程彬彬

(桂林電子科技大學(xué)信息科技學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

公差分配是根據(jù)產(chǎn)品的功能要求、加工能力等，對尺寸公差、形位公差進(jìn)行合理的確定與標(biāo)注的過程。要進(jìn)行產(chǎn)品的公差分配，必須先明確裝配功能要求與各零件公差之間的關(guān)系，即裝配體公差數(shù)學(xué)模型，裝配體的公差數(shù)學(xué)模型是機(jī)械產(chǎn)品進(jìn)行公差分配的基礎(chǔ)，是CAD/CAE/CAM集成的關(guān)鍵。

目前對公差模型已進(jìn)行了廣泛的研究。1983年Requicha A A G[1]提出了漂移模型，用于描述公差域的邊界信息；Hillyard R C等[2]提出了參數(shù)矢量化模型，這種模型對尺寸公差能夠較好地處理；Bourdet P等[3]提出了小位移旋量模型(Small Displacement Torsor, SDT)，將幾何特征要素在公差帶內(nèi)可能發(fā)生的變動用平動和轉(zhuǎn)動兩組旋量參數(shù)來表示；Walid Ghiea等[4]基于剛體運(yùn)動學(xué)提出了雅可比旋量模型，可以同時表達(dá)尺寸公差和形位公差的工程語義，應(yīng)用廣泛；徐旭松等[5]研究了加工誤差的累積模型；吳兆強(qiáng)[6]以SDT理論建立了公差變動累積模型，并進(jìn)行了裝配公差分析；王移風(fēng)等[7]基于SDT理論研究了零件的公差建模方法，沒有涉及裝配體公差建模；唐哲敏等[8]利用齊次坐標(biāo)變換，結(jié)合裝配定位連接，建立了統(tǒng)計公差建模；許本勝等[9]基于特征的自由度變動進(jìn)行公差的綜合建模；程彬彬等[10-11]研究了零部件在實(shí)際工作載荷下的變形，對裝配體公差模型進(jìn)行了修正，進(jìn)行了裝配體公差優(yōu)化分配。但目前的研究沒有考慮公差原則(包括獨(dú)立原則和相關(guān)要求)的影響，忽視了尺寸公差、形位公差之間的相互關(guān)系。而尺寸公差、形位公差在零件中是共同存在的，兩者可以相對獨(dú)立(獨(dú)立原則)，也可以互相影響、互相補(bǔ)償(相關(guān)要求，包括包容要求、最大實(shí)體要求、最小實(shí)體要求和可逆要求)，對產(chǎn)品的裝配過程有著綜合的影響。

針對上述問題，在現(xiàn)有裝配體公差建模理論中引入公差原則，提出了一種基于公差原則的裝配體公差建模方法，給出了工程實(shí)例應(yīng)用，為后續(xù)進(jìn)行公差優(yōu)化設(shè)計奠定基礎(chǔ)。

1 獨(dú)立原則下裝配體公差建模

獨(dú)立原則是指在設(shè)計圖樣上尺寸公差、形位公差相互獨(dú)立，互不影響，零部件的幾何特征應(yīng)分別滿足要求的公差原則。目前的裝配體公差建模大都以獨(dú)立原則為前提[12]，研究零件的公差與裝配功能要求之間的關(guān)系。其中，雅可比旋量模型算法簡潔，能夠清晰的表達(dá)尺寸公差和形位公差的變動和累積效應(yīng)，在裝配體公差建模領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛。雅可比旋量模型的表達(dá)式為[4]：

[FR]=[J][FE]

(1)

式中，[FR]、[FE]分別是裝配功能要求、功能要素的旋量表示(SDT)，功能要素既包括零件本身的幾何特征也包括零件之間的配合；[J]表示各組成環(huán)公差累積的雅可比矩陣。

(2)

式中，n代表裝配尺寸鏈中組成環(huán)的個數(shù)，[J]FEi為各組成環(huán)對應(yīng)的雅可比矩陣，其計算方法詳見文獻(xiàn)[4]，不再贅述。

2 相關(guān)要求下裝配體公差建模

公差原則除了包含獨(dú)立原則外，還包含相關(guān)要求。相關(guān)要求又分為包容要求、最大實(shí)體要求、最小實(shí)體要求和可逆要求[13]。

2.1 相關(guān)要求對功能要素旋量表示的影響

當(dāng)設(shè)計圖樣采用相關(guān)要求時，圖樣上給定的尺寸公差Ta和形位公差ta就可以相互影響和補(bǔ)償，從而對功能要素的SDT表示產(chǎn)生影響，所以必須對原來的雅可比旋量模型進(jìn)行修正，才能正確表達(dá)功能要素的變動。下面以最大實(shí)體要求為例進(jìn)行說明。

最大實(shí)體要求用最大實(shí)體實(shí)效邊界對零件實(shí)際要素進(jìn)行控制，當(dāng)最大實(shí)體要求應(yīng)用于被測要素時，應(yīng)在形位公差框格中的公差值后面標(biāo)注M，對實(shí)際輪廓的具體要求如下：

內(nèi)表面(孔)Dfe≥Dmv=Dmin-ta且Dmin≤Da≤Dmax

(3)

外表面(軸)dfe≤dmv=dmin+ta且dmin≤da≤dmax

(4)

式中，Dfe、Dmv、Da、Dmax、Dmin分別是孔的體外作用尺寸、最大實(shí)體實(shí)效尺寸、局部實(shí)際尺寸、最大極限尺寸和最小極限尺寸，dfe、dmv、da、dmax、dmin分別是軸的體外作用尺寸、最大實(shí)體實(shí)效尺寸、局部實(shí)際尺寸、最大極限尺寸和最小極限尺寸。

根據(jù)式(3)、式(4)可知，當(dāng)孔或軸的局部實(shí)際尺寸處處為最大實(shí)體尺寸時，功能要素的形位誤差的最大允許值為圖樣上給定的公差值；當(dāng)孔或軸的實(shí)際尺寸不再是最大實(shí)體尺寸時，功能要素的形位誤差的最大允許值可以大于規(guī)定的公差值，且當(dāng)孔或軸的局部實(shí)際尺寸處處為最小實(shí)體尺寸時，功能要素的形位誤差可以達(dá)到最大值(尺寸公差與形位公差值之和)，即形位公差不是固定的，可以由圖樣上標(biāo)注的尺寸公差進(jìn)行補(bǔ)償，局部實(shí)際尺寸Da或da與補(bǔ)償后的形位公差t之間的關(guān)系(動態(tài)公差圖)如圖1所示。

圖1 動態(tài)公差圖

根據(jù)前面的論述，作用于功能要素的形位公差發(fā)生變化，必然導(dǎo)致其SDT的改變，需要將補(bǔ)償后的形位公差t代替圖樣上標(biāo)注的形位公差ta，根據(jù)圖1補(bǔ)償后的公差t呈線性變化，最大值為tmax=ta+Ta，當(dāng)補(bǔ)償后的形位公差取得最大值時對裝配尺寸鏈的累積效應(yīng)貢獻(xiàn)最大。所以，在考慮最大實(shí)體要求對裝配公差建模的影響時，取補(bǔ)償后的形位公差的最大值tmax，以確保裝配功能要求在所有情況下的滿足。

2.2 相關(guān)要求下裝配體公差建模的修正

由公式(2)可知，利用雅可比旋量進(jìn)行裝配體公差建模需要計算出反映公差累積效應(yīng)的雅可比矩陣[J]以及幾何要素的旋量表示[FE]。根據(jù)文獻(xiàn)[4]，雅可比矩陣的計算僅與零件的基本尺寸相關(guān)，不涉及公差的相關(guān)計算，所以修正后的雅可比旋量模型只有[FE]發(fā)生改變。綜上所述，相關(guān)要求下的裝配體公差模型如式(5)所示。

(5)

式中，[FEi′]為相關(guān)要求下的旋量表示；u′、v′、w′、α′、β′、γ′為其對應(yīng)的6個旋量參數(shù)。

3 工程實(shí)例

圖2 機(jī)床尾座裝配簡圖及組成零件圖

3.1 雅可比矩陣的計算

圖3是機(jī)床尾座裝配過程的示意圖。其中，頂尖與立柱的配合類型為過盈配合，底座與立柱的配合類型為平面配合，上述兩處屬于外部約束且都不存在間隙，根據(jù)SDT的理論可知對應(yīng)的小位移旋量為零，即[FEi′|i′=2,4]為零，根據(jù)式(5)可知，上述兩處的配合情況對裝配體的功能要求[FR]是沒有影響的，故對應(yīng)的雅可比矩陣[Ji|i=2,4]也不需要計算。

圖3 機(jī)床尾座裝配過程

根據(jù)文獻(xiàn)[4]計算雅可比矩陣的方法，機(jī)床尾座裝配體各雅可比矩陣為：

(6)

3.2 功能要素[FE]的計算

由圖2可知，底座的平面上包含尺寸公差t1和平行度t2的公差要求，根據(jù)公差標(biāo)注的要求，同一要素尺寸公差值要大于平行度的公差值，尺寸公差和平行度的公差帶均為兩平行平面組成，且尺寸公差的公差帶方向和位置均是固定的，平行度的公差帶僅方向是固定的，其位置浮動于位置度的公差帶內(nèi)。綜上，在尺寸公差和平行度的綜合作用下，底座上平面的平動不能超越尺寸公差t1的約束，且僅在Z方向上有限制，轉(zhuǎn)動不能超越平行度t2的約束，在X、Y方向都有限制。根據(jù)平面的幾何尺寸并結(jié)合式(5)[FEi′|i′=1]的表達(dá)式為：

(7)

(8)

頂尖前端圓錐的軸線有同軸度的公差要求，同軸度的公差帶是直徑為公差值φt5的圓柱面內(nèi)的區(qū)域，該圓柱面的軸線與基準(zhǔn)軸線同軸。所以，同軸度公差對軸線在Y、Z軸即有平動的約束，也有轉(zhuǎn)動的約束，根據(jù)圖2中標(biāo)注的尺寸，可以計算出頂尖前端圓錐的高度為25.98 mm。綜上，[FEi′|i′=5]的表達(dá)式為：

(9)

將式(6)～式(9)代入式(5)就可得到機(jī)床尾座在公差原則(最大實(shí)體要求)下的裝配公差模型，如式(10)所示：

(10)

4 結(jié)論

將公差原則引入裝配體公差建模的研究中，提出了一種基于公差原則的裝配體公差建模方法。結(jié)合機(jī)床尾座實(shí)例，利用上述方法介紹了裝配體公差建模方法和步驟，驗證了上述方法的有效性，擴(kuò)大了裝配體公差建模理論的應(yīng)用場合，為下一步進(jìn)行公差優(yōu)化分配奠定了基礎(chǔ)。