康宇航，戴洪德，祁亞輝，張邦楚，劉玄冰，程俊

（1.中國(guó)科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院，深圳518055； 2.海軍航空大學(xué) 航空基礎(chǔ)學(xué)院，煙臺(tái)264001；3.中山大學(xué) 航空航天學(xué)院，廣州510275）

近年來(lái)，無(wú)人集群系統(tǒng)（Air Unmanned Swarm System，AUSS）的編隊(duì)控制由于其在協(xié)同搜索、協(xié)同偵察等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景而受到國(guó)內(nèi)外眾多研發(fā)機(jī)構(gòu)的高度關(guān)注［1-4］。AUSS指由多架具有一定自主感知決策控制能力的同構(gòu)或異構(gòu)無(wú)人機(jī)組成的系統(tǒng)，相比于單架無(wú)人機(jī)，其性?xún)r(jià)比更高、生存能力更強(qiáng)［5-8］。一方面，AUSS并不是諸如1+1+… +1=N似的將系統(tǒng)內(nèi)的無(wú)人機(jī)個(gè)體進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)量或者性能堆疊，而是將其進(jìn)行有組織、有規(guī)律的有機(jī)整合，無(wú)人機(jī)個(gè)體之間如若能夠優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，勢(shì)必能夠最大限度地發(fā)揮出系統(tǒng)的整體效能。另一方面，AUSS面臨的環(huán)境態(tài)勢(shì)瞬息萬(wàn)變，其執(zhí)行的任務(wù)也可能因諸如政治、軍事等因素而轉(zhuǎn)瞬改變，單一固定的編隊(duì)隊(duì)形必然難以完成任務(wù)，未來(lái)的集群系統(tǒng)定然需要具備時(shí)變編隊(duì)控制的能力。因此，研究集群系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)控制問(wèn)題對(duì)發(fā)展AUSS執(zhí)行作戰(zhàn)、服務(wù)、援助等任務(wù)將大有裨益［9-12］。

自一致性理論誕生以來(lái)，因其易理解、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛運(yùn)用于AUSS的編隊(duì)控制中，至今已取得諸多研究成果。文獻(xiàn)［13］更是將諸如領(lǐng)航-跟隨、虛擬領(lǐng)航跟隨等傳統(tǒng)編隊(duì)控制方法歸納到基于一致性理論的編隊(duì)控制方法中。文獻(xiàn)［14-15］分別對(duì)不存在外部干擾與存在外部干擾條件下無(wú)人機(jī)集群的時(shí)不變編隊(duì)控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［16］研究了無(wú)向通信拓?fù)湎碌腁USS的編隊(duì)控制問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中對(duì)于有向通信拓?fù)溲芯客葻o(wú)向通信的研究更具實(shí)用價(jià)值。為了使無(wú)人集群實(shí)現(xiàn)預(yù)先設(shè)計(jì)的時(shí)變編隊(duì)隊(duì)形，文獻(xiàn)［17］基于一致性方法提出了一套時(shí)變編隊(duì)控制器的設(shè)計(jì)程序，并通過(guò)搭建真實(shí)的四旋翼集群平臺(tái)驗(yàn)證該方法的可行性與可靠性。為了探索有向通信拓?fù)湎碌姆律鷻C(jī)器魚(yú)集群系統(tǒng)編隊(duì)控制問(wèn)題的解決方法，文獻(xiàn)［18］基于一致性協(xié)同控制理論設(shè)計(jì)了一種分布式的編隊(duì)控制協(xié)議并實(shí)現(xiàn)了集群系統(tǒng)的編隊(duì)控制。由于環(huán)境的復(fù)雜性、多變性與不可預(yù)測(cè)性，集群系統(tǒng)內(nèi)的無(wú)人機(jī)通常存在通信時(shí)滯與外部干擾以致無(wú)人機(jī)無(wú)法實(shí)現(xiàn)及時(shí)有效通信。文獻(xiàn)［19］基于穩(wěn)定性理論及一致性編隊(duì)控制方法解決了有向網(wǎng)絡(luò)條件下具有固定通信時(shí)滯的集群系統(tǒng)時(shí)變編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)［20］則基于一致性協(xié)同控制理論提出了一種考慮多約束條件的控制方法用以解決存在時(shí)變通信時(shí)滯與外部干擾的時(shí)變編隊(duì)控制問(wèn)題。

無(wú)人集群執(zhí)行任務(wù)的過(guò)程中通常會(huì)因任務(wù)和外部環(huán)境的需要變換其編隊(duì)構(gòu)型。文獻(xiàn)［14-16，18］主要針對(duì)時(shí)不變的編隊(duì)形成問(wèn)題進(jìn)行了研究，難以應(yīng)用在需要改變編隊(duì)構(gòu)型的實(shí)際場(chǎng)景。另外，真實(shí)環(huán)境不可能是理想狀態(tài)，通信時(shí)滯、外部干擾的存在往往直接影響無(wú)人集群的運(yùn)動(dòng)性能。文獻(xiàn)［17，19］并沒(méi)有考慮外部干擾這一因素，文獻(xiàn)［20］同時(shí)考慮了通信時(shí)滯與外部干擾，但是由于引入的自由權(quán)矩陣維數(shù)較高以致該算法復(fù)雜度相對(duì)過(guò)高。

基于上述情況，本文在Lyapunov穩(wěn)定性理論、一致性方法以及矩陣分析法等研究成果的基礎(chǔ)上，針對(duì)有向通信拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)下具有通信時(shí)滯與外部干擾的AUSS時(shí)變編隊(duì)H∞控制問(wèn)題開(kāi)展研究。相比現(xiàn)有文獻(xiàn)研究成果，本文的貢獻(xiàn)主要可歸納為以下3點(diǎn)：①在有向通信拓?fù)湎峦瑫r(shí)考慮通信時(shí)滯與外部干擾的條件，得到了保證無(wú)人集群實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)控制的充分條件；②通過(guò)變量替換并構(gòu)造相比于其他參考文獻(xiàn)更低維的線(xiàn)性矩陣不等式（LMI）而降低整個(gè)系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度；③通過(guò)引入多個(gè)待設(shè)計(jì)參數(shù)、Kronecker乘積以及構(gòu)造二重積分的Lyapunov-Krasovskii（L-K）泛函以達(dá)到降低系統(tǒng)的保守性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)含義

1.2 圖論的基本知識(shí)

1.3 相關(guān)引理

引理1［21］圖G的Laplician矩陣L至少有一個(gè)與右特征向量1N對(duì)應(yīng)的特征值0，除0之外的其余特征值具有正實(shí)部。如果有向圖G包含一個(gè)有向生成樹(shù)，那么0就是Laplician矩陣L的單特征值。

引理2［11］如果矩陣A∈RN×N的所有行和都等于0，即A1N=0，那么一定存在滿(mǎn)足A=BE的矩陣B∈RN×N-1，E∈RN-1×N的定義如下：

1）S＜0。

引理4［23］對(duì)于矩陣Z、標(biāo)量τ2＞τ1＞0，以下積分不等式成立：

式中：τ12=τ2-τ1；ρ（s）為函數(shù)矩陣；t為積分時(shí)間。

2 控制器的設(shè)計(jì)與分析

2.1 問(wèn)題描述

考慮由N架具有外部干擾的無(wú)人機(jī)構(gòu)建的系統(tǒng)，無(wú)人機(jī)單體的動(dòng)態(tài)模型如下：

定義1［17］對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)值xi（0），如果無(wú)人集群系統(tǒng)式（1）能夠滿(mǎn)足以下條件：

那么可以說(shuō)集群系統(tǒng)能夠完成時(shí)變編隊(duì)控制，r（t）為編隊(duì)中心軌跡函數(shù)。

2.2 時(shí)變編隊(duì)控制器設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)AUSS的時(shí)變編隊(duì)控制，根據(jù)集群系統(tǒng)期望編隊(duì)構(gòu)型信息、無(wú)人機(jī)實(shí)時(shí)狀態(tài)信息以及能夠通信無(wú)人機(jī)之間帶通信時(shí)滯的狀態(tài)誤差信息設(shè)計(jì)如下編隊(duì)控制器：

式中：K1∈Rp×n和K2∈Rp×n為 待 設(shè) 計(jì) 的 反 饋 矩陣；wi（t）為待設(shè)計(jì)的輔助輸入函數(shù)；c為待設(shè)計(jì)的耦合強(qiáng)度參數(shù)；τ為無(wú)人機(jī)之間的通信延遲。

將式（3）代入式（1）可以得到

式中：

令θi（t）=xi（t）-hi（t），i=1，2，…，N，則可以得到

當(dāng)集群系統(tǒng)中的無(wú)人機(jī)受到外部干擾時(shí)，集群系統(tǒng)通常難以按照預(yù)先給定的編隊(duì)飛行，毫無(wú)疑問(wèn)時(shí)變編隊(duì)進(jìn)一步提高了控制的難度。基于此，本文旨在設(shè)計(jì)一款抗干擾的編隊(duì)控制器使得無(wú)人機(jī)不僅能夠在沒(méi)有受到外部干擾時(shí)完成時(shí)變編隊(duì)飛行，即使受到外部干擾時(shí)也能夠有效抵抗干擾，且能夠系統(tǒng)性能達(dá)到預(yù)先設(shè)定的性能指標(biāo)。這樣可以定義時(shí)變編隊(duì)性能變量如下：

式中：C為給定的常數(shù)矩陣。

由式（5）和式（6）可得

式中：

由于矩陣H 的所有行和為0，那么由引理2可知存在滿(mǎn)足H=WE的列滿(mǎn)秩矩陣W，E的定義在引理2中可見(jiàn)。此外由引理1和引理2可知，L的非0特征根與EM 的特征根一致，M =LET（EET）-1。

為了后續(xù)的推導(dǎo)分析，需要將式（7）中的h（t）與˙h（t）項(xiàng)化簡(jiǎn)，此時(shí)可以通過(guò)選擇合適的輔助輸入函數(shù)w（t）將h（t）與˙h（t）消除掉，即需要滿(mǎn)足式（8），參考文獻(xiàn)［24］，根據(jù)編隊(duì)中心軌跡選擇極點(diǎn)并求解狀態(tài)反饋矩陣K1。

這樣可以將式（7）化簡(jiǎn)為

根據(jù)以上分析，定義系統(tǒng)式（9）的H∞一致性指標(biāo)如下：

根據(jù)以上分析，可以總結(jié)得到AUSS的時(shí)變編隊(duì)H∞定義如下：

定義2對(duì)于本文設(shè)計(jì)的集群時(shí)變編隊(duì)控制器式（3）以及預(yù)先設(shè)定的擾動(dòng)衰減參數(shù)γ1＞0，集群系統(tǒng)式（1）需要滿(mǎn)足以下條件：

1）當(dāng)ωi（t）≡0時(shí)，對(duì)于任意給定的初始狀態(tài)值xi（0），AUSS能夠?qū)崿F(xiàn)時(shí)變編隊(duì)控制，即

2）當(dāng)ωi（t）≠0時(shí)，對(duì)于任意初始給定條件，時(shí)變編隊(duì)性能變量z需要滿(mǎn)足：

那么可以說(shuō)集群系統(tǒng)能夠完成時(shí)變編隊(duì)H∞控制。

令ξi（t）=θi（t）-θi+1（t），i=1，2，…，N-1，則ξ（t）=（E?In）θ（t），式（10）可以轉(zhuǎn)換為

式中：L=ME。

引理5［26］假設(shè)M =LET（EET）-1，則存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣Q和常數(shù)α，使得

式中：0＜α ＜2m in Re（λ（EM））。

由ξ（t）以及式（13）可以得出如下結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)θ1（t）=θ2（t）=… =θN（t）時(shí)，ξ（t）=0。因此，如果系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿(mǎn)足條件γω＜γ1，那么AUSS的時(shí)變編隊(duì)H∞控制問(wèn)題解決。至此，通過(guò)一個(gè)變量替換，利用引理2，將AUSS的時(shí)變編隊(duì)H∞控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定問(wèn)題。

2.3 問(wèn)題分析

如下步驟用于設(shè)計(jì)合適的參數(shù)使得AUSS實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)H∞控制。

步驟1對(duì)于給定的某個(gè)參數(shù)c＞0，求解下列2個(gè)LMIs，得到可行解P＞0，此時(shí)為AUSS不存在通信時(shí)滯條件下的解，矩陣Q由引理5求得。

步驟2根據(jù)式（15）和式（16）解算出來(lái)的P，求解下列2個(gè)不等式，得到通信時(shí)滯最大值max（τ）。

式中：

式中：

將式（13）代入式（19），并對(duì)V1、V2求導(dǎo)，可得

式中：

當(dāng)τ=0時(shí)，

當(dāng)ω（t）=0時(shí)，則

根據(jù)式（15）可得

當(dāng)ω（t）≠0時(shí)，考慮到β=max｛λ（WTW）｝，則

式中：I為單位矩陣。

那么

令δ1（t）=［ξT（t） ωT（t）］T，則

式中：

根據(jù)式（15）與引理3可知

因此

對(duì)兩邊積分，并重新整理可得

由已知條件可知

那么

即γω＜γ1。

當(dāng)τ≠0時(shí)，由微積分基本定理和引理4分別

可得

則

當(dāng)ω（t）=0時(shí)，則

當(dāng)ω（t）≠0時(shí)，則

由式（18）可知，Γ2＜0，則

對(duì)兩邊積分，并重新整理可得

注1本文在文獻(xiàn)［26-27］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了通信時(shí)滯的影響。文中所提通信協(xié)議在無(wú)人機(jī)進(jìn)行信息交互時(shí)充分考慮通信時(shí)滯，其后在步驟1中并沒(méi)有在同時(shí)考慮多個(gè)待定參數(shù)的情況下直接計(jì)算通信時(shí)滯，這樣做是為了防止此時(shí)考慮通信時(shí)滯計(jì)算出來(lái)的解未必能夠保證AUSS在不存在通信時(shí)滯時(shí)也能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，所以本文設(shè)計(jì)的方法首先將不考慮通信時(shí)滯條件時(shí)求得其他待定參數(shù)，然后再將所求得的待定參數(shù)限定，從而得出此時(shí)最大的通信時(shí)滯，這樣做既保證了AUSS能夠在不存在通信時(shí)滯時(shí)實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)飛行，也能保證存在通信時(shí)滯時(shí)實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)飛行，如此便降低了保守性。

注2文獻(xiàn)［2］研究的內(nèi)容與本文相似，都是考慮通信時(shí)滯與外部干擾條件下的AUSS時(shí)變編隊(duì)控制問(wèn)題，但是其待定參數(shù)太多，構(gòu)建的不等式矩陣維數(shù)相對(duì)過(guò)高，以致算法復(fù)雜度過(guò)高，與之相比，本文設(shè)計(jì)的方法待定參數(shù)更少，不等式矩陣維數(shù)更低。

3 仿真驗(yàn)證

考慮包含4架無(wú)人機(jī)構(gòu)建的集群系統(tǒng)，其模型參數(shù)與通信拓?fù)浞謩e如圖1所示。

圖1 通信拓?fù)銯ig.1 Communication topology

式中：xi1、xi2、xi3、xi4分別為第i架無(wú)人機(jī)的東向位置、東向速度、北向位置、北向速度。

無(wú)人集群的初始值如下：

無(wú)人集群受到的隨機(jī)噪聲干擾與正向外部干擾分別如下：

選定集群系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)如下：

由式（8）可得

選定α=1.87，γ1=9.2，c=1.11，求解不等式（14）、式（15）與式（16）可得矩陣Q與P，進(jìn)一步可得到矩陣K2：

將 求 得 的 矩 陣 Q 與 P 代 入 式（17）與式（18），可得最大通信時(shí)滯τ=0.121 s。

圖2 存在通信時(shí)滯與隨機(jī)噪聲干擾條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 Trajectories with communication delay and random noise disturbances

圖3 存在通信時(shí)滯與隨機(jī)噪聲干擾條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡（對(duì)比文獻(xiàn)［24］方法）Fig.3 Trajectories with communication delay and random noise disturbances（compared with Ref.［24］）

圖4 存在通信時(shí)滯與正向外部干擾條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.4 Trajectories with communication delay and positive external disturbances

圖5 存在通信時(shí)滯與正向外部干擾條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡（對(duì)比文獻(xiàn)［24］方法）Fig.5 Trajectories with communication delay and positive external disturbances（compared with Ref.［24］）

圖6 存在通信時(shí)滯與正向外部干擾條件下的東向速度變化曲線(xiàn)Fig.6 Eastern velocity change curves with communication delay and positive external disturbances

圖2與圖3分別為本文存在通信時(shí)滯0.08 s與隨機(jī)噪聲干擾條件下采用本文方法與文獻(xiàn)［24］方法得到的AUSS運(yùn)動(dòng)軌跡；圖4與圖5分別為存在通信時(shí)滯0.08 s與正向外部干擾條件下采用本文方法與文獻(xiàn)［24］方法得到的AUSS運(yùn)動(dòng)軌跡；圖6與圖7分別為存在通信時(shí)滯0.08 s與正向外部干擾條件下采用本文方法得到的東向速度與北向速度變化曲線(xiàn)。能夠看出，雖然本文方法與文獻(xiàn)［24］的方法都能夠使得無(wú)人集群按照預(yù)先設(shè)定的時(shí)變編隊(duì)運(yùn)動(dòng)，但是采用本文方法得到的運(yùn)動(dòng)軌跡的誤差更??；當(dāng)存在通信時(shí)滯（此時(shí)通信時(shí)滯并沒(méi)有超過(guò)最大允許通信時(shí)滯）與隨機(jī)噪聲時(shí)，無(wú)人集群受到的影響不是很大，而當(dāng)隨機(jī)噪聲換成正向外部干擾時(shí)，無(wú)人集群在存在正向外部干擾的時(shí)間段（8～10 s）內(nèi)將會(huì)發(fā)生比較大的波動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡也偏離了正常的運(yùn)行軌跡，但是當(dāng)正向外部干擾消失時(shí)，無(wú)人集群將快速回到正常運(yùn)行的軌跡；而從無(wú)人集群的東向速度、北向速度變化曲線(xiàn)也能清晰地看到集群的速度能夠有效地抑制外部干擾對(duì)于無(wú)人集群運(yùn)動(dòng)的影響，并且在干擾消失后，集群系統(tǒng)能夠迅速回到初始設(shè)定的時(shí)變編隊(duì)構(gòu)型，繼續(xù)按照時(shí)變編隊(duì)運(yùn)動(dòng)。所以本文方法能夠在具有通信時(shí)滯與外部干擾條件下使得無(wú)人集群實(shí)現(xiàn)時(shí)變編隊(duì)。

圖7 存在通信時(shí)滯與正向外部干擾條件下的北向速度變化曲線(xiàn)Fig.7 Northern velocity change curves with communication delay and positive external disturbances

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在二階線(xiàn)性AUSS模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了存在通信時(shí)滯與外部干擾條件下的編隊(duì)H∞控制協(xié)議。首先，通過(guò)變量替換將集群編隊(duì)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題；其次；依據(jù)構(gòu)造的L-K泛函分別分析了不存在外部干擾與存在外部干擾AUSS的穩(wěn)定性，進(jìn)一步得到了保證集群系統(tǒng)穩(wěn)定最大允許通信時(shí)滯的不等式；最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的方法能夠使得AUSS在具有外部干擾與通信時(shí)滯的情況下完成時(shí)變編隊(duì)飛行。相比于現(xiàn)有文獻(xiàn)，本文降低了集群系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度，同時(shí)能夠得到最大允許通信時(shí)滯。

后續(xù)團(tuán)隊(duì)將重點(diǎn)在室外環(huán)境對(duì)本文所設(shè)計(jì)方法進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，AUSS在室外環(huán)境進(jìn)行時(shí)變編隊(duì)飛行的過(guò)程中肯定還會(huì)出現(xiàn)其他問(wèn)題，務(wù)必找出并克服這些問(wèn)題。