董裕華

【摘要】數(shù)學(xué)與思維緊密相連，數(shù)學(xué)在人的理性思維形成過(guò)程中具有不可替代的作用。數(shù)學(xué)思維帶給人數(shù)學(xué)的表達(dá)方式，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的靈魂。培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，既需要教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，通過(guò)開放式提問(wèn)、刨根式備課、關(guān)聯(lián)式變題、落地式命題等方式給學(xué)生提供可能;也需要學(xué)生自身的努力，通過(guò)主動(dòng)“說(shuō)數(shù)學(xué)”、巧畫結(jié)構(gòu)圖、認(rèn)真做反思、自主出考卷等方式主動(dòng)提升。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維能力;價(jià)值定位;培養(yǎng)策略;高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2021）03-0032-06

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“2017年版課標(biāo)”）指出，數(shù)學(xué)教育“引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”。這“三會(huì)”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)，其核心是“數(shù)學(xué)思維”。離開了數(shù)學(xué)思維，就無(wú)法用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，也不可能用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)能力之“核”，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

一、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的價(jià)值定位

中小學(xué)為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用？學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)什么樣的數(shù)學(xué)？這些問(wèn)題都曾引發(fā)全國(guó)上下的熱議。那些反對(duì)將數(shù)學(xué)列入高考的人們，他們不見得是認(rèn)為數(shù)學(xué)不重要，只是覺得數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容、方法需要改進(jìn)。也有一部分人則是過(guò)于追求數(shù)學(xué)的“實(shí)用”價(jià)值、追求學(xué)習(xí)的功利價(jià)值。適度追求數(shù)學(xué)的工具價(jià)值可以促進(jìn)數(shù)學(xué)水平的提升和數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，它與發(fā)展數(shù)學(xué)思維并不矛盾。

相比其他學(xué)科，數(shù)學(xué)在啟迪、培養(yǎng)和發(fā)展人思維的深度、廣度、系統(tǒng)性等方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。2017年版課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著不可替代的作用。”數(shù)學(xué)教學(xué)就是要讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的思維方式具有“數(shù)學(xué)味”。

數(shù)學(xué)教學(xué)必須教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維，教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)的思想觀念。否則，學(xué)得再多、考得再好，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也不見得高，數(shù)學(xué)思維能力也不見得強(qiáng)。同時(shí)，也要防止另外一種傾向，把知識(shí)、技能、能力、素養(yǎng)等分級(jí)，輕視知識(shí)，弱化知識(shí)教育，這種思想和行為是危險(xiǎn)的，也是違反規(guī)律的。因?yàn)樗季S需要載體，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)以數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能為基礎(chǔ)，沒有基本知識(shí)、基本技能，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)就成了無(wú)源之水、無(wú)本之木。能力、素養(yǎng)的提升反過(guò)來(lái)又促進(jìn)知識(shí)、技能的掌握。知識(shí)、技能與能力、素養(yǎng)都很重要，沒有明確的先后與層次之分，幾個(gè)方面相輔相成、相互促進(jìn)、相得益彰，是一個(gè)不可分割的整體。好的數(shù)學(xué)教學(xué)一定是在數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的習(xí)得過(guò)程中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;又通過(guò)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和提升，為數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的獲取提供更好的保障，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、能力、素養(yǎng)的平衡協(xié)調(diào)發(fā)展。數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)貫穿于知識(shí)、技能、能力、素養(yǎng)習(xí)得的全過(guò)程。

二、教師在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力中的主導(dǎo)作用

1.開放式提問(wèn)。

開放式問(wèn)題的答案不唯一，解決的方法也不唯一，學(xué)生可以從不同角度觀察和思考問(wèn)題，可以用多種方法解決同一個(gè)問(wèn)題，也可以根據(jù)自己的能力得到不同的結(jié)論。這對(duì)數(shù)學(xué)教師具有較大的挑戰(zhàn)性，因?yàn)閿?shù)學(xué)的大多數(shù)問(wèn)題具有結(jié)果確定性。只有教師巧妙設(shè)計(jì)，開放式提問(wèn)才可能實(shí)現(xiàn)。教師還可以通過(guò)追問(wèn)幫助學(xué)生暴露思維過(guò)程，發(fā)現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié)，優(yōu)化思維習(xí)慣。另外，學(xué)生主動(dòng)提問(wèn)題也是開放式提問(wèn)的補(bǔ)充，學(xué)生主動(dòng)提問(wèn)就意味著他在積極地思考。教師經(jīng)常發(fā)出“你還發(fā)現(xiàn)了什么問(wèn)題？”“你能否給出類似的問(wèn)題？”等信號(hào)，讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知的不平衡，促使他們不斷地思考、反省和提升。

2.刨根式備課。

很多教師在下課前都會(huì)問(wèn)上一句：“大家還有問(wèn)題嗎？”聽到學(xué)生異口同聲地說(shuō)“沒有！”的時(shí)候，特別有成就感。實(shí)質(zhì)上，“沒問(wèn)題”只是假象，真正的問(wèn)題被掩蓋了。教師在課堂上不能做“睜眼瞎”，要根據(jù)教學(xué)情況隨時(shí)做好調(diào)整，但同時(shí)更需注重備課，盡可能地把問(wèn)題考慮得更細(xì)致周到，避免課堂上的“手忙腳亂”。

比如，蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-2“導(dǎo)數(shù)的概念”中“平均變化率”的例題3：

已知函數(shù)f（x）=x²，分別計(jì)算函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率。

課本給出的解答如下：

學(xué)生解題時(shí)，前兩小題的完成速度很快，而完成后兩小題的速度卻越來(lái)越慢。為什么呢？

因?yàn)榍皟尚☆}中的數(shù)據(jù)為整數(shù)3和2，平方的時(shí)候比較順當(dāng);后兩小題的數(shù)據(jù)不再是整數(shù)，依然套用前兩題的方法，直接進(jìn)行1.1，1.001的平方運(yùn)算，速度自然慢了下來(lái)。

但從結(jié)果看，在[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率分別為2.1，2.001，后者恰好是區(qū)間端點(diǎn)值之和，這是偶然還是必然？

也就是說(shuō)，猜想是正確的，課本上省略了平方差公式應(yīng)用的詳細(xì)過(guò)程，而這又恰恰是思維的重要節(jié)點(diǎn)。沒有教師的深挖，很多學(xué)生會(huì)糊里糊涂。如果教師再畫出輔助圖，就能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均變化率就是經(jīng)過(guò)兩個(gè)端點(diǎn)的直線的斜率，也就是拋物線割線的斜率，當(dāng)割線的兩個(gè)端點(diǎn)越來(lái)越近的時(shí)候，割線就趨近于切線。盡管這個(gè)內(nèi)容不是本節(jié)課的重點(diǎn)，但教師必須清楚題目的命制意圖。教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)可以豐富學(xué)生的思維內(nèi)容，點(diǎn)燃思維火花，讓學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，增強(qiáng)求知欲，產(chǎn)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

3.關(guān)聯(lián)式變題。

變式是通過(guò)變更問(wèn)題的情境或改變思維的角度，變換問(wèn)題的條件和結(jié)論，變換問(wèn)題的形式，在保持其本質(zhì)特征不變的情況下，使事物發(fā)生變化。變式教學(xué)是在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)變更知識(shí)的非本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，理解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程;從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的演變過(guò)程，幫助學(xué)生多角度理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)屬性。

變式教學(xué)，既是提高課堂教學(xué)效率的有效途徑，也是改善學(xué)生思維品質(zhì)的有效手段，為眾多教師所青睞。變式教學(xué)主要有三種方式：一是一題多解，對(duì)同一道題，從不同的角度、不同的思路出發(fā)，采用不同的方法和不同的運(yùn)算過(guò)程去分析求解的練習(xí)活動(dòng);二是多題一解，對(duì)涉及的數(shù)學(xué)思想方法大致相同或相似的問(wèn)題進(jìn)行歸類，吃透一道題，就可以掌握一類題的解法;三是一題多變，通過(guò)增加問(wèn)題背景，增大發(fā)散程度，對(duì)某個(gè)問(wèn)題進(jìn)行引申、發(fā)展和拓寬，引導(dǎo)學(xué)生在變化比較中提升思維能力。一題多解，拓寬了解題思路，引導(dǎo)學(xué)生全面觀察、思考問(wèn)題，提升發(fā)散性思維能力;多題一解，側(cè)重于尋求一類問(wèn)題的“通性通法”，突出聚合思維，幫助學(xué)生進(jìn)行方法歸納，主動(dòng)悟出不同問(wèn)題的共性解法，減少不必要的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān);一題多變，通過(guò)不同的思考角度、不同的解題策略，發(fā)展學(xué)生觀察、想象、探索能力，提升思維的靈活性。

例如，2014年中法中學(xué)生數(shù)學(xué)交流活動(dòng)試卷第6題：

如圖1，四邊形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，2），B（2，-6），C（3，6），D（1，2）。請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)平面直角坐標(biāo)系，并敘述你的作法。

本題打破了常規(guī)設(shè)計(jì)的束縛。命題者沒有采用常規(guī)的在坐標(biāo)系中找點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，也不允許學(xué)生只憑自己的意愿建立坐標(biāo)系，改變了學(xué)生的思維習(xí)慣，對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力也是一次很好的檢驗(yàn)。

真正好的題目，一定可以“借題發(fā)揮”，可以借助一題多解、多題一解、一題多變，來(lái)多層次、廣視角、全方位地做認(rèn)識(shí)和研究。但在實(shí)際操作中，要注意三個(gè)問(wèn)題。

一是變式不能偏離教學(xué)目標(biāo)，不能為“變”而“變”。變式教學(xué)要充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)、指導(dǎo)作用，要將變式控制在學(xué)生知識(shí)、能力和思維基礎(chǔ)許可的范圍內(nèi)。對(duì)預(yù)設(shè)外生成的問(wèn)題，要及時(shí)作出價(jià)值判斷，不能“信馬由韁”，防止影響教學(xué)的綜合效果。

二是變式的選擇要具有典型性。變式的選題要精挑細(xì)選，既要有利于學(xué)生打開思路，展開聯(lián)想，又要有利于舉一反三、觸類旁通，幫助學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，達(dá)到“以少勝多”的目的。

三是總結(jié)提升要及時(shí)。通過(guò)總結(jié)，提煉出一般性的結(jié)論和帶有普遍意義的方法。學(xué)生思維的改善不可能一蹴而就，需要不斷地進(jìn)行比較學(xué)習(xí)和關(guān)聯(lián)思考，在對(duì)立統(tǒng)一中同質(zhì)疊加、異質(zhì)互補(bǔ)，拓展思維的深度和廣度，提升思維的品質(zhì)。

4.落地式命題。

目前，國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)試題與實(shí)際生活聯(lián)系不夠緊密、問(wèn)題情境不接地氣的現(xiàn)象還相當(dāng)普遍，這也是很多人感到“數(shù)學(xué)沒用”的重要原因。2017年版課標(biāo)把基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想并稱為數(shù)學(xué)的“四基”。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生直接或間接經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程而獲得的經(jīng)驗(yàn)，它既能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值和樂趣，又能培養(yǎng)他們主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)和能力，激發(fā)他們數(shù)學(xué)高階思維，在實(shí)踐中豐富數(shù)學(xué)思維的形成和發(fā)展過(guò)程。

考察數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，PISA的理念值得我們借鑒。PISA數(shù)學(xué)測(cè)試非常重視學(xué)生在實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)能力，期望激活學(xué)生自身的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，并做出有理有據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和決策，其背后支撐的還是數(shù)學(xué)思維。

例如：下面這道PISA測(cè)試樣題就考察了學(xué)生對(duì)國(guó)防預(yù)算數(shù)據(jù)的解讀能力。

某個(gè)國(guó)家1980年的國(guó)防預(yù)算為3000萬(wàn)美元，該年度預(yù)算總額為5億美元。第二年的國(guó)防預(yù)算為3500萬(wàn)美元，預(yù)算總額為6.05億美元，并且知道這一財(cái)政年度的通貨膨脹率為10%。

（1）如果你被邀請(qǐng)為一個(gè)和平協(xié)會(huì)作報(bào)告，你將怎樣解釋國(guó)防預(yù)算下降了？

（2）如果你被邀請(qǐng)為一個(gè)軍事學(xué)會(huì)作報(bào)告，你將怎樣解釋國(guó)防預(yù)算增加了？

本題不僅要求解數(shù)據(jù)結(jié)果，還要主動(dòng)進(jìn)行不同角色的轉(zhuǎn)換，從不同立場(chǎng)選擇不同角度，進(jìn)行數(shù)據(jù)的解讀。這樣的思維已經(jīng)不是數(shù)學(xué)認(rèn)知的要求，但以數(shù)學(xué)思維為基礎(chǔ)，理解和解釋社會(huì)現(xiàn)象，對(duì)增強(qiáng)學(xué)生辯證思維能力、形成健全人格還是非常有益的。

用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，這些理念在PISA試題中得到充分體現(xiàn)。PISA試題適當(dāng)還原生活的本來(lái)面貌，既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)“有用”，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，又讓他們提升自主篩選信息的意識(shí)和能力，這種能力就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)據(jù)分析”，幫助學(xué)生“增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)，形成通過(guò)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

三、學(xué)生在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力中的主體地位

1.主動(dòng)“說(shuō)數(shù)學(xué)”。

自我解釋是一種積極主動(dòng)的認(rèn)知建構(gòu)活動(dòng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)所學(xué)內(nèi)容做出解釋，以此來(lái)理解新的信息。數(shù)學(xué)中的自我解釋以數(shù)學(xué)交流的方式進(jìn)行，也就是通常所說(shuō)的“說(shuō)數(shù)學(xué)”，即學(xué)生用自己理解的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)闡述對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)、選擇與理解。

“說(shuō)數(shù)學(xué)”的過(guò)程，就是展示思維的過(guò)程，需要言說(shuō)者梳理思路、組織語(yǔ)言、恰當(dāng)表達(dá)。自己的思路不流暢，想把別人講懂并非易事，“說(shuō)數(shù)學(xué)”的過(guò)程，也是暴露自身薄弱環(huán)節(jié)的過(guò)程，無(wú)論是知識(shí)點(diǎn)，能力點(diǎn)，還是思維轉(zhuǎn)接點(diǎn)，都可能存在問(wèn)題，只有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，才能有針對(duì)性地查漏補(bǔ)缺?！罢f(shuō)數(shù)學(xué)”的過(guò)程，還是合作交流的過(guò)程。師生之間、同學(xué)之間的討論交流、各抒己見，可以相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，取長(zhǎng)補(bǔ)短;可以突破原有思維的束縛，糾正錯(cuò)誤偏差，拓展思維空間。

美國(guó)學(xué)者布朗（S.Brown）與瓦爾特（M.Walter）提出了問(wèn)題解決的“否定假設(shè)法”，即“What-if-not（如果不是這樣的話，那又可能是什么）”策略，讓學(xué)生回到原問(wèn)題，自己想，自己說(shuō)，通過(guò)發(fā)散思維發(fā)現(xiàn)和衍生出更多新問(wèn)題，說(shuō)開了就是變式練習(xí)，只是由教師主導(dǎo)變成由學(xué)生自主“開發(fā)”。它的好處是更好地激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維朝著靈活、開放、創(chuàng)新的方向發(fā)展。但學(xué)生提出的問(wèn)題良莠不齊，有的比較膚淺甚至存在錯(cuò)誤，這就需要教師敏捷的思維能力、扎實(shí)的專業(yè)功底和較強(qiáng)的協(xié)調(diào)能力，否則課堂容易失控，教學(xué)任務(wù)也難以完成。

2.畫結(jié)構(gòu)圖。

學(xué)生經(jīng)常有兩個(gè)困惑：一是有些問(wèn)題在初中時(shí)沒有弄明白，到了高中，突然開竅了;二是有些問(wèn)題平時(shí)會(huì)做，到了期中、期末考試時(shí)卻突然想不起來(lái)了。其實(shí)，這兩個(gè)問(wèn)題的答案都非常簡(jiǎn)單。之所以學(xué)生到了高中就覺得初中數(shù)學(xué)容易，是因?yàn)樵诟咧袑W(xué)習(xí)的很多內(nèi)容里，不知不覺地又將初中的許多數(shù)學(xué)知識(shí)重復(fù)了一遍，學(xué)生把過(guò)去沒有搞清楚的知識(shí)點(diǎn)弄通了，也就達(dá)到了“學(xué)會(huì)”的要求。有些問(wèn)題平時(shí)會(huì)做，是因?yàn)槊刻焱瓿傻淖鳂I(yè)與課堂講授的內(nèi)容相配套，即使沒有聽課，看看課本例題也能明白七八分。同樣的學(xué)習(xí)任務(wù)，有的學(xué)生掌握了原理和方法，有的主要靠機(jī)械模仿。平時(shí)看不出差距，考試時(shí)要在自己的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)里搜尋到對(duì)應(yīng)的方法和策略差距就很明顯，不知所措、無(wú)從下手的大有人在。

美國(guó)學(xué)者大衛(wèi)·珀金斯把這種知識(shí)掌握不到位的情況稱為“脆弱知識(shí)綜合征”。要擺脫“脆弱知識(shí)綜合征”，真正理解知識(shí)，靈活運(yùn)用知識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)和效率，就必須抓住核心概念，理清概念的相互關(guān)系，把相關(guān)知識(shí)附著到概念網(wǎng)絡(luò)上，形成思維導(dǎo)圖。思維導(dǎo)圖可以把隱性知識(shí)顯性化，直觀、有效地呈現(xiàn)知識(shí)間的關(guān)聯(lián);也可以把抽象思維形象化，展示學(xué)生的思維過(guò)程，給思維訓(xùn)練提供有效方法。思維導(dǎo)圖不要“為做而做”，畫“知識(shí)樹”的方法可能更適合于平時(shí)的過(guò)程學(xué)習(xí)，學(xué)生可以隨時(shí)添加整理，對(duì)學(xué)習(xí)起點(diǎn)的要求也不高，只要自己能看懂就行?！爸R(shí)樹”有三種：一是以知識(shí)點(diǎn)為生長(zhǎng)點(diǎn)，厘清知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián);二是以題目為連接點(diǎn)，本質(zhì)上是變式練習(xí);三是知識(shí)點(diǎn)與相應(yīng)題目穿插。

3.認(rèn)真做反思。

反思是對(duì)自身思維過(guò)程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識(shí)和檢驗(yàn)的過(guò)程，是一種積極的思維活動(dòng)和探索行為。數(shù)學(xué)家波利亞把解題過(guò)程分為弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和解題回顧四個(gè)步驟，回顧已完成的解答是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)重要且有啟發(fā)性的階段。每道經(jīng)典題解完以后，都可以對(duì)自己提出許多有用的問(wèn)題：關(guān)鍵在哪里？主要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有察覺到這一點(diǎn)？要看出這一點(diǎn)我必須具備哪些知識(shí)，應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類似問(wèn)題時(shí)應(yīng)用？這些問(wèn)題都是重要的思維源。對(duì)“回顧”而言，無(wú)須專門時(shí)間，在每個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)完成以后都可以進(jìn)行。成功之處需要總結(jié)，通過(guò)多角度觀察和聯(lián)想，找出更多的思維通道，找出更多的關(guān)聯(lián)問(wèn)題，達(dá)到“由一題會(huì)一片通一類”的目的;失敗之處更要總結(jié)，出現(xiàn)思維障礙不可怕，可怕的是對(duì)思維障礙聽之任之，滿足于聽懂了，而沒有真正找到思維障礙的根源和解決問(wèn)題的辦法。

筆者曾提出“漁網(wǎng)理論”：如果把每次練習(xí)看成是一次捕魚，那么每次總結(jié)反思就如同一次“修補(bǔ)漁網(wǎng)”。發(fā)現(xiàn)漏洞不修補(bǔ)，下次捕魚時(shí)魚照樣會(huì)從漏洞里逃跑;發(fā)現(xiàn)漏洞及時(shí)修補(bǔ)，通過(guò)三年努力，漁網(wǎng)一定會(huì)非常結(jié)實(shí)。這張漁網(wǎng)既是知識(shí)網(wǎng)，也是能力網(wǎng)、思維網(wǎng)，思維把知識(shí)點(diǎn)連接起來(lái)。不少學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)不求甚解，對(duì)基本訓(xùn)練嗤之以鼻，對(duì)總結(jié)反思不當(dāng)回事，期望通過(guò)刷題、刷難題獲得進(jìn)步，把大量時(shí)間耗費(fèi)在題海里卻勞而無(wú)功，就是因?yàn)闆]有及時(shí)修補(bǔ)漁網(wǎng)。

所以，反思的過(guò)程承載著多重使命，既要整理學(xué)習(xí)思路，又要調(diào)整思維結(jié)構(gòu)、優(yōu)化思維方法，還要提升思維品質(zhì)?？偨Y(jié)反思可以讓學(xué)生的思維從經(jīng)驗(yàn)層面上升到理性認(rèn)識(shí)，通過(guò)提煉、概括、感悟，進(jìn)入思維的更高階段。

4.自主出考卷。

學(xué)生在教師指導(dǎo)下自主命制試卷，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效路徑。

每學(xué)期期末考試前一個(gè)月，我們都布置學(xué)生出一份模擬卷，告訴他們所涉及的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的分值占比、難度要求，讓學(xué)生結(jié)合自己對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，回憶平時(shí)教師強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)，兼顧自己平時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)，可以參照現(xiàn)成資料，也鼓勵(lì)自編原創(chuàng)，要求試卷中既有課外題，又有課本題，還要有平時(shí)的作業(yè)題、練習(xí)題;既有難題，又有容易題，盡可能把自己平時(shí)沒有解決的問(wèn)題放進(jìn)去，并且按難度順序排列;既考慮知識(shí)的覆蓋面，又突出重點(diǎn)，還要給出評(píng)分細(xì)則。

試題命制完成以后，送請(qǐng)同桌“校對(duì)”。校對(duì)者除了對(duì)知識(shí)點(diǎn)分布和文字表達(dá)進(jìn)行審核，防止出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤以外，還要審查試卷有無(wú)明顯的偏題、怪題，評(píng)分細(xì)則是否合理。

接下來(lái)，全班學(xué)生“推磨”答題，命題者為試卷評(píng)分。解答者還要根據(jù)自己的答題體驗(yàn)對(duì)整份試卷的命制質(zhì)量，包括命題范圍、知識(shí)點(diǎn)覆蓋面、難度、容量等方面進(jìn)行評(píng)估。最終，結(jié)合期末考試情況一并考核評(píng)比，解答者評(píng)價(jià)較高、解答者的期末考試得分與命題者評(píng)分差距較小的試卷評(píng)為優(yōu)秀試卷，出現(xiàn)與期末試卷關(guān)聯(lián)度較大的題目評(píng)為優(yōu)秀試題。優(yōu)秀試卷和試題的得主會(huì)獲得假期的書面作業(yè)減免一半的獎(jiǎng)勵(lì)。

實(shí)踐證明，這些舉措既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。命題周期長(zhǎng)，給學(xué)生相對(duì)充足的醞釀時(shí)間，也給他們自我整理、消化、復(fù)習(xí)的時(shí)間。命題過(guò)程中，學(xué)生的工作量很大，既要吃透命題要求，又要翻閱作業(yè)資料，篩選適合題目，還要制訂評(píng)分細(xì)則，每個(gè)方面都彰顯著數(shù)學(xué)思維。學(xué)生自主鉆研的熱情很高，主人翁責(zé)任感很強(qiáng)，盡管允許使用現(xiàn)成試題，但絕大多數(shù)學(xué)生還是以模仿、改編、變式的方式來(lái)命題，每個(gè)人都爭(zhēng)取表現(xiàn)得最好，數(shù)學(xué)思維能力特別是高階思維能力得到很好的訓(xùn)練，達(dá)到教育無(wú)痕的效果。