康 浩，宋新民，戴 鹍，雷征東，高 建，孫永彪，聶婷婷

(1.河北師范大學(xué)中燃工學(xué)院，河北 石家莊 050024；2.中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京 100083；3.中國(guó)石油大學(xué)(北京)，北京 102249)

直井壓裂可以將油氣的平面徑向流變?yōu)槠矫婢€性流，從而大大提高產(chǎn)量。截至目前，已經(jīng)有大量學(xué)者針對(duì)壓裂直井的產(chǎn)能問(wèn)題進(jìn)行深入細(xì)致的研究，得出大量理論和模型：陳曉明等[1]運(yùn)用點(diǎn)源函數(shù)和格林函數(shù)的方法，引入雙區(qū)復(fù)合模式對(duì)滲流規(guī)律進(jìn)行刻畫(huà)；熊也等[2]同時(shí)考慮應(yīng)力敏感性、水力垂直裂縫和雙重介質(zhì)三個(gè)方面，建立不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型；李準(zhǔn)等[3]利用攝動(dòng)變換和拉普拉斯變換法，獲得了壓裂直井的6個(gè)典型的流動(dòng)階段；朱維耀等[4]綜合考慮了頁(yè)巖氣滲流、擴(kuò)散和解吸的流動(dòng)機(jī)理，進(jìn)行了產(chǎn)能預(yù)測(cè)和影響因素的分析；王永輝等[5]研究了高溫深層碳酸鹽巖壓裂改造，建立了相應(yīng)的8種滲流模型；張烈輝等[6]利用邊界元方法提高計(jì)算精度，精確地描述了煤層氣藏壓裂直井的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)。這些研究豐富了壓裂直井產(chǎn)能計(jì)算理論，也有效地指導(dǎo)了現(xiàn)場(chǎng)生產(chǎn)。但是，從流線和等勢(shì)線分布特征角度開(kāi)展分析的研究還比較少，推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜且計(jì)算不便。

共形映射是一種數(shù)學(xué)變換方法，它能夠?qū)?fù)雜區(qū)域(坐標(biāo)平面)上的工程問(wèn)題轉(zhuǎn)換到簡(jiǎn)單區(qū)域(坐標(biāo)平面)上去討論，從而大大降低了問(wèn)題的難度，對(duì)于油氣井產(chǎn)能的計(jì)算大有幫助。

通過(guò)兩種共性映射的應(yīng)用，從流場(chǎng)分布的角度對(duì)比了映射前后流線與等勢(shì)線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，證實(shí)了不同的具體滲流問(wèn)題，往往還具有一定的本質(zhì)相同的流動(dòng)特性，可以為水平井多級(jí)壓裂、體積壓裂等復(fù)雜條件下的產(chǎn)能計(jì)算提供借鑒。

1 理論基礎(chǔ)

首先，根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，如果在復(fù)平面上的復(fù)數(shù)z=x+iy在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，復(fù)平面上的復(fù)數(shù)W隨z值的變化而變化，則W稱之為z的復(fù)變函數(shù)。設(shè)復(fù)變函數(shù)W(z)=ξ(x,y)+iη(x,y)的實(shí)部ξ(x,y)和虛部η(x,y)在(x,y)可微，并且滿足柯西-黎曼條件[7]，則W(z)在定義域D內(nèi)的z=x+iy點(diǎn)可導(dǎo)。進(jìn)一步地，若W(z)在定義域D內(nèi)的每一點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)變函數(shù)可在定義域內(nèi)解析。事實(shí)上，若以復(fù)變函數(shù)W(z)的實(shí)部ξ(x,y)作為滲流場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)，見(jiàn)式(1)。

(1)

則流體的滲流速度見(jiàn)式(2)。

(2)

考慮到復(fù)變函數(shù)W(z)=ξ(x,y)+iη(x,y)的實(shí)部ξ(x,y)和虛部η(x,y)在(x,y)可微，并且滿足柯西-黎曼條件，則復(fù)變函數(shù)W(z)的虛部η(x,y)可以作為滲流場(chǎng)的流函數(shù)[8]。進(jìn)而解析函數(shù)和滲流場(chǎng)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以用復(fù)勢(shì)理論來(lái)研究滲流問(wèn)題。

其次，若W(z)在定義域D內(nèi)解析，z0為定義域內(nèi)一點(diǎn)，只要W′(z0)≠0，則W(z)在z0具有兩個(gè)性質(zhì)：一是保角性，即通過(guò)z0的任意兩條曲線間的夾角與經(jīng)過(guò)映射后所得對(duì)應(yīng)兩曲線間的夾角一致；二是伸縮率的不變性，即通過(guò)z0的所有曲線的伸縮率均為|W′(z0)|，且與該曲線的形狀和方向無(wú)關(guān)。此時(shí)，稱映射W(z)在z0是共形的，如果解析函數(shù)W(z)在定義域D內(nèi)處處有W′(z)≠0,那么映射W(z)是定義域D內(nèi)的共形映射[9]。

2 共形映射前后井產(chǎn)量的關(guān)系

假設(shè)L為z平面上圍繞井的封閉曲線，dn、dL為z平面曲線L的法向及切向單元，λ為作共形映射后W平面上對(duì)應(yīng)的封閉曲線，dv、dλ為W平面上曲線λ的法向單元及切向單元。 則在z平面上的井的絕對(duì)產(chǎn)量可以用圍道積分來(lái)表示[10]，見(jiàn)式(3)。

(3)

實(shí)際上，在進(jìn)行變換時(shí)，相應(yīng)等勢(shì)線上所給定勢(shì)的值是相同的，即等勢(shì)線上的勢(shì)的值保持相同，所改變的只是等勢(shì)線和流線的幾何形狀。又由于在對(duì)應(yīng)平面上各點(diǎn)周圍無(wú)限小單元內(nèi)的幾何線段處處相似，因此有式(4)。

(4)

由此可見(jiàn)，映射前后井的絕對(duì)產(chǎn)量保持不變。

3 模型建立與求解

實(shí)際問(wèn)題如下所述：在半徑為re、厚度為h和滲透率為K的圓形等厚、水平、均質(zhì)地層中心有一長(zhǎng)度為2L的裂縫井，邊部供給充足，儲(chǔ)層的原油黏度為μ，裂縫井井底壓力為pw,供給半徑為re,供給邊界處的壓力為pe,求裂縫井的產(chǎn)量。

3.1 求解一

為了應(yīng)用共性映射方法求解以上問(wèn)題，可以先參考如下滲流的產(chǎn)量計(jì)算問(wèn)題[11-12]：在平面W上，有一寬度為π的無(wú)限大地層，原油分別從右側(cè)無(wú)限遠(yuǎn)處和左側(cè)無(wú)限遠(yuǎn)處流入生產(chǎn)坑道，生產(chǎn)坑道的產(chǎn)量為Q，儲(chǔ)層厚度為h，滲透率為K，原油黏度為μ，生產(chǎn)坑道壓力為pw,供給邊界處的壓力為pe。

在此情形下，平面W上的等勢(shì)線是平行于η軸的一系列直線，流線是平行于ξ軸的一系列直線。

取變換函數(shù)z=LcoshW,其中，z=x+iy，W=ξ+iη,則經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)，得到式(5)。

x=Lcoshξcosη,y=Lsinhξsinη

(5)

可以根據(jù)式(5)確定該映射下，兩個(gè)平面上特殊點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：平面W上的原點(diǎn)(ξ=0,η=0)對(duì)應(yīng)于平面z上的(x=L,y=0)；平面W上的點(diǎn)(ξ=0,η=π)對(duì)應(yīng)于平面z上的(x=-L,y=0)；平面W上的點(diǎn)(ξ=0,η=π/2)對(duì)應(yīng)于平面z上的(x=0,y=0)，即z坐標(biāo)的原點(diǎn)。平面W上的點(diǎn)(ξ=ξ0,η=π/2)對(duì)應(yīng)于平面z上的(x=0,y=Lsinhξ0)，其中，當(dāng)ξ0=+∞時(shí)，對(duì)應(yīng)的是y軸的正無(wú)窮大，當(dāng)ξ0=-∞時(shí)，對(duì)應(yīng)的是y軸的負(fù)無(wú)窮大；平面W上的點(diǎn)(ξ=ξ0,η=π)對(duì)應(yīng)于平面z上的(x=-Lcoshξ0,y=0)，當(dāng)ξ0=±∞時(shí)，對(duì)應(yīng)的是x軸的負(fù)無(wú)窮大；平面W上的點(diǎn)(ξ=ξ0,η=0)對(duì)應(yīng)于平面z上的(x=Lcoshξ0,y=0)，當(dāng)ξ0=±∞時(shí)，對(duì)應(yīng)的是x軸的正無(wú)窮大。

圖1 共性映射前后流動(dòng)示意圖

從流線和等勢(shì)線的方面分析：針對(duì)某條等勢(shì)線，即對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的常量ξ值，見(jiàn)式(6)。

(6)

很明顯，通過(guò)映射以后，在平面z上，形成長(zhǎng)軸為L(zhǎng)coshξ，短軸為L(zhǎng)sinhξ，焦距為L(zhǎng)的橢圓。

同理，對(duì)應(yīng)于平面W上不同的常量η值，在平面W上表示不同的流線，這些流線被映射后變成平面z上的如下曲線，見(jiàn)式(7)。

(7)

很顯然，形成實(shí)半軸為L(zhǎng)cosη，虛半軸為L(zhǎng)sinη，焦距為L(zhǎng)的雙曲線。

因此，綜合以上分析，這一映射，使得平面W上的條帶型線性流變?yōu)槠矫鎧上長(zhǎng)度為2L的裂縫井的橢圓流，正是本文中需要求解的問(wèn)題。其中，平面W上第一象限的流動(dòng)，對(duì)應(yīng)平面z上第一象限、第二象限的流動(dòng)；平面W上第二象限的流動(dòng)，對(duì)應(yīng)平面z上第三象限、第四象限的流動(dòng)。

根據(jù)共形映射前后井產(chǎn)量不變的原則，該裂縫井的產(chǎn)量可以通過(guò)平面W上的線性流產(chǎn)量公式得到，考慮到是兩個(gè)區(qū)域向中間生產(chǎn)坑道的滲流，則產(chǎn)量計(jì)算見(jiàn)式(8)。

(8)

(9)

式中，ξ0計(jì)算見(jiàn)式(10)。

(10)

對(duì)應(yīng)的裂縫井的產(chǎn)量Q計(jì)算見(jiàn)式(11)。

(11)

3.2 求解二

為了尋求另一種利用共性映射求解該滲流問(wèn)題的方法，也可首先參考如下滲流問(wèn)題：在平面W上直徑為l的圓周處有一生產(chǎn)坑道，原油分別從內(nèi)側(cè)和外側(cè)沿徑向流入生產(chǎn)坑道，生產(chǎn)坑道的產(chǎn)量為Q，儲(chǔ)層厚度為h，滲透率為K，原油黏度為μ，生產(chǎn)坑道壓力為pw，地層供給半徑為ρ，供給壓力為pe。

在此情形下，平面W上的等勢(shì)線是以原點(diǎn)為圓心不同直徑的一系列圓周線，流線是沿徑向指向圓周生產(chǎn)坑道的一系列直線，具體如圖2所示。

圖2 共性映射前后流動(dòng)示意圖

(12)

顯然，在平面W上，針對(duì)某條等勢(shì)線，即對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的常量ρ≠0,有如下情況。

若ρ=1,即平面W上的單位圓在該變換下變?yōu)槠矫鎧上的x軸上的區(qū)間[-L，L]。

若ρ≠1,則有式(13)。

(13)

同理，對(duì)應(yīng)于平面W上不同的常量θ值，在平面W上表示不同的流線，這些流線被映射后變成平面z上的如下曲線，見(jiàn)式(14)。

(14)

很顯然，形成實(shí)半軸為L(zhǎng)cosθ，虛半軸為L(zhǎng)sinθ，焦距為L(zhǎng)的雙曲線。

因此，綜合以上分析，這一映射，使得平面W上生產(chǎn)坑道位于直徑為單位l處的徑向流，變?yōu)槠矫鎧上長(zhǎng)度為2L的裂縫井的橢圓流。

根據(jù)共形映射前后井產(chǎn)量不變的原則，該裂縫井的產(chǎn)量可以通過(guò)平面W上的徑向流產(chǎn)量公式得到，忽略掉由生產(chǎn)坑道內(nèi)部向外滲流所形成的產(chǎn)量[15-17]，則W平面上徑向流的產(chǎn)量Q計(jì)算見(jiàn)式(15)。

(15)

(16)

式中，ρ計(jì)算見(jiàn)式(17)。

(17)

對(duì)應(yīng)的裂縫井產(chǎn)量公式見(jiàn)式(18)。

(18)

通過(guò)比較式(18)與式(11)可知，兩種求解方法得到的結(jié)果相同，驗(yàn)證了求解的正確性。

4 實(shí)例計(jì)算

以某低滲透油藏區(qū)塊L1井為例，其相關(guān)基礎(chǔ)參數(shù)為：根據(jù)該油田的單井控制面積并結(jié)合井網(wǎng)布置情況，供給外邊界半徑取400 m，另有裂縫半長(zhǎng)為110 m，儲(chǔ)層滲透率為3.2×10-3μm2，儲(chǔ)層有效厚度為3 m，地層原油黏度為1.2 mPa·s，供給邊界壓力 14 MPa，井底流動(dòng)壓力為8 MPa。若采用礦場(chǎng)實(shí)用單位，基于無(wú)限導(dǎo)流能力裂縫井滲流理論，則裂縫井產(chǎn)量Q計(jì)算公式見(jiàn)式(19)。

(19)

將基本參數(shù)代入式(19)，求得：Q=13.14 m3/d。

5 結(jié) 論

1) 通過(guò)兩種不同映射方式的比較可知，某些直觀上各不相同的具體的滲流問(wèn)題，可能在共性映射下能夠轉(zhuǎn)換成同一問(wèn)題，這反映了滲流現(xiàn)象在某種程度上也包含一定的統(tǒng)一性。

2) 針對(duì)裂縫井流動(dòng)問(wèn)題，運(yùn)用共形映射的相關(guān)理論，研究了映射前后流線和等勢(shì)線的對(duì)應(yīng)情況，并且用兩種變換方法求解得出了裂縫井的產(chǎn)量公式，模型簡(jiǎn)單，便于推廣應(yīng)用。兩種不同的映射方法所得到的無(wú)限導(dǎo)流裂縫井的產(chǎn)量計(jì)算結(jié)果一致，并且結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了求解計(jì)算，充分顯示了映射方法求解的正確性。

3) 共形映射能夠?qū)?fù)雜區(qū)域(坐標(biāo)平面)上的工程問(wèn)題轉(zhuǎn)換到簡(jiǎn)單區(qū)域(坐標(biāo)平面)上去討論，有關(guān)裂縫井流動(dòng)問(wèn)題的研究必將對(duì)水平井多級(jí)壓裂，體積壓裂等復(fù)雜流場(chǎng)流動(dòng)問(wèn)題的研究產(chǎn)生積極的借鑒意義。