鄧健，盧天健,*，尹喬之

1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016 2. 南京航空航天大學(xué) 多功能輕量化材料與結(jié)構(gòu)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016 3. 南京航空航天大學(xué) 飛行器先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，南京 210016

飛機(jī)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)多為典型的薄壁層合板/夾芯結(jié)構(gòu)，在外部載荷作用下易發(fā)生分層損傷。嚴(yán)重的分層損傷不僅會(huì)很大程度地影響整體結(jié)構(gòu)剛度，還是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)最終失效破壞的關(guān)鍵因素[1-2]，因此亟需發(fā)展有效、可靠的分層損傷預(yù)測(cè)方法，以最大限度提高復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)能力。近年來(lái)，基于黏聚區(qū)模型(Cohesive Zone Model，CZM)的界面單元法被廣泛用于模擬復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的層間失效[3-4]。然而，數(shù)值模擬中黏聚區(qū)長(zhǎng)度與界面單元尺寸的確定、計(jì)算收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性等問(wèn)題仍一定程度地阻礙了其在更復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用[5]。建立基于黏聚區(qū)模型的層間裂紋擴(kuò)展分析模型，能夠以較低成本討論界面性能參數(shù)、本構(gòu)形式以及外部載荷形式等對(duì)裂紋擴(kuò)展和最終失效載荷的影響，有利于深刻揭示分層損傷萌生及裂紋擴(kuò)展的力學(xué)機(jī)理[6]。尤其是針對(duì)典型層間斷裂模式的裂紋擴(kuò)展分析與評(píng)估，能夠?yàn)橛邢拊治鲋械慕缑鎱?shù)選擇提供依據(jù)，同時(shí)為復(fù)合材料斷裂韌性試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理方法的發(fā)展提供理論基礎(chǔ)。

針對(duì)具有單一斷裂模式的典型雙懸臂梁(DCB)和端部缺口彎曲(ENF)試件中的裂紋擴(kuò)展，國(guó)內(nèi)外均開(kāi)展了廣泛研究。Kanninen[7]首先建立了DCB裂紋擴(kuò)展的簡(jiǎn)單梁模型，其假設(shè)開(kāi)裂部分為彈性固定在裂紋尖端區(qū)域的歐拉-伯努利梁，并采用彈簧力模擬了裂紋界面的應(yīng)力。Williams和Hadavinia[8]將該模型拓展到多角度鋪層的DCB試件，討論了不同黏聚區(qū)本構(gòu)和材料參數(shù)對(duì)I型裂紋斷裂韌性預(yù)測(cè)值的影響。Carlsson等[9]基于鐵木辛柯梁理論分析了ENF試件的裂紋擴(kuò)展，討論了剪切變形對(duì)能量釋放率的影響。Williams[10]考慮了裂尖變形和轉(zhuǎn)角的影響，修正了裂紋長(zhǎng)度計(jì)算方法，提高了II型裂紋擴(kuò)展的準(zhǔn)確性。通過(guò)引入黏聚區(qū)軟化過(guò)程以考慮層間失效機(jī)理，Wang和Qiao[11]給出了更為合理的斷裂韌性的求解方法。陳瑛和喬丕忠[12]將雙線性黏聚區(qū)本構(gòu)引入到4ENF試件中，研究了界面應(yīng)力分布情況，但并未詳細(xì)討論裂紋擴(kuò)展過(guò)程。劉偉先等[13-14]研究了單向復(fù)合材料DCB及ENF試件中的裂紋擴(kuò)展，認(rèn)為裂紋擴(kuò)展之后黏聚區(qū)長(zhǎng)度保持定值，但是，劉偉先等[14]的工作僅涉及了ENF試件的裂紋長(zhǎng)度小于試件半長(zhǎng)的情況，但未分析II型裂紋長(zhǎng)度超過(guò)試件半長(zhǎng)后的裂紋擴(kuò)展過(guò)程。

在工程實(shí)際中，相較于單一型斷裂模式，混合斷裂模式更為常見(jiàn)，混合斷裂模式下的裂紋擴(kuò)展分析及能量釋放率的計(jì)算也更加復(fù)雜[2-3]。Reeder和Crews[15]于1990年提出的混合模式彎曲(MMB)試件是目前應(yīng)用廣泛的混合斷裂試件，通常用于測(cè)量混合模式下的臨界能量釋放率及表征混合模式的黏聚區(qū)本構(gòu)[15-16]?；诰€彈性力學(xué)假設(shè)和載荷分配，Reeder和Crews[15]將其等效為DCB與ENF試件的疊加，對(duì)于裂紋長(zhǎng)度未超過(guò)試件半長(zhǎng)的情況，獲得了較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。在Williams[10]裂紋長(zhǎng)度修整方法的基礎(chǔ)上，de Morais和Pereira[17]分析了多角度層合板的混合斷裂。Blanco等[18]給出了MMB試件加載臂長(zhǎng)與混合模式比的函數(shù)關(guān)系，Mi等[19]則給出了裂紋長(zhǎng)度超過(guò)試件半長(zhǎng)時(shí)的能量釋放率計(jì)算公式，但未討論不同模式混合比對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。Bennati等[20]進(jìn)一步考慮了MMB試件中I型裂紋分量的微小剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，以保證其與MMB及ENF分量的邊界條件保持一致，但未考慮黏聚區(qū)軟化行為對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響。

本文基于經(jīng)典層合板理論及黏聚區(qū)模型，建立含一般分層裂紋層合板的理論模型，對(duì)I-II混合型斷裂MMB試件進(jìn)行裂紋擴(kuò)展分析。該模型充分考慮了黏聚區(qū)的軟化過(guò)程，采用合理的裂紋疊加模型，引入I型裂紋分量(DCB試件)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移，考慮中部載荷對(duì)裂紋擴(kuò)展的閉合效應(yīng)，分段獲得了位移函數(shù)通解。結(jié)合疊加模型的邊界條件與連續(xù)性條件，求解獲得了載荷-位移曲線，將預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)及梁模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證該理論模型的有效性。利用該理論模型，進(jìn)一步研究了在裂紋擴(kuò)展過(guò)程中斷裂模式混合比、黏聚區(qū)長(zhǎng)度的變化及閉合效應(yīng)的影響。本文結(jié)果不僅為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分層裂紋擴(kuò)展分析提供理論依據(jù)，還為數(shù)值仿真提供一個(gè)可靠的交叉檢驗(yàn)工具。

1 含一般分層裂紋的層合板模型

考慮含有一般分層裂紋的層合板，長(zhǎng)為2L，寬為b，分層后的上下半板分別厚h1、h2，其幾何尺寸及坐標(biāo)系如圖1所示。設(shè)貫穿該層合板寬度方向且與其長(zhǎng)度方向平行的裂紋長(zhǎng)度為a。同時(shí)假設(shè)該分層裂紋僅沿已有裂紋方向擴(kuò)展，潛在裂紋在圖1中以虛線標(biāo)出。假定沿分層裂紋界面將層合板分為上下兩半板，且其橫截面表現(xiàn)為平面應(yīng)變狀態(tài)。本文所討論的復(fù)合材料層合板多為薄壁結(jié)構(gòu)，符合經(jīng)典層合板理論的應(yīng)用范圍[21]，則上下兩半板在各自局部坐標(biāo)系中的位移場(chǎng)可表示為

圖1 含一般分層裂紋層合板微元段的受力分析Fig.1 Free body diagrams of sub-elements in general cracked laminates

(1)

由于微元分析只考慮上下兩半板在xOz平面內(nèi)的變形[22]，上下兩半層合板中的本構(gòu)關(guān)系可簡(jiǎn)化為

(2)

式中：A11i、B11i、D11i分別為拉伸剛度、耦合剛度及彎曲剛度；Ni為軸向力；Mi為彎矩。假設(shè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程中上下兩半板處于小變形狀態(tài)，根據(jù)上下兩半板微元段的受力平衡條件，忽略高階項(xiàng)，則含一般分層裂紋的復(fù)合材料層合板(上下兩半板)的控制方程為

(3a)

(3b)

式中：Qi表示截面剪力，i=1,2；σ(x)、τ(x)分別為裂尖黏聚區(qū)的法向應(yīng)力和切應(yīng)力，可根據(jù)黏聚區(qū)本構(gòu)關(guān)系(Traction-Seperation, T-S)確定；f(x)為面外分布載荷，由于本文討論的DCB、ENF及MMB試件僅受到局部集中載荷，因此f(x)=0。為保持應(yīng)力方向與相對(duì)位移方向一致，定義法向相對(duì)位移Δn為上半板相對(duì)下半板的張開(kāi)位移，切向位移Δs為上半板相對(duì)下半板的滑開(kāi)位移：

(4)

根據(jù)雙線性黏聚區(qū)模型(圖2)，可將黏聚區(qū)應(yīng)力τ與相對(duì)位移Δ的本構(gòu)關(guān)系表示為

τ=

(5)

式中：Kinitial、Ksoften分別為線彈性及軟化階段的切線剛度，且Kinitial>0、Ksoften<0；Δonset為黏聚區(qū)損傷起始時(shí)的相對(duì)位移，Δultimate為最終有效相對(duì)位移，此時(shí)分層裂紋發(fā)生擴(kuò)展；τc為界面應(yīng)力強(qiáng)度。曲線包圍面積為界面斷裂韌性GC。

由此，含一般分層裂紋的層合板理論分析模型已基本建立，包括：由式(1)給出的變形協(xié)調(diào)條件，式(2)給出的層合板本構(gòu)關(guān)系，式(3)給出的受力平衡關(guān)系，以及式(5)給出的黏聚區(qū)本構(gòu)關(guān)系。聯(lián)立以上微分方程，并結(jié)合具體層合板結(jié)構(gòu)及加載工況所確定的邊界條件和連續(xù)性條件，便可進(jìn)行求解。針對(duì)本文中I-II混合型層間裂紋擴(kuò)展的MMB試件(圖3)，其邊界條件可表示為

(6)

特別地，在PII加載點(diǎn)處，引起了剪力突變，其突變的絕對(duì)值為載荷P的大小，即為

圖2 雙線性黏聚區(qū)本構(gòu)模型Fig.2 Bilinear T-S law for cohesive zone

圖3 MMB試件幾何尺寸及加載情況Fig.3 Geometric dimensions and loading conditions of MMB specimen

PII+Q1(L-)=Q2(L+)

(7)

2 MMB試件裂紋擴(kuò)展分析

如圖3所示，MMB試件兩端受簡(jiǎn)支約束，外載P通過(guò)剛性加載杠桿施加，加載點(diǎn)位于離試件中部距離為C的位置。由受力平衡可知，外載荷P可等效為試件端部張開(kāi)載荷PI=PC/L及試件中部的壓彎載荷PII=P(C+L)/L，進(jìn)而將MMB試件等效為DCB試件與ENF試件的疊加。同時(shí)，根據(jù)加載點(diǎn)位置(C/L)可進(jìn)一步確定裂紋擴(kuò)展時(shí)I型和II型裂紋形式的混合比，m=GII/(GI+GII),0≤m≤1，即II型裂紋擴(kuò)展的能量釋放率(GII)與總體能量釋放率(GI+GII)的比值[16, 20]。

與單一斷裂模式相同，在混合模式加載的情況下，當(dāng)總體能量釋放率達(dá)到混合模式下的斷裂韌性時(shí)，即G=GI+GII=GC，裂紋開(kāi)始擴(kuò)展。但混合模式的斷裂韌性(GC)對(duì)裂紋混合比m的變化較為敏感，因此無(wú)法將其用作普適的裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則[17]。常用的替代方案為基于純I型與純II型的斷裂韌性(GIC和GIIC)及合理的擬合參數(shù)而建立的混合模式裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則[23]，如雙參數(shù)冪準(zhǔn)則及B-K準(zhǔn)則[23]。因此，針對(duì)MMB試件開(kāi)展裂紋擴(kuò)展分析的關(guān)鍵在于合理地將其等效為DCB試件與ENF試件的疊加，以分別求出GI和GII。

2.1 混合型斷裂疊加模型

當(dāng)裂紋長(zhǎng)度未超過(guò)試件半長(zhǎng)時(shí)，基于線彈性及小變形假設(shè)，可將MMB試件分解為典型DCB與ENF試件，其載荷分配形式如圖4所示。

由于DCB分量與ENF分量的邊界條件不同，簡(jiǎn)單的疊加兩者位移場(chǎng)所獲得的MMB試件位移場(chǎng)不夠準(zhǔn)確。為保持DCB及ENF分量的約束與疊加后的MMB試件一致，Bennati等[20]引入DCB試件繞試件右端簡(jiǎn)支約束點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，提出了增強(qiáng)梁模型(Enhanced Beam Theory，EBT)，其載荷分解如圖5所示，其中DCB試件的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)角θ為

圖5 考慮約束變形一致性的MMB試驗(yàn)載荷分解Fig.5 Load decomposition for MMB test considering consistency of constraints and displacement

(8)

(9)

(10)

式中：A11、B11分別為上半板的拉伸剛度與耦合剛度。

此外，Bennati等[20]忽略了DCB試件中PII/2分量的閉合效應(yīng)對(duì)MMB試件的影響，即當(dāng)裂紋長(zhǎng)度超過(guò)試件半長(zhǎng)時(shí)(a>L)，由于PII/2分量的存在，DCB試件的I型裂紋可能會(huì)發(fā)生閉合。此時(shí)，根據(jù)DCB試件的上半板力矩平衡，MMB試件中的I型裂紋不再擴(kuò)展的條件為

(11)

式中：ac為MMB試件中的I型裂紋不再擴(kuò)展的臨界裂紋長(zhǎng)度。

2.2 求解

根據(jù)式(9)和式(10)給出的位移函數(shù)疊加模型，可分別對(duì)未考慮剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的DCB試件及ENF試件進(jìn)行求解，DCB及ENF試件的載荷及約束條件如圖5所示。在裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，DCB試件及ENF試件的裂紋尖端位置應(yīng)始終保持一致，且當(dāng)滿足裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則時(shí)，I型及II型裂紋同時(shí)擴(kuò)展。此外，當(dāng)裂紋長(zhǎng)度超過(guò)試件半長(zhǎng)時(shí)，由于試件中部載荷的作用，可能會(huì)出現(xiàn)I型裂紋完全閉合的情況，此時(shí)MMB試件中僅存在純II型分層裂紋，本文通過(guò)判定裂紋尖端的法向相對(duì)位移是否為負(fù)值來(lái)確定I型裂紋是否閉合。

鑒于文獻(xiàn)[13]詳細(xì)分析了DCB試件的裂紋擴(kuò)展過(guò)程，本文不再贅述對(duì)MMB混合斷裂中I型裂紋分量的求解過(guò)程；另一方面，現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)ENF試件II型裂紋擴(kuò)展分析僅考慮了裂紋長(zhǎng)度小于試件半長(zhǎng)的情況[14]。因此，本文著重對(duì)MMB試件中II型裂紋分量(ENF試件)的裂紋擴(kuò)展過(guò)程進(jìn)行分段求解。

3 ENF試件裂紋擴(kuò)展分析

ENF試件兩端受簡(jiǎn)支約束，并在其中間部位施加垂直試件表面的下壓載荷。結(jié)合式(1)～式(4)， ENF試件II型裂紋擴(kuò)展的控制方程可簡(jiǎn)化為

(12)

式中：Δu為ENF試件上下半板的軸向相對(duì)位移；D11為上半板的彎曲剛度。

根據(jù)黏聚區(qū)本構(gòu)關(guān)系，將其力學(xué)響應(yīng)分為3個(gè)階段：線彈性、黏聚區(qū)軟化及裂紋擴(kuò)展階段，進(jìn)而分段求解撓度函數(shù)w(x)及軸向位移函數(shù)u(x)的表達(dá)式。

(13)

(14)

式中：

φ1=

(15)

可得位移函數(shù)通解為

(16)

(17)

其位移函數(shù)的通解為

(18)

根據(jù)圖3中ENF分量的載荷和約束情況，其邊界條件可表示為

(19)

式中：Mreslt=M1+M2+h(N1-N2)/2為ENF試件中關(guān)于中面(斷裂面)的合力矩。

初始裂紋長(zhǎng)度。在xE=2L-a-lCZ、xS=2L-a，ENF試件的位移函數(shù)w(x)、u(x)均應(yīng)滿足位移連續(xù)、轉(zhuǎn)角連續(xù)、合力矩連續(xù)、剪力及軸力連續(xù)條件：

(20)

(21)

式中：Qreslt為上下半板的合剪力。因此，由邊界條件式(19)及連續(xù)性條件式(20)、式(21)即可確定位移函數(shù)w(x)、u(x)中的24個(gè)待定系數(shù)ai(i=1,2,…,24)。

黏聚區(qū)尖端xE=2L-a-lCZ處的位移應(yīng)始終保持為Δs(xE)=Δonset，由該約束條件即可求得載荷P的值。進(jìn)一步地，在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，設(shè)定黏聚區(qū)長(zhǎng)度lCZ為增量疊加的過(guò)程：

(22)

特別地，在加載點(diǎn)處，存在集中載荷P，引起剪力突變，其突變的絕對(duì)值為載荷P的大小，即為

P+Qreslt(L-)=Qreslt(L+)

(23)

令Δs(xE)=Δonset，可求得加載時(shí)線彈性階段的最大載荷P0。

當(dāng)黏聚區(qū)滿足裂紋擴(kuò)展條件時(shí)，即Δs(xS)=Δultimate，裂紋發(fā)生擴(kuò)展，此時(shí)裂紋長(zhǎng)度a>a0。在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，設(shè)定裂紋長(zhǎng)度a為增量疊加的過(guò)程：

aj=aj-1+δa

(24)

式中：δa為裂紋長(zhǎng)度增量，本文取為0.001 mm。此外，在裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，裂尖點(diǎn)xS=2L-a處及黏聚區(qū)尖端xE=2L-a-lCZ處的位移應(yīng)滿足以下約束條件：

(25)

4 分析與討論

(26)

此外，考慮AS4/PEEK為熱塑性復(fù)合材料，本文采用B-K準(zhǔn)則作為裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則。

由于假設(shè)加載杠桿為剛性，在試驗(yàn)過(guò)程中不發(fā)生變形，則MMB試件加載點(diǎn)的位移ΔP可由端部位移Δend及試件中部位移Δcenter的約束關(guān)系得到[24-25]：

(27)

為驗(yàn)證本文MMB試件裂紋擴(kuò)展分析模型的合理性及有效性，將不同混合比下載荷-位移曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果與文獻(xiàn)[24]中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示?？梢?jiàn)，本文提出的基于CZM裂紋擴(kuò)展分析模型能較好地模擬I-II混合型裂紋擴(kuò)展過(guò)程，所得的載荷-位移曲線與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

表1 MMB試件材料力學(xué)性能參數(shù)[24-25]Table 1 Material properties of MMB test specimens[24-25]

表2 不同混合比下MMB試件的幾何尺寸[24-25]

圖7 MMB試驗(yàn)分層裂紋擴(kuò)展載荷-位移曲線Fig.7 Crack propagation in MMB tests: load vs displacement curves

圖8給出了不同初始混合比下的MMB試件失效載荷預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值對(duì)比結(jié)果，圖中Pc為最終破壞載荷。由于考慮了黏聚區(qū)的軟化過(guò)程，本文模型的載荷-位移曲線在初始彈性加載段之后引入非線性，使得最終的失效載荷預(yù)測(cè)小于增強(qiáng)梁模型的結(jié)果，更為接近試驗(yàn)值。此外，隨著II型裂紋比重的增加，在達(dá)到失效載荷之后，持續(xù)加載，II型裂紋主導(dǎo)的分層破壞使得MMB試件的結(jié)構(gòu)剛度降低更快。

圖8 MMB試件失效載荷預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值對(duì)比Fig.8 Comparison between model prediction and test results of failure loads in MMB tests

不同初始混合比下，圖9給出了MMB試件端部(x=2L)相對(duì)位移及中部(x=L)變形隨載荷變化的響應(yīng)結(jié)果。對(duì)比3種初始混合比下的試件中部變形Δcenter隨載荷增加的變化情況，可以發(fā)現(xiàn)II型裂紋比重較低時(shí)，Δcenter在裂紋開(kāi)始擴(kuò)展之后出現(xiàn)一定程度的負(fù)值(假定結(jié)構(gòu)向下變形為正)，如圖9(a)、圖9(b)所示。由式(10)可知，DCB分量張開(kāi)的向上位移大于ENF分量產(chǎn)生的向下壓彎變形，表明此時(shí)I型裂紋是主要的分層損傷形式。初始混合比值GII/GT較大、懸臂長(zhǎng)C較小時(shí)，如圖9(c)所示，試件的端部相對(duì)位移Δend也隨之減小，其對(duì)Δcenter的約束作用降低，使得Δcenter在整個(gè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程中始終保持為正值，表明試件更多地產(chǎn)生II型裂紋。

圖9 不同初始混合比下的MMB試件中部及端部位移響應(yīng)結(jié)果Fig.9 Center and end displacement responses of MMB specimens at different initial mode mixity ratios

圖10 MMB試驗(yàn)中混合比隨裂紋擴(kuò)展的變化趨勢(shì)Fig.10 Variation trends of mode mixity ratio with crack propagation in MMB tests

5 結(jié) 論

基于經(jīng)典層合板理論及雙線性黏聚區(qū)本構(gòu)形式，針對(duì)對(duì)稱鋪層MMB試件的裂紋擴(kuò)展過(guò)程，建立了I-II混合型斷裂的裂紋擴(kuò)展理論模型，引入黏聚區(qū)的軟化行為，同時(shí)在裂紋疊加模型中考慮了I型裂紋分量的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移及中部載荷的閉合效應(yīng)，得到了以下結(jié)論：

1) 與梁模型預(yù)測(cè)及試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了其有效性和準(zhǔn)確性。

2) 針對(duì)II型裂紋分量，給出了裂紋大于試件半長(zhǎng)后ENF試件位移函數(shù)的分段通解。

3) II型裂紋的初始混合比較大時(shí)，閉合效應(yīng)更為明顯，可能出現(xiàn)I型裂紋完全閉合的情況。

4) 裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，當(dāng)裂紋長(zhǎng)度小于試件半長(zhǎng)時(shí)，斷裂混合比基本為常數(shù)，隨著裂紋擴(kuò)展超過(guò)試件半長(zhǎng)，由于中部載荷的閉合效應(yīng)，裂紋形式逐漸向初始比重較大的單一型斷裂退化。

本文研究了I-II型混合斷裂對(duì)稱鋪層MMB試件的裂紋擴(kuò)展，后續(xù)工作應(yīng)進(jìn)一步分析多種混合型斷裂韌性試件的裂紋擴(kuò)展，同時(shí)考慮鋪層方式與不同黏聚區(qū)本構(gòu)形式對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性及模型的適用性。

[21] REDDY J N. Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis[M]. Boca Raton: CRC Press, 2004.