗(yàn)證

對比結(jié)果表明：式9的螺栓連接剛度計(jì)算結(jié)果與德國工程師協(xié)會(VDI)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差小于8%，式9的螺栓連接剛度計(jì)算較為準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

本文建立了螺栓連接的有限元模型，通過有限元仿真研究了被連接件材料的彈性模量與厚度對螺栓連接剛度的影響。得出結(jié)論如下：

(1)被連接件之間的彈性模量比值會影響被連接件剛度，與被連接之間的彈性模量相同的情況相比，兩者之間的比值越大，被連接件剛度也就會變得越小。剛度變小比例會受到螺栓直徑和被連接件厚度的影響，T/d越小，被連接件剛度減小比例就會越大。

(2)被連接件之間的厚度比值會影響被連接件剛度，與被連接之間的厚度相同的情況相比，兩者之間的比值越大，被連接件剛度也就會變得越小。剛度變小比例會受到螺栓直徑和被連接件厚度的影響，T/d越大，被連接件剛度減小比例就會越小。

(3)根據(jù)被連接件材料的彈性模量和厚度對被連接件剛度的影響，建立了受壓區(qū)域面積變化的公式，進(jìn)而建立螺栓連接剛度的解析式。通過解析式的螺栓連接剛度計(jì)算結(jié)果與德國工程師協(xié)會(VDI)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比，誤差小于8%，螺栓連接剛度計(jì)算較為準(zhǔn)確。