王無(wú)天，何真，岳珵

（南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京211106）

在自然界中，大型鳥(niǎo)類(lèi)通過(guò)拉大飛行迎角來(lái)實(shí)現(xiàn)快速、準(zhǔn)確的降落，將這種降落方式稱(chēng)為棲落機(jī)動(dòng)。如果固定翼飛行器可以模仿大型鳥(niǎo)類(lèi)進(jìn)行棲落機(jī)動(dòng)，即拉大飛行迎角、快速降低飛行速度并最終棲落在目標(biāo)區(qū)域，那么將極大地?cái)U(kuò)展其應(yīng)用場(chǎng)合［1-3］。棲落機(jī)動(dòng)不但能保留固定翼飛行器在續(xù)航時(shí)間、飛行范圍和速度等方面的優(yōu)勢(shì)，還能在一定程度上彌補(bǔ)其通常不能在小場(chǎng)地降落的缺點(diǎn)。

由于棲落機(jī)動(dòng)給固定翼飛行器帶來(lái)的好處，棲落機(jī)動(dòng)的研究得到了越來(lái)越多的關(guān)注。文獻(xiàn)［4］為了驗(yàn)證棲落的可行性，進(jìn)行了小型滑翔機(jī)棲落在電線上的實(shí)驗(yàn)。文獻(xiàn)［5］研究了變體部件對(duì)無(wú)人機(jī)棲落的影響。文獻(xiàn)［6］通過(guò)配點(diǎn)法生成了棲落機(jī)動(dòng)的標(biāo)稱(chēng)軌跡。文獻(xiàn)［7］對(duì)軌跡的穩(wěn)定性研究發(fā)現(xiàn)，在終端階段會(huì)發(fā)生發(fā)散，對(duì)棲落機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)了滑模軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)［8］對(duì)側(cè)滑棲落機(jī)動(dòng)提出了一種自適應(yīng)增益滑?？刂萍夹g(shù)。文獻(xiàn)［9］采用開(kāi)放時(shí)間最優(yōu)化方法來(lái)研究棲落軌跡優(yōu)化問(wèn)題。

目前，棲落機(jī)動(dòng)的研究主要驗(yàn)證了棲落機(jī)動(dòng)的可行性，以及如何設(shè)計(jì)控制器提高棲落機(jī)動(dòng)的穩(wěn)定性，沒(méi)有考慮所設(shè)計(jì)的棲落機(jī)動(dòng)系統(tǒng)的吸引域問(wèn)題。吸引域是指非線性系統(tǒng)局部穩(wěn)定的區(qū)域，為了保證飛行器能棲落在目標(biāo)區(qū)域，需要計(jì)算棲落機(jī)動(dòng)的吸引域。文獻(xiàn)［10］提出了用平方和（Sum-of-Squares，SOS）算法計(jì)算動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的吸引域。文獻(xiàn)［11］針對(duì)棲落機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)了誤差反饋控制律，并將平方和算法用于計(jì)算棲落軌跡控制系統(tǒng)的吸引域。受文獻(xiàn)［11］啟發(fā)，本文針對(duì)棲落機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)了更易于求解的分段線性控制律，并對(duì)平方和算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以擴(kuò)大吸引域。

本文采用廣義偽譜法對(duì)棲落機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行優(yōu)化并生成標(biāo)稱(chēng)軌跡，將動(dòng)力學(xué)模型沿標(biāo)稱(chēng)軌跡線性化，設(shè)計(jì)了分段線性的軌跡跟蹤控制器；采用平方和算法計(jì)算系統(tǒng)的吸引域，并且優(yōu)化吸引域算法以尋找出更大的棲落機(jī)動(dòng)吸引域。

1 飛行器棲落機(jī)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型

動(dòng)力學(xué)模型的狀態(tài)變量選取飛行速度V、航跡角μ、迎角α、俯仰角速率q、俯仰角θ、水平位移x和高度h，控制輸入選取推力T和升降舵的偏轉(zhuǎn)角度δe。假設(shè)推力經(jīng)過(guò)重心且指向機(jī)頭方向，圖1為飛行器的縱向受力分析圖。圖中：Xa為速度坐標(biāo)系的橫向位移；Xb為機(jī)體坐標(biāo)系的橫向位移；Xg為地面坐標(biāo)系的橫向位移；Za為速度坐標(biāo)系的縱向位移；Zb為機(jī)體坐標(biāo)系的縱向位移；Zg為地面坐標(biāo)系的縱向位移；g為重力系數(shù)。

圖1 飛行器縱向受力分析圖Fig.1 Longitudinal force analysis diagram of UAV

根據(jù)圖1建立速度坐標(biāo)系下的飛行器縱向動(dòng)力學(xué)方程：

式中：m為飛行器的質(zhì)量；M 為空氣動(dòng)力和力矩；L為升力；D為阻力；Iy為飛行器俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

L、D、M 的表達(dá)式如下：

式中：CL、CD和CM分別為升力、阻力和力矩系數(shù)；Sa為飛行器的空氣動(dòng)力表面積；ρa(bǔ)為空氣密度。

飛行器棲落機(jī)動(dòng)的空氣動(dòng)力學(xué)系數(shù)由平板模型方法［12-14］得到，可表達(dá)為

式中：le為升降舵空氣動(dòng)力重心到飛行器質(zhì)心距離；Se為升降舵的空氣動(dòng)力表面積。

棲落機(jī)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型與常規(guī)飛行器的區(qū)別主要在于棲落機(jī)動(dòng)具有大迎角。棲落屬于一類(lèi)復(fù)雜的機(jī)動(dòng)，是非線性領(lǐng)域控制的一個(gè)挑戰(zhàn)。

2 棲落機(jī)動(dòng)軌跡跟蹤控制律設(shè)計(jì)

2.1 非線性參考軌跡

將動(dòng)力學(xué)模型（1）記為

式中：X為非線性模型的狀態(tài)向量；u為非線性模型的輸入量；f（X，u）表示非線性函數(shù)。

針對(duì)軌跡優(yōu)化和非線性軌跡，采用廣義偽譜法為基礎(chǔ)的數(shù)值非線性?xún)?yōu)化程序生成［15-16］。目前的廣義偽譜法主要有4種類(lèi)型，分別為Guass偽譜法、Legendra偽譜法、Rudau偽譜法和Chebyshev偽譜法。本文采用Rudau偽譜法進(jìn)行軌跡優(yōu)化，主要原因是：Rudau偽譜法相對(duì)其他3種廣義偽譜法有著較高的精度，在其他3種廣義偽譜法的基礎(chǔ)上增加了初始點(diǎn)或者著重點(diǎn)。

動(dòng)力學(xué)模型含有6個(gè)狀態(tài)量，在進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)，將升降舵的偏轉(zhuǎn)角度δe作為新的狀態(tài)量，則狀態(tài)向量可表示為X=［V，α，μ，q，x，h，δe］T，并且設(shè)定參考的推力T為常值3.768 N。廣義偽譜法是根據(jù)整個(gè)過(guò)程對(duì)軌跡狀態(tài)量的約束和狀態(tài)方程生成標(biāo)稱(chēng)軌跡，所以需要對(duì)7個(gè)狀態(tài)量根據(jù)棲落機(jī)動(dòng)軌跡的要求進(jìn)行約束。在執(zhí)行棲落機(jī)動(dòng)的過(guò)程中設(shè)置參數(shù)：將初始點(diǎn)位置設(shè)置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并且根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置各個(gè)狀態(tài)的約束范圍。升降舵的偏轉(zhuǎn)角度設(shè)為狀態(tài)量，所以將其導(dǎo)數(shù)作為輸入量u，給定u的約束條件為：τ（u）=（-1，1）。設(shè)定初始時(shí)刻上限值和下限值為：Xh（t0）=［9.984 m/s，0 rad，0.25 rad，0 rad/s，1 m，0 m，-0.15］T，Xl（t0）=［9.984 m/s，0 rad，0.25 rad，0 rad/s，0 m，-1 m，-0.15］T。設(shè)置狀態(tài)量過(guò)程中的范圍如表1所示。設(shè)定終點(diǎn)時(shí)刻上限值和下限值為Xh（tf）=［4m/s，π/2 rad，π/4 rad，3.5 rad/s，15m，2 m，π/3］T，Xl（tf）=［3 m/s，-π/2 rad，-π/4 rad，-3.5 rad/s，14m，1m，-π/3］T。棲落終點(diǎn)的位置要根據(jù)實(shí)際的棲落點(diǎn)確定，如棲落在電線桿上，所以設(shè)置棲落終點(diǎn)時(shí)給定了一定的約束范圍，如表1所示。

選取的二次型優(yōu)化指標(biāo)J為式中：第1項(xiàng)為積分型，是對(duì)整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的狀態(tài)誤差和輸入誤差進(jìn)行的補(bǔ)償；第2項(xiàng)為終點(diǎn)型，是對(duì)終點(diǎn)產(chǎn)生的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。二次性能指標(biāo)（5）體現(xiàn)為對(duì)棲落機(jī)動(dòng)的綜合性能優(yōu)化。式（5）中：Qf、Q、R分別為對(duì)應(yīng)項(xiàng)所占的權(quán)重；x（tf）為棲落終點(diǎn)的目標(biāo)狀態(tài)，所以對(duì)Qf的選擇越大，越要求棲落終點(diǎn)位置越接近指定的位置；u為整個(gè)過(guò)程的輸入，R越大則對(duì)輸入整體的操控需要的能量越小；x為整個(gè)過(guò)程的狀態(tài)變量，Q越大則對(duì)整個(gè)狀態(tài)變量要求越平穩(wěn)。棲落機(jī)動(dòng)狀態(tài)量變化的幅度較大，所以對(duì)狀態(tài)變量不設(shè)限制，整個(gè)優(yōu)化可以理解為以最小的輸入達(dá)到最優(yōu)的最終棲落狀態(tài)。其中，Qf=diag［10，30，0，0，10，10，0］，R=90，Q=diag［0，0，0，0，0，0，0］。

飛行器的物理參數(shù)來(lái)源于文獻(xiàn)［14］，具體參數(shù)如表2所示。

表1 狀態(tài)變量過(guò)程約束Table 1 Process constraints of state variables

表2 飛行器物理參數(shù)Table 2 Physical parameters of UAV

根據(jù)以上約束條件用廣義偽譜法即對(duì)應(yīng)MATLAB的GPOPS工具包針對(duì)非線性模型生成的標(biāo)稱(chēng)軌跡如圖2和圖3所示。

從圖2中看出，經(jīng)過(guò)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)出棲落機(jī)動(dòng)軌跡的高度和水平位置都可以很好地落在終點(diǎn)約束的目標(biāo)范圍內(nèi)。

圖2 狀態(tài)變量標(biāo)稱(chēng)曲線Fig.2 Nominal curves of state variables

圖3 推力和升降舵的偏轉(zhuǎn)角度標(biāo)稱(chēng)曲線Fig.3 Nominal curves of thrust and rudder angle

為了將非線性模型分段線性化，定義飛行器棲落機(jī)動(dòng)的時(shí)間范圍為［t0，tf］，在時(shí)間范圍上均勻地選取n個(gè)時(shí)間點(diǎn)｛t0，t1，…，tn-1｝，且有tn-1=tf。在每個(gè)時(shí)刻對(duì)標(biāo)稱(chēng)軌跡線性化，所以任意時(shí)刻點(diǎn)tq的線性化模型為

整個(gè)時(shí)間內(nèi)分段線性模型為

式中：χq（t）相當(dāng)于隨著時(shí)間變換的函數(shù)，可描述為

2.2 控制律設(shè)計(jì)

本節(jié)針對(duì)棲落機(jī)動(dòng)分段線性模型（9）設(shè)計(jì)采用分段線性最優(yōu)軌跡跟蹤控制器。針對(duì)飛行器棲落機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，尋找一個(gè)最優(yōu)控制uc（t）使得X能跟蹤上Xr。選取的二次型性能指標(biāo)J1如下：

式中：Q≥0，R＞0為正定的對(duì)角陣常值矩陣；ΔXq為實(shí)際軌跡和標(biāo)稱(chēng)軌跡在q時(shí)刻點(diǎn)的狀態(tài)差值；Δuq為q時(shí)刻點(diǎn)的最優(yōu)控制，需要彌補(bǔ)到實(shí)際輸入上。

根據(jù)線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）可得到控制律kq為

式中：Sq為滿足式（14）的正定對(duì)稱(chēng)矩陣，即黎卡提方程：

所以，系統(tǒng)在q時(shí)刻的閉環(huán)狀態(tài)方程為

式（15）設(shè)置了分段線性系統(tǒng)的每個(gè)子系統(tǒng)的最優(yōu)控制律，可以使子系統(tǒng)穩(wěn)定地收斂至標(biāo)稱(chēng)軌跡附近。

雖然上述每一個(gè)分段線性系統(tǒng)可以保證穩(wěn)定性，但是不能保證整個(gè)棲落系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了保證整個(gè)棲落系統(tǒng)的穩(wěn)定，需要使得每一個(gè)子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)值大于或等于下一個(gè)子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)值，即滿足：

式中：VL為L(zhǎng)yapunov函數(shù)；Pq和Qq為選取的正定對(duì)稱(chēng)矩陣。

下面對(duì)式（16）進(jìn)行證明。

引理1［17］時(shí)變系統(tǒng)˙=C（t）x，x（t0）=x0，且t≥t0，C（t）為以時(shí)間t的連續(xù)和分段連續(xù)函數(shù)為元的矩陣。則系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定的充要條件是：存在N＞0，c＞0，使得對(duì)于任意的t0和t≥t0，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ（t，t0）滿足：

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

選取時(shí)間為（tq-Δt，tq+Δt］的線性子系統(tǒng)。因?yàn)镻q為正定對(duì)稱(chēng)矩陣，所以將其分解為Pq=UTdiag（λ1，λ2，…，λn）U，λq為Pq的特征值，U為酉矩陣。因此，子系統(tǒng)滿足：

由式（15）閉環(huán)子系統(tǒng)可推導(dǎo)出

再由式（16）可得

因?yàn)?/p>

由式（19）得

聯(lián)立式（21）～式（23）得到

引入非線性系統(tǒng)比較原理，可以證明Ve滿足：

棲落機(jī)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程分為N個(gè)子空間且經(jīng)歷的時(shí)間為［t0，tf］，所以由引理1可以得到Ve在（tq-Δt，tq+Δt］時(shí)間按指數(shù)收斂。

又由式（16）可知，在2個(gè)子系統(tǒng)切換時(shí)刻ts=tq-Δt滿足：

所以，綜合可知Ve按照指數(shù)形式收斂且在切換時(shí)刻后非增，整個(gè)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。由式（13）計(jì)算控制律kq后要代到式（16）驗(yàn)算是否滿足整個(gè)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定要求，如果不滿足，要調(diào)整式（11）中Q、R的權(quán)值再次驗(yàn)算。這樣，滿足條件（16）的控制律（13）能保證整個(gè)棲落分段線性系統(tǒng)（9）的穩(wěn)定。證畢

軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 軌跡跟蹤控制框圖Fig.4 Trajectory tracking control block diagram

3 棲落機(jī)動(dòng)軌跡跟蹤控制吸引域的計(jì)算

吸引域是指非線性系統(tǒng)局部穩(wěn)定的區(qū)域。棲落機(jī)動(dòng)軌跡的吸引域能保證其內(nèi)的飛行器能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)棲落在指定目標(biāo)區(qū)域。2.2節(jié)中設(shè)計(jì)的棲落機(jī)動(dòng)控制律是針對(duì)分段線性化的模型設(shè)計(jì)的。而棲落機(jī)動(dòng)的實(shí)際模型是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（1）。針對(duì)非線性系統(tǒng)（1）計(jì)算其在控制律（13）下的局部穩(wěn)定范圍即棲落機(jī)動(dòng)軌跡的吸引域是一個(gè)很重要的問(wèn)題。

本節(jié)運(yùn)用平方和算法［18］求出閉環(huán)非線性棲落系統(tǒng)標(biāo)稱(chēng)軌跡的吸引域區(qū)域Ω［19］。在求出吸引域后，通過(guò)優(yōu)化平方和算法［20］中求解的變量，對(duì)原有吸引域的半徑進(jìn)行了很大程度的擴(kuò)大，使得能尋找出更大的吸引域。3.1節(jié)將介紹在一般求解吸引域方法的基礎(chǔ)上求解棲落非線性系統(tǒng)的吸引域。3.2節(jié)在3.1節(jié)吸引域的基礎(chǔ)上通過(guò)優(yōu)化平方和算法的求解變量擴(kuò)大吸引域。

3.1 軌跡吸引域算法

在非線性時(shí)變的情況下，將系統(tǒng)寫(xiě)成如下形式：

式中：f為關(guān)于x和t的多項(xiàng)式函數(shù)。設(shè)Γ?［t0，tf］×Rn為系統(tǒng)解的集合，給定的目標(biāo)區(qū)域記為g?Rn。當(dāng)集合Γ終點(diǎn)時(shí)刻的狀態(tài)收斂到g，也就是對(duì)于任何的x∈Rn，當(dāng)（tf，x）∈Γ時(shí)，x∈g，即為系統(tǒng)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的吸引域。

將棲落機(jī)動(dòng)容許的落點(diǎn)范圍定義為目標(biāo)區(qū)域g，定義棲落機(jī)動(dòng)標(biāo)稱(chēng)軌跡xr的候選吸引域區(qū)域?yàn)?/p>

根據(jù)引理2，要使式（28）為吸引域，要滿足ρ（t）≤1和式（29）：

即當(dāng)t=tq時(shí)狀態(tài)量仍在吸引域內(nèi)。

選擇適當(dāng)?shù)摩眩╰）使得Ω（ρ，t）滿足：

將上述求吸引域的過(guò)程整理成最優(yōu)求解的形式如下：

將式（32）表示的條件轉(zhuǎn)化為

最終將條件轉(zhuǎn)化為

2）存在多項(xiàng)式f∈p｛f1…fs｝，g∈M｛g1…gl｝，h∈I｛h1…h(huán)u｝滿足f+g2+h=0，Rn表示所有實(shí)數(shù)域上n元多項(xiàng)式的集合。

再根據(jù)引理3，將條件（34）轉(zhuǎn)化為

設(shè)定格式如下：

式中：O為6×6的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。

將棲落的時(shí)間［t0，tf］分為N段，計(jì)算棲落機(jī)動(dòng)標(biāo)稱(chēng)軌跡的吸引域。根據(jù)棲落終點(diǎn)的誤差范圍給定終點(diǎn)吸引域半徑ρf的值。假設(shè)在［tf-1+Δt，tf］這段時(shí)間內(nèi)的吸引半徑都是ρf，計(jì)算tf-1時(shí)刻的吸引域半徑ρf-1，這時(shí)用ρf-1按照線性的模式去估計(jì)時(shí)間［tf-1-Δt，tf-1+Δt］內(nèi)的半徑。

3.2 擴(kuò)大吸引域半徑的優(yōu)化算法

將式（12）代入模型系統(tǒng)（6），得到的系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程為

由式（14）可知

因?yàn)镼≥0，S＞0，R＞0，所以

直到式（45）左邊不屬于平方和時(shí)，選取無(wú)解時(shí)前一時(shí)刻有解的S矩陣。

改變S矩陣的方法是給S矩陣乘上一個(gè)常數(shù)k（0＜k＜1），k按照一定步長(zhǎng)從1往下遞減直到k S矩陣使得式（45）不成立。這樣選取改變S矩陣的原因有：

證明如下：

因?yàn)橹皇沁x取的S矩陣發(fā)生了變化，而由LQR控制器得到的狀態(tài)方程沒(méi)有變化，所以

2）選擇一定步長(zhǎng)從1往下遞減的原因是：在最優(yōu)化S矩陣的過(guò)程中，搜索出的最優(yōu)S矩陣可以變相地?cái)U(kuò)大吸引域半徑。

推導(dǎo)過(guò)程如下：

當(dāng)S矩陣乘上k

兩邊同時(shí)除以k

又因?yàn)?＜k＜1，所以ρ（t）/k比原來(lái)的ρ（t）大，所以減小S矩陣可以擴(kuò)大吸引域半徑。

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 棲落機(jī)動(dòng)軌跡跟蹤控制仿真

固定翼飛行器的幾何參數(shù)如表2所示，仿真采用棲落機(jī)動(dòng)非線性模型（1），非線性模型的標(biāo)稱(chēng)輸入為由GPOPS得到的標(biāo)稱(chēng)軌跡的推力和升降舵的偏轉(zhuǎn)角度。氣動(dòng)參數(shù)由式（2）、式（3）計(jì)算。

LQR控制器采用分段線性化的形式設(shè)計(jì)，整個(gè)棲落的時(shí)間設(shè)定為2 s，每隔0.05 s選取出參考點(diǎn)進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)。R=diag［9，45］，Q =diag［18，100，16，100，20，50］；聯(lián)立式（16）求得控制律。將求得的控制律加入到非線性模型的輸入上，即可得到經(jīng)LQR控制器的跟蹤軌跡。飛行器初始 理 想 狀 態(tài) X*（t0）=［9.984 m/s，0 rad，0.25 rad，0 rad/s，0m，0m］，第2節(jié)的標(biāo)稱(chēng)軌跡的初始狀態(tài)也是按照理想狀態(tài)設(shè)定，得到了理想的標(biāo)稱(chēng)軌跡。為了檢驗(yàn)跟蹤控制器的效果，在設(shè)計(jì)實(shí)際的初始狀態(tài)上加上了偏差。加上偏差的初始狀態(tài)為［11m/s，0.1 rad，0.4 rad，0 rad/s，-1 m，-0.7m］。仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

由圖5和圖6可知，在LQR控制器的作用下，由非線性模型生成閉環(huán)曲線的狀態(tài)量均能跟上參考軌跡。所以，設(shè)計(jì)的LQR控制器是有效的?？刂戚斎敕秶謩e在T∈［2.7，4.4］N，δe∈［-0.7，0.3］rad，是合理的輸入量范圍。棲落的最終位置精度要求很高。在飛行器棲落機(jī)動(dòng)的跟蹤曲線中，由GPOPS生成的參考軌跡的棲落位置是（14.80，1.162）m，在控制器下的飛行器實(shí)際棲落位置是（14.79，1.160）m。由此可見(jiàn)，即使初始位置偏差較大，經(jīng)過(guò)LQR控制器的作用，飛行器能準(zhǔn)確地降落在參考軌跡棲落位置附近。

4.2 棲落機(jī)動(dòng)軌跡吸引域和擴(kuò)大吸引域仿真

基于非線性模型（1），在棲落的時(shí)間2 s內(nèi)每隔0.05 s選取一個(gè)時(shí)間點(diǎn)聯(lián)立式（36），計(jì)算每個(gè)時(shí)間段的吸引域。棲落機(jī)動(dòng)吸引域是從棲落終點(diǎn)時(shí)刻開(kāi)始倒推計(jì)算的。因?yàn)轱w行器棲落機(jī)動(dòng)要求降落在參考軌跡終點(diǎn)的附近，需要設(shè)定棲落位置允許的誤差。棲落終點(diǎn)的容許位置誤差設(shè)為Δx＜0.15m，Δh＜0.15m。根據(jù)棲落終點(diǎn)位置的容許誤差范圍，設(shè)定終點(diǎn)2 s的棲落收斂半徑為0.15m。已知2 s的半徑，即可根據(jù)式（36）推出1.95 s時(shí)刻的吸引域半徑，如此倒推出整個(gè)過(guò)程的吸引域半徑。飛行器棲落機(jī)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程共計(jì)算了41個(gè)吸引域半徑。

根據(jù)式（36）得到的吸引域比較小。根據(jù)3.2節(jié)擴(kuò)大吸引域的算法，通過(guò)減小S矩陣來(lái)擴(kuò)大吸引域。圖7為根據(jù)計(jì)算的41個(gè)吸引域半徑在xh平面的投影，其中綠色是沒(méi)有擴(kuò)大前的吸引域，黑色是擴(kuò)大后的吸引域，紅色是由GPOPS根據(jù)約束條件生成的參考軌跡水平位置和高度的曲線。

圖7 吸引域擴(kuò)大對(duì)比Fig.7 Comparison of expanded attraction domain

由圖7可知，通過(guò)優(yōu)化計(jì)算吸引域的方法，可以找出飛行器棲落機(jī)動(dòng)更大的吸引域，這樣使得飛行器能夠在更大的初始狀態(tài)偏差下保證棲落在預(yù)定目標(biāo)范圍。

為了驗(yàn)證吸引域的可靠性，選取了4個(gè)在0 s吸引域的不同初始狀態(tài)，仿真結(jié)果如圖8所示，棲落軌跡全部在所求吸引域內(nèi)，并且終點(diǎn)范圍收斂到目標(biāo)區(qū)域驗(yàn)證了吸引域的有效性。

圖8 棲落軌跡及吸引域Fig.8 Perching trajectory and attraction domain

5 結(jié) 論

1）廣義偽譜法可以根據(jù)對(duì)飛行狀態(tài)的約束生成棲落機(jī)動(dòng)標(biāo)稱(chēng)軌跡。

2）棲落軌跡跟蹤控制仿真的結(jié)果表明，采用LQR設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器可以很好地跟蹤上由GPOPS生成的標(biāo)稱(chēng)軌跡，驗(yàn)證了LQR控制器的有效性。

3）吸引域的仿真結(jié)果表明，通過(guò)優(yōu)化求解吸引域的過(guò)程可以尋找出更大的棲落機(jī)動(dòng)軌跡的吸引域。對(duì)擴(kuò)大的吸引域進(jìn)行的棲落機(jī)動(dòng)控制仿真表明，起始于初始吸引域內(nèi)的軌跡均保留在吸引域內(nèi)，驗(yàn)證了其有效性。

本文是針對(duì)一條棲落軌跡進(jìn)行控制器及吸引域的設(shè)計(jì)。后續(xù)工作中將設(shè)計(jì)多條軌跡形成棲落軌跡庫(kù)，以此為基礎(chǔ)研究吸引域計(jì)算，擴(kuò)大飛行器實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)棲落的容許初始范圍，并逐步展開(kāi)棲落機(jī)動(dòng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的研究。后續(xù)科研工作中，也將進(jìn)一步考慮參數(shù)不確定性和干擾條件對(duì)控制器的影響，以及如何提高控制器的魯棒性。